弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法PPT讲稿.ppt

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1、第1页，共106页，编辑于2022年，星期六第三节第三节 位移分量的求出位移分量的求出第四节第四节 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载第五节第五节 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力例题例题第一节第一节 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答第二节第二节 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲第2页，共106页，编辑于2022年，星期六31 1 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 多项式解法多项式解法1.1.当体力为常量，按应力函数当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问求解平面应力问题时，题时，应满足应满足 按 求解 多连体中的位移单值条件。(c)S=上应力边界条件,A内相容方程

2、第3页，共106页，编辑于2022年，星期六 对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是(d)第4页，共106页，编辑于2022年，星期六2.逆解法逆解法 先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，代入(d),求出第5页，共106页，编辑于2022年，星期六 从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。逆解法 逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第6页，共106页，编辑于2022年，星期六例2 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。例1 一次式 对应于无体力

3、，无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第7页，共106页，编辑于2022年，星期六 代入 ，解出 ；3.半逆解法半逆解法 步骤：半逆解法 由应力(d)式，推测 的函数形式；假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；第8页，共106页，编辑于2022年，星期六 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第9页，共106页，编辑于2022年，星期六思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这

4、些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。第10页，共106页，编辑于2022年，星期六3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出 h/2 h/2lyx(l h)oMM第11页，共106页，编辑于2022年，星期六 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解，应满足相容方程及 上的应力边界条件。第12页，共106页，编辑于2022年，星期六 检验应力边界条件，原则是:边界条件 b.后校核次要边界后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣

5、维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第13页，共106页，编辑于2022年，星期六主要边界主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界次要边界 x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。第14页，共106页，编辑于2022年，星期六次要边界用两个积分的条件代替 第15页，共106页，编辑于2022年，星期六 当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)第16页，共106页，编辑于2022年，星期六 如果区域内的平

6、衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第17页，共106页，编辑于2022年，星期六3-3 位移分量的求出位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第18页，共106页，编辑于2022年，星期六1.由物理方程求形变求形变第19页，共106页，编辑于2022年，星期六2.代入几何方程求位移求位移第20页，共106

7、页，编辑于2022年，星期六 对式(a)两边乘 积分,对式(b)两边乘 积分,求位移第21页，共106页，编辑于2022年，星期六 再代入(c),并分开变量，上式对任意的 x,y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第22页，共106页，编辑于2022年，星期六由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量 ，须由边界约束条件来确定。第23页，共106页，编辑于2022年，星期六2.代入几何方程，积分求 ；归纳：从应力求位移步骤：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第24页，共106页，编辑于2022年，星期六2.铅直线的转角 故在任一截面x

8、 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1.弯应力 与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。第25页，共106页，编辑于2022年，星期六思考题2.试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。提示：微分体的转动分量为1.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？第26页，共106页，编辑于2022年，星期六3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。问题

9、yxoll h/2 h/2第27页，共106页，编辑于2022年，星期六现采用此假设。半逆解法按半逆解法半逆解法求解。假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第28页，共106页，编辑于2022年，星期六 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，(a)半逆解法第29页，共106页，编辑于2022年，星期六 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第30页，共106页，编辑于2022年，星期六式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第31页

10、，共106页，编辑于2022年，星期六 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数，为 x的奇函数，故 。由 求应力。半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。第32页，共106页，编辑于2022年，星期六 考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界主要边界第33页，共106页，编辑于2022年，星期六次要边界次要边界次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第34页，共106页，编辑于2022年，星期六最后应力解答：应力第35页，共106页，编辑于2022年，星期六应力的量级应力的量

11、级当 时,x l 同阶，y h 同阶.第一项 同阶,（与材料力学解同）;第二项 同阶,（弹性力学的修正项）同阶,（与材料力学解同）应力的量级同阶,（材料力学中不计）第36页，共106页，编辑于2022年，星期六当 时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较应力与材料力学解比较:最主要量级 ,和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级 ,在材料力学中没有。当 时,仅占主项 的1/15 (6%),应力比较中的弹性力学修正项：第37页，共106页，编辑于2022年，星期六弹性力学与材料力学的解法比较弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微

12、分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第38页，共106页，编辑于2022年，星期六几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；例如：边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第39页，共106页，编辑于2022年，星期六 对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第40页，共106页，编辑于2022年，星期六1.当问题中的y轴为对称轴时

13、，试说明 和 应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？第41页，共106页，编辑于2022年，星期六 3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？第42页，共106页，编辑于2022年，星期六3-5 3-5 楔形体受重力及液体压力楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。oyxn第43页，共106页，编辑于2022年，星期六用半逆解法半逆解法求解。因为应力 ,而应力的量纲只比高一次（L），所以应力 (x,y 一次式）,=

14、即可假设应力为x,y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第44页，共106页，编辑于2022年，星期六（2）由应力 关系式，应为x,y的三次式，（3）满足相容方程（4）由 求应力，第45页，共106页，编辑于2022年，星期六（5）考察边界条件-本题只有两个大边大边 界界，均应严格满足应力边界条件。x=0 铅直面，解出解出第46页，共106页，编辑于2022年，星期六斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有第47页，共106页，编辑于2022年，星期六其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答,应力第48页，共106页，编辑于2022年，星期六水平截面上的应力分布如图所示。第49页，共10

