弹性力学基础 应力应变PPT讲稿.ppt
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1、弹性力学基性力学基础 应力力应变第1页,共36页,编辑于2022年,星期六q 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容第2页,共36页,编辑于2022年,星期六5.1 空间问题的基本未知量与方程空间问题的基本未知量与方程 什么空间问题?什么空间问题?q 一维问题:一个基本坐标变量,一维问题:一个基本坐标变量,如杆件。是材料力学的重点内容。如杆
2、件。是材料力学的重点内容。q 二维问题:二个基本坐标变二维问题:二个基本坐标变量,如平面问题。是本课程的量,如平面问题。是本课程的重点内容。重点内容。q 三维问题:三个基本坐标变量,三维问题:三个基本坐标变量,即空间问题。是本课程需了解的即空间问题。是本课程需了解的内容。内容。第3页,共36页,编辑于2022年,星期六空间问题的基本未知量与方程空间问题的基本未知量与方程 任何一个弹性体是空间物体(坐标变量为任何一个弹性体是空间物体(坐标变量为x、y、z),外,外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。对于空间问题,在弹性体区域内,仍然要考虑静力
3、学、对于空间问题,在弹性体区域内,仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程;并在几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程;并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。边界上建立应力边界条件或位移边界条件。空间问题与平面问题具有相似性:基本未知数、基本方程、空间问题与平面问题具有相似性:基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。边界条件和求解方法均是类似的。第4页,共36页,编辑于2022年,星期六q 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程q
4、 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容第5页,共36页,编辑于2022年,星期六5.2 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析1:求经过该点任何斜面上的求经过该点任何斜面上的应力应力p?2:求经过该点的任何斜面上的求经过该点的任何斜面上的正应力正应力s sn和和切应力切应力t tn?3:若经过该点的若经过该点的主应力主应力s s和和应力主方向应力主方向a a?4:求经过该点的求经过该点的正应力正应力s sn和和切应力切应力t tn 的最大和最小值的最大和最小值?一点应力状态分析:已知任一点处
5、坐标面上的一点应力状态分析:已知任一点处坐标面上的6 6个应力分量个应力分量,求解如下四个问题:求解如下四个问题:第6页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力问题问题1 1:已知任一点处坐标面上的:已知任一点处坐标面上的6 6个应力分量个应力分量,求经过该点求经过该点的任何斜面上的应力的任何斜面上的应力p?取如图所示微分单元体取如图所示微分单元体PABC,当当平面平面ABC无限接近于无限接近于P点时,该平面点时,该平面上的应力即为所求上的应力即为所求应力应力p。根据该微分单元的力系平衡条件,在根据该微分单元的力系平衡条件,在x、y和和z轴方向上合力为轴
6、方向上合力为0,从而有:,从而有:第7页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力特殊情况下,若平面特殊情况下,若平面ABC是弹性体是弹性体上受面力作用的边界面,则上受面力作用的边界面,则应力应力p就成就成为面力,于是由为面力,于是由(72)式可得出式可得出:上式就是上式就是空间问题的应力边界条件空间问题的应力边界条件,它表明应力分量的边,它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。界值与面力分量之间的关系。第8页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的正应力与切应力过一点任意斜面的正应力与切应力问题问题2 2:求经过该点的任何斜面上的正应力和
7、切应力?:求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力?平面平面ABC上的上的正应力正应力s sn即为上面即为上面所求的所求的全应力全应力p向法线方向向法线方向n的投的投影:影:平面平面ABC上的上的切应力切应力t tn则由下式则由下式求得:求得:第9页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向问题问题3 3:若经过该点的某一斜面上的切应力为:若经过该点的某一斜面上的切应力为0 0,求此斜面上的主应,求此斜面上的主应力力s s和应力主方向和应力主方向a a?设如图所示的斜面上切应力为设如图所示的斜面上切应力为0 0,则则该面上的全应力等于正应力,
