线性代数发展简介ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性代数发展简介幻灯片制作幻灯片制作幻灯片制作幻灯片制作:张小向张小向张小向张小向东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系版本版本版本版本:2008.1:2008.111http:/202.194.14.194/xxds/old/ziliao/fazhan.htmhttp:/202.194.14.194/xxds/old/ziliao/fazhan.htm 参参参参 考考考考 资资资资 料料料料 22http:/ 33http:/ 44http:/ 55http:/ 66

2、http:/turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/http:/turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式出现于线性方程组的求解出现于线性方程组的求解最早是一种速记的表达式最早是一种速记的表达式现已是数学中一种非常有用的工具现已是数学中一种非常有用的工具发明人发明人:德国数学家德国数学家莱布尼茨莱布尼茨日本数学家日本数学家关孝和关孝和篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间

3、里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式1750年，瑞士数学家年，瑞士数学家克拉默克拉默线性代数分析导引线性代数分析导引行列式的行列式的定义定义和和展开法则展开法则，克拉默法则克拉默法则稍后，法国数学家稍后，法国数学家贝祖贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解断一个齐次线性方程组有非零解篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式法国数学家范德蒙德法国

4、数学家范德蒙德(Alexandre-Thophile Vandermonde,1735.2.28-1796.1.1)对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述把行列式理论与线性方程组求解相分离把行列式理论与线性方程组求解相分离给出了用余子式来展开行列式的法则给出了用余子式来展开行列式的法则自幼在父亲的指导下学习音乐自幼在父亲的指导下学习音乐但对数学有浓厚的兴趣但对数学有浓厚的兴趣后来终于成为法兰西科学院院士后来终于成为法兰西科学院院士篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式1772年，法国数学家年，

5、法国数学家拉普拉斯拉普拉斯证明了范德蒙德提出的一些规则证明了范德蒙德提出的一些规则推广了范德蒙德展开行列式的方法推广了范德蒙德展开行列式的方法1815年，法国数学家年，法国数学家柯西柯西第一个系统的几乎是近代的处理第一个系统的几乎是近代的处理乘法定理乘法定理,方阵方阵,双足标记法双足标记法改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明出了一个证明篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式19世纪，英国数学家世纪，英国数学家西尔维斯特西尔维斯特活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动活泼、敏感、

6、兴奋、热情，甚至容易激动他他(犹太人犹太人)受到剑桥大学的不平等对待受到剑桥大学的不平等对待改进了从一个改进了从一个n次和一个次和一个m次的多项式中次的多项式中消去消去 x的方法的方法(他称之为配析法他称之为配析法)并给出形成的行列式为零时这两个多项式并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果方程有公共根充分必要条件这一结果(但没但没有给出证明有给出证明)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式德国数学家德国数学家雅可比雅可比继柯西之后，在行列式理论方面最多产继柯西之后，在行列式理论方面最多产引

7、进了函数行列式引进了函数行列式(雅可比行列式雅可比行列式)指出函数行列式在多重积分的变量替换中指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式的作用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文雅可比的著名论文论行列式的形成和性质论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成标志着行列式系统理论的建成篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统行列式由于行列式在数学分析、几何学、线性方由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在

8、促使行列式理论自身在19世纪也得到了很世纪也得到了很大发展。大发展。整个整个19世纪都有行列式的新结果。世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统矩阵“矩阵矩阵”这个词是由这个词是由西尔维斯特西尔维斯特首先使用的首先使用的他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而发明了这个述语。英国数学家英国数学家凯莱凯莱被公

9、认为是矩阵论的创立者被公认为是矩阵论的创立者首先把矩阵作为一个独立的数学概念首先把矩阵作为一个独立的数学概念首先发表了关于这个题目的一系列文章首先发表了关于这个题目的一系列文章同研究线性变换下的不变量相结合，首先同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。引进矩阵以简化记号。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统矩阵英国数学家英国数学家英国数学家英国数学家凯莱凯莱凯莱凯莱18581858年，年，年，年，矩阵论的研究报告矩阵论的研究报告矩阵论的研究报告矩阵论的研究报告系统地阐述了关于矩阵的理论系统地阐述了关于矩阵的

10、理论系统地阐述了关于矩阵的理论系统地阐述了关于矩阵的理论:矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的相等相等相等相等、运算法则运算法则运算法则运算法则、转置转置转置转置以及以及以及以及逆逆逆逆等等等等指出了指出了指出了指出了矩阵加法的可交换性矩阵加法的可交换性矩阵加法的可交换性矩阵加法的可交换性与与与与可结合性可结合性可结合性可结合性方阵的方阵的方阵的方阵的特征方程特征方程特征方程特征方程和和和和特征根特征根特征根特征根(特征值特征值特征值特征值),),有关矩阵的一些基本结果有关矩阵的一些基本结果有关矩阵的一些基本结果有关矩阵的一些基本结果凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭

11、凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学三年后他转从律师职业，工作卓有成效三年后他转从律师职业，工作卓有成效三年后他转从律师职业，工作卓有成效三年后他转从律师职业，工作卓有成效并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因

12、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统矩阵1855年，法国数学家年，法国数学家埃米特埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等的特征根性质等后来，德国数学家后来，德国数学家克莱伯施克莱伯施、布克海姆、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根等证明了对称矩阵的特征根性质性质泰伯泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论了一些有关的结论篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的

