线性代数第3章习题课.ppt

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1、一一一一.证明证明证明证明向量组向量组向量组向量组线性线性无关无关的步骤：的步骤：的步骤：的步骤：第一步：第一步：第一步：第一步：设设设设第二步：第二步：第二步：第二步：想法想法想法想法 推出推出推出推出必须必须全为零，全为零，全为零，全为零，则则则则向量组向量组向量组向量组线性线性无关无关87878787页页页页13131313题题题题 设设设设证证证证 设设设设证明向量组证明向量组证明向量组证明向量组线性线性线性线性无关无关无关无关线性线性线性线性无关无关，线性线性线性线性无无关关线性线性线性线性无关无关，向量组向量组向量组向量组87878787页页页页14.14.14.14.线性线性线性

2、线性无关无关无关无关.线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，设设设设证明向量组证明向量组证明向量组证明向量组而且表示式而且表示式而且表示式而且表示式唯一唯一，证明证明证明证明设设设设能由能由能由能由向量组向量组向量组向量组两式两式两式两式相加相加相加相加表示式表示式表示式表示式唯一唯一唯一唯一 对应对应对应对应 的的的的系数系数系数系数 相等相等相等相等则则则则故故故故 向量组向量组向量组向量组线性线性线性线性无关无关无关无关.87878787页页页页18181818题题题题 设设设设为为为为阶方阵阶方阵,为为为为维列向量维列向量,若存在若存在若存在若存在 正整数正整数正整数正整数使得使得使

3、得使得证明证明证明证明线性线性无关无关证证证证设设设设用用用用左乘左乘左乘左乘 上式两端上式两端上式两端上式两端用用用用左乘左乘左乘左乘 上式两端上式两端上式两端上式两端 得得得得同样可得同样可得同样可得同样可得故故故故线性线性无关无关64646464页定理页定理页定理页定理 3.2.13.2.13.2.13.2.1向量组向量组向量组向量组线性线性线性线性相相相相关关关关其中其中其中其中能够由其余能够由其余能够由其余能够由其余至少至少至少至少有有有有向量线性表示向量线性表示向量线性表示向量线性表示一个一个一个一个向量向量向量向量向量组向量组向量组向量组的的的的 秩秩秩秩即即即即个个个个维列向量

4、组维列向量组维列向量组维列向量组线性相关线性相关线性相关线性相关84848484页页页页(2)(2)(2)(2)（）向量组向量组向量组向量组线性线性线性线性相相相相关关关关的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是85858585页页页页(8)(8)(8)(8)设设设设为为为为阶方阵阶方阵,则则则则 在在在在的的的的个行向量中个行向量中,（）85858585页页页页(9)(9)(9)(9)设设设设为为为为阶方阵阶方阵,则则则则中中中中（）72727272页定理页定理页定理页定理3.3.33.3.33.3.33.3.3也等于它的也等于它的也等于它的也等于它的列列向量组向量组的秩的秩的秩的秩

5、等于它的等于它的等于它的等于它的行行向量组向量组的秩的秩的秩的秩矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的秩秩推论推论推论推论线性线性线性线性无无无无关关关关其中其中其中其中任何任何任何任何一个一个一个一个向量向量向量向量 都不能都不能都不能都不能 由其余由其余由其余由其余向量线性表示向量线性表示向量线性表示向量线性表示向量组向量组向量组向量组的的的的 秩秩秩秩即即即即个个个个维列向量组维列向量组维列向量组维列向量组线性无关线性无关线性无关线性无关该向量组该向量组该向量组该向量组为为为为的基的基的基的基向量组向量组向量组向量组84848484页页页页(3)(3)(3)(3)选选选选（）83838383页页页页1

6、(2)1(2)1(2)1(2)设向量组设向量组设向量组设向量组线性无关线性无关线性无关线性无关则则则则则则则则83838383页页页页1(7)1(7)1(7)1(7)设设设设为为为为的基的基的基的基则则则则则则则则且且且且85858585页页页页5 5 5 5题题题题.讨论下列向量组讨论下列向量组 的线性相关性的线性相关性(1)(1)(1)(1)解解解解该向量组该向量组 的秩的秩为为为为该向量组该向量组线性线性无关无关第二行第二行第二行第二行减去减去减去减去第一行第一行第一行第一行85858585页页页页5 5 5 5题题题题.讨论下列向量组讨论下列向量组 的线性相关性的线性相关性(2)(2)

7、(2)(2)解解解解该向量组该向量组 的秩的秩为为为为该向量组该向量组线性线性相关相关85858585页页页页6 6 6 6题题题题.分别求下列向量组分别求下列向量组 的的秩秩,及其一个及其一个极大极大无关组无关组(1)(1)(1)(1)解解解解该向量组该向量组 的秩的秩为为为为它的它的极大极大无关组无关组 是它自己是它自己85858585页页页页6 6 6 6题题题题.分别求下列向量组分别求下列向量组的的秩秩及其一个及其一个极大极大无关组无关组(2)(2)(2)(2)解解解解该向量组该向量组 的秩的秩为为为为其中的任何两个向量其中的任何两个向量一个一个极大极大无关组无关组是它的是它的8585

8、8585页页页页8 8 8 8题题题题.设向量组设向量组的秩的秩为为为为求求的值的值解解解解83838383页页页页1 1 1 1题题题题(6).(6).(6).(6).设设设设三阶矩阵三阶矩阵三阶矩阵三阶矩阵,向向向向量量量量，且满足，且满足，且满足，且满足与与与与线性相关，线性相关，线性相关，线性相关，则则则则解解解解与与与与线性相关，线性相关，线性相关，线性相关，86868686页页页页7 7 7 7设设设设(1)(1)(1)(1)为为为为何值何值何值何值 时？时？时？时？线性相关？线性相关？线性相关？线性相关？何时何时何时何时 线性无关？线性无关？线性无关？线性无关？(2)(2)(2)