15、6页，编辑于2022年，星期六楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答；分逢重力坝接近平面应力问题；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）.重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第50页，共106页，编辑于2022年，星期六思考题 重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？第51页，共106页，编辑于2022年，星期六例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第52页，共106页，编辑于2022年，星期六例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函数 求解应力分量

16、。第53页，共106页，编辑于2022年，星期六图3-5ydyyxl h/2 h/2o第54页，共106页，编辑于2022年，星期六解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1.将 代入相容方程，显然是满足的。2.将 代入式(2-24)，求出应力分量。第55页，共106页，编辑于2022年，星期六3.考察边界条件：主要边界 上应精确满足式(2-15),第56页，共106页，编辑于2022年，星期六 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：第57页，共106页

17、，编辑于2022年，星期六第58页，共106页，编辑于2022年，星期六由(a),(b)解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。第59页，共106页，编辑于2022年，星期六代入应力公式，得第60页，共106页，编辑于2022年，星期六例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。yox第61页，共106页，编辑于2022年，星期六解：用半逆解法半逆解法求解。1.假设应力分量的函数形式。因为在 y=-b/2边界上，y=b/2 边界上，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 第62页，共1

18、06页，编辑于2022年，星期六2.按应力函数的形式，由 推测 的形式，所以第63页，共106页，编辑于2022年，星期六3.由相容方程求应力函数。代入 得要使上式在任意的x处都成立，必须 第64页，共106页，编辑于2022年，星期六 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。第65页，共106页，编辑于2022年，星期六 4.由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24),注意 ，体力求得应力分量为第66页，共106页，编辑于2022年，星期六5.考察边界条件：主要边界主要边界 上,有得得得第67页，共106页，编辑于2022年，星期六由上式得到第68页，共106页，编辑

19、于2022年，星期六求解各系数，由得得得得第69页，共106页，编辑于2022年，星期六由此得又有代入A,得第70页，共106页，编辑于2022年，星期六 在次要边界次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出第71页，共106页，编辑于2022年，星期六代入应力分量的表达式得最后的应力解答：第72页，共106页，编辑于2022年，星期六例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？第73页，共106页，编辑于2022年，星期六解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，将 代入，(a)其中A=0，才可能成为应力函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应

20、力函数。第74页，共106页，编辑于2022年，星期六例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。第75页，共106页，编辑于2022年，星期六bbAyxhOFFb/2第76页，共106页，编辑于2022年，星期六解：应用应力函数求解：(1)校核 相容方程 ，满足.(2)求应力分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件主要边界条件，均已满足第77页，共106页，编辑于2022年，星期六考察次要边界条件次要边界条件，在y=0上，满足。得得第78页，共106页，编辑于2022年，星期六 上述应力已满足了 和全部边

21、界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力的解答，第79页，共106页，编辑于2022年，星期六(4)求应变分量，第80页，共106页，编辑于2022年，星期六(5)求位移分量，第81页，共106页，编辑于2022年，星期六将u,v代入几何方程的第三式，两边分离变量，并全都等于 常数，即第82页，共106页，编辑于2022年，星期六从上式分别积分，求出代入u,v,得第83页，共106页，编辑于2022年，星期六再由刚体约束条件，得得得第84页，共106页，编辑于2022年，星期六代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，第85页，共106页，编辑于2022年，星期六例题5 图中矩形截面的简

22、支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。第86页，共106页，编辑于2022年，星期六yxo h/2 h/2l第87页，共106页，编辑于2022年，星期六 解：应用上述应力函数求解：(1)将 代入相容方程，由此，第88页，共106页，编辑于2022年，星期六(2)代入应力公式，在无体力下，得(3)考察主要边界条件主要边界条件第89页，共106页，编辑于2022年，星期六对于任意的x值，上式均满足，由此得(a)(b)(c)(d)第90页，共106页，编辑于2022年，星期六由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第91页，共106页，编辑于2022年，星

23、期六(4)考察小边界小边界上的边界条件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）第92页，共106页，编辑于2022年，星期六另两个积分的边界条件，显然是满足的。第93页，共106页，编辑于2022年，星期六 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。第94页，共106页，编辑于2022年，星期六 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，第95页，共106页，编辑于2022年，星期六例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。Mqqhyxo b/2 b/2 第96页，共106页，编辑于2022年，星期六 解：应用上述应力函数求解：(

24、1)代入相容方程，(2)求应力分量，在无体力下，第97页，共106页，编辑于2022年，星期六(3)考察边界条件，在主要边界主要边界在小边界小边界（x=0）第98页，共106页，编辑于2022年，星期六第99页，共106页，编辑于2022年，星期六再由(a),(b)式解出代入，得应力解答，第100页，共106页，编辑于2022年，星期六例题7 试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。第101页，共106页，编辑于2022年，星期六第102页，共106页，编辑于2022年，星期六 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第103页，共106页，编辑于2022年，星期六例题8 试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。第104页，共106页，编辑于2022年，星期六第105页，共106页，编辑于2022年，星期六 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第106页，共106页，编辑于2022年，星期六