8、也该面上的全应力等于正应力,也等于主应力等于主应力,于是有,于是有又由于有又由于有第10页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向从而有关于方向余弦从而有关于方向余弦l,m,n的线性方程组:的线性方程组:其有非零解的充要条件为系数行列式等于其有非零解的充要条件为系数行列式等于0 0,即,即第11页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向其中:其中:主应力特征方程主应力特征方程展开,得:展开,得:第12页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的
9、主应力与主方向q主主应应力力特特征征方方程程有有三三个个实实数数根根,s s1 1,s s2 2,s s3 3分分别别表表示示这这三三个个根根,代表某点三个主应力,从而代表某点三个主应力,从而确定弹性体内部任意一点主应力确定弹性体内部任意一点主应力。q主主应应力力和和应应力力主主轴轴方方向向取取决决于于载载荷荷、形形状状和和边边界界条条件件等等,与与坐坐标标轴的选取无关。轴的选取无关。qI1、I2、I3 分分别别称称为为应应力力张张量量的的第第一一、第第二二和和第第三三不不变变量量。特特征征方方程程的的根根是是确确定定的的,即即系系数数I1、I2、I3的的值值是是不不随随坐坐标标轴的改变而变化
10、的。轴的改变而变化的。第13页,共36页,编辑于2022年,星期六结合结合 l2+m2+n2=1则可求主应力方向。则可求主应力方向。过一点任意斜面的主应力与方向过一点任意斜面的主应力与方向 对于对于主应力方向主应力方向,将,将s s1 1,s s2 2,s s3 3分别代入分别代入 可以证明:三个主可以证明:三个主应力方向应力方向,是互相垂直的。,是互相垂直的。第14页,共36页,编辑于2022年,星期六过一点任意斜面的应力极值过一点任意斜面的应力极值弹性体内任意一点的最大正应力为弹性体内任意一点的最大正应力为s s1,最小正应力为最小正应力为s s 3最大切应力可以通过主应力计算,等于最大切
11、应力可以通过主应力计算,等于(s s 1-s s3)/2。最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到,其作用平面通过最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到,其作用平面通过s s 2 应力主方向,并且平分应力主方向,并且平分s s 1和和s s 3应力主方向的夹角(即应力主方向的夹角(即45角)角)。问题问题4 4、已知任一点处三个主应力(、已知任一点处三个主应力(s s1 s s2 s s3),及其应力主方),及其应力主方向,可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值向,可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值第15页,共36页,编辑于2022年,星期六例例1:证明主应力是正应力的极值(
12、极大或极小)。:证明主应力是正应力的极值(极大或极小)。解:为了计算方便,选三个主方向为坐标轴向,则有解:为了计算方便,选三个主方向为坐标轴向,则有s sx=s s1,s sy=s s2,s sz=s s3,t txy=t tyz=t txz=0 0设任意斜微分面的方向余弦为(设任意斜微分面的方向余弦为(l,m,n),其上的全应力为其上的全应力为公式(公式(72),正应力为公式(),正应力为公式(73),代入有),代入有s sn=s s1 l2+s s2m2+s s3n2=s s1(s s1-s s2)m2-(s s1-s s3)n2设三个主应力大小顺序为设三个主应力大小顺序为 s s1 s
13、s2 s s3,则正应力取极大值条则正应力取极大值条件:件:m=n=0,|l|=1,即极大值为即极大值为s s1。同理极小值为同理极小值为s s3。例题例题第16页,共36页,编辑于2022年,星期六例例1:证明主应力是正应力的极值(极大或极小)。:证明主应力是正应力的极值(极大或极小)。解:为了计算方便,选三个主方向为坐标轴向,则有解:为了计算方便,选三个主方向为坐标轴向,则有s sx=s s1,s sy=s s2,s sz=s s3,t txy=t tyz=t txz=0 0设任意斜微分面的方向余弦为(设任意斜微分面的方向余弦为(l,m,n),其正应力为公其正应力为公式(式(73),代入有
14、),代入有s sn=s s1 l2+s s2m2+s s3n2=s s1(s s1-s s2)m2-(s s1-s s3)n2设三个主应力大小顺序为设三个主应力大小顺序为 s s1 s s2 s s3,则正应力取极大值条则正应力取极大值条件:件:m=n=0,|l|=1,即极大值为即极大值为s s1。同理极小值为同理极小值为s s3。例题例题第17页,共36页,编辑于2022年,星期六q 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何
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