9、(2)为为为为何值何值何值何值 时？时？时？时？线性相关？线性相关？线性相关？线性相关？何时何时何时何时 线性无关？线性无关？线性无关？线性无关？解解解解(1)(1)(1)(1)若若若若线性相关线性相关线性相关线性相关,则则则则线性线性线性线性相相相相关关关关线性线性线性线性无无无无关关关关(2)(2)(2)(2)或或或或线性相关线性相关线性相关线性相关.时时时时.且且且且时时时时.线性无关线性无关线性无关线性无关.初等变换初等变换若若则则 不会改变矩阵不会改变矩阵 的的秩秩与与等价，等价，存在两个存在两个存在两个存在两个使使使使可逆方阵可逆方阵可逆方阵可逆方阵若若方阵方阵方阵方阵可逆可逆可逆

10、可逆,则则则则1.1.设设是是矩阵矩阵矩阵矩阵,且且则则则则方阵方阵方阵方阵可逆可逆可逆可逆,2.2.设设是是矩阵矩阵矩阵矩阵,且且是是4 4 4 4阶满秩阵阶满秩阵阶满秩阵阶满秩阵,则则则则57575757页页页页30303030重要结论重要结论重要结论重要结论8383页页的秩为的秩为2 2，的秩为的秩为2 2则则向量组向量组1 1（4 4）设设向量组向量组的秩为的秩为2 2，的秩为的秩为2.2.1 1（5 5）线性无关，线性无关，则则向量组向量组设设向量组向量组线性线性 无关无关8686页页 9.9.线性无关，线性无关，设设向量组向量组问问满足满足什么什么 条件条件时，时，也也 线性无关。

11、线性无关。解解当当时，时，线性无关。线性无关。71717171页性质页性质页性质页性质4 4 4 4则则则则能够由能够由能够由能够由若若若若向量组向量组向量组向量组 A A A A向量组向量组向量组向量组 B B B B 线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，A A A A 的秩的秩的秩的秩 B B B B 的秩的秩的秩的秩87878787页页页页16161616能由能由能由能由线性线性线性线性无无无无关关关关线性表示线性表示线性表示线性表示证明证明证明证明设设设设n n n n维维维维 单位坐标单位坐标单位坐标单位坐标n n n n维维维维向量组向量组向量组向量组向量组向量组向量组向量组向

12、量组向量组向量组向量组证证证证向量组向量组向量组向量组线性线性线性线性无无无无关关关关,它的秩它的秩它的秩它的秩 为为为为即即即即向量组向量组向量组向量组能由能由能由能由线性表示线性表示线性表示线性表示故故故故线性线性线性线性无无无无关关关关向量组向量组向量组向量组n n n n维维维维向量组向量组向量组向量组线性线性线性线性无无无无关关关关任何任何任何任何一个一个一个一个证证证证设设设设线性无关线性无关线性无关线性无关，是任何一个是任何一个是任何一个是任何一个n n n n维维维维向量向量向量向量则向量组则向量组则向量组则向量组线性线性线性线性相关，相关，相关，相关，能由能由能由能由都能由都

13、能由都能由都能由线性表示线性表示线性表示线性表示.87878787页页页页17171717n n n n维维维维向量向量向量向量它们它们它们它们线性表示线性表示线性表示线性表示若若若若 任何任何任何任何一个一个一个一个都能由都能由都能由都能由n n n n维维维维向量向量向量向量线性表示线性表示线性表示线性表示.则则则则能由能由能由能由线性表示线性表示线性表示线性表示.向量组向量组向量组向量组故故故故线性线性线性线性无无无无关关关关向量组向量组向量组向量组87878787页页页页19191919设设设设 向量组向量组向量组向量组():的秩的秩的秩的秩 为为为为向量组向量组向量组向量组():的秩

14、的秩的秩的秩 为为为为向量组向量组向量组向量组():的秩的秩的秩的秩为为为为证明证明证明证明证证证证不妨设不妨设不妨设不妨设()的最大无关组的最大无关组的最大无关组的最大无关组 为为为为(A)(A)：()的最大无关组的最大无关组的最大无关组的最大无关组 为为为为(B)(B)：()能由能由能由能由()线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，根据根据根据根据 71717171页页页页 性质性质性质性质4 4 4 4同样有同样有同样有同样有故故故故向量组向量组向量组向量组()能由能由能由能由()和和和和()线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，向量组向量组向量组向量组()能由能由能由能由(A)(A

15、)和和和和(B)(B)线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，即即即即能由能由能由能由因此因此因此因此向量组向量组向量组向量组的秩的秩的秩的秩表示表示表示表示8787页页2020 设设是是矩阵，矩阵，是是矩阵，矩阵，证明：证明：证证 设设则则根据根据 8787页页1919题题故故8888页页2121题题设设都是都是矩阵矩阵证明：证明：证证 设设能由能由能由能由向量组向量组向量组向量组线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，根据根据 8787页页1919题题8888页页2222题题 设设是是矩阵，矩阵，是是矩阵，矩阵，证明：证明：证证 设设即即即即的列向量组的列向量组能由能由的列向量组的列向量组 线性表示线性表示的行向量组的行向量组能由能由的行向量组的行向量组 线性表示线性表示同样同样