13、计时计分系统是一种得分类型的系统矩阵德国数学家德国数学家弗罗伯纽斯弗罗伯纽斯最小多项式最小多项式、秩秩、不变因子不变因子和和初等因子初等因子、正交矩阵正交矩阵、相似变换相似变换、合同矩阵合同矩阵等概念等概念以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论因子的理论并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质性质篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统矩阵1854年，法国数学家年，法国数学家若尔当若尔当矩阵化为标准型的问题矩阵化为标准型的问题1892年，加拿大数学

14、家梅茨勒年，加拿大数学家梅茨勒(WilliamHenryWilliamHenryMetzlerMetzler,1863.9.18-1943.4.18),1863.9.18-1943.4.18)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式阵的幂级数的形式傅里叶傅里叶、西尔和、西尔和庞加莱庞加莱的著作中还讨论了的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。的需要而开始的。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统矩阵矩阵本身所具有的

15、性质依赖于元素的性质，矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支的发展，现在已成为独立的一门数学分支矩阵论。矩阵论。而矩阵论又可分为而矩阵论又可分为矩阵方程论矩阵方程论、矩阵分解矩阵分解论论和和广义逆矩阵论广义逆矩阵论(M-P)等矩阵的现代理论。等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。的各个领域。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性方程组公元前公元前1世纪

16、世纪,九章算术九章算术初等行变换初等行变换,相当于相当于高斯消元法高斯消元法。17世纪后期世纪后期,德国数学家德国数学家莱布尼茨莱布尼茨曾研究含两个未知量三个方程的线性组曾研究含两个未知量三个方程的线性组18世纪上半叶世纪上半叶,英国数学家英国数学家麦克劳林麦克劳林具有二、三、四个未知量的线性方程组具有二、三、四个未知量的线性方程组得到了现在称为得到了现在称为克拉默法则克拉默法则的结果的结果克拉默克拉默不久也发表了这个法则不久也发表了这个法则篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性方程组18世纪下半叶，法国数学家世纪下半叶

17、，法国数学家贝祖贝祖 对线性方程组理论进行了一系列研究对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零是系数行列式等于零19世纪，英国数学家世纪，英国数学家史密斯史密斯和和道奇森道奇森 前者引进了方程组的增广矩阵的概念前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了后者证明了n个未知数个未知数m个方程的方程组相个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同同篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线性方程组

18、大量的科学技术问题，最终往往归结为解大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。中占有重要地位。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统向量古希腊的古希腊的古希腊的古希腊的亚里士多德亚里士多德亚里士多德亚里士多德已经知道力可以表示成向量

19、，已经知道力可以表示成向量，已经知道力可以表示成向量，已经知道力可以表示成向量，二力合成的平行四边形法则。二力合成的平行四边形法则。二力合成的平行四边形法则。二力合成的平行四边形法则。法国数学家法国数学家法国数学家法国数学家笛卡儿笛卡儿笛卡儿笛卡儿和和和和费马费马费马费马为解析几何奠定了基础为解析几何奠定了基础为解析几何奠定了基础为解析几何奠定了基础。挪威测量学家未塞尔挪威测量学家未塞尔挪威测量学家未塞尔挪威测量学家未塞尔(CasparCaspar WesselWessel,1745.6.8-1745.6.8-1818.3.25),1818.3.25),瑞士数学家阿工瑞士数学家阿工瑞士数学家阿

20、工瑞士数学家阿工(Jean Robert(Jean Robert ArgandArgand,1768.7.18-1822.8.13)1768.7.18-1822.8.13)发明了复数的几何表示。发明了复数的几何表示。发明了复数的几何表示。发明了复数的几何表示。英国数学家英国数学家英国数学家英国数学家科兹科兹科兹科兹,法国数学家法国数学家法国数学家法国数学家棣美弗棣美弗棣美弗棣美弗,范德蒙德范德蒙德范德蒙德范德蒙德(Alexandre-ThophileAlexandre-Thophile VandermondeVandermonde,1735.2.281735.2.28-1796.1.11796

21、.1.1),),瑞士数学家瑞士数学家瑞士数学家瑞士数学家欧拉欧拉欧拉欧拉也曾认识到平面上的点也曾认识到平面上的点也曾认识到平面上的点也曾认识到平面上的点可与复数一一对应。可与复数一一对应。可与复数一一对应。可与复数一一对应。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统向量德国数学家德国数学家高斯高斯建立了复平面的概念。建立了复平面的概念。英国物理学家数学家英国物理学家数学家亥维赛亥维赛在向量分析上在向量分析上作出了许多贡献。作出了许多贡献。1843年年,英国数学家英国数学家哈密顿哈密顿发现了四元数。发现了四元数。1844年年,德国

22、数学家德国数学家格拉斯曼格拉斯曼提出了提出了n 维向维向量的理论。量的理论。1888年年,意大利意大利数学家数学家皮亚诺皮亚诺以公理的方式以公理的方式定义了有限定义了有限维或无限维向量空间维或无限维向量空间。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二次型二次型的系统研究是从二次型的系统研究是从18世纪开始的世纪开始的起源于对二次曲线起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论面的分类问题的讨论19世纪世纪,法国数学家法国数学家柯西柯西当方程是标准型时，二次曲面用二次项的当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类符号来进行分类然

23、而，那时并不太清楚，在化简成标准型然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项时，为何总是得到同样数目的正项和负项篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二次型后来后来,英国数学家英国数学家西尔维斯特西尔维斯特回答了这个问题，他给出了回答了这个问题，他给出了n个变数的二次个变数的二次型的惯性定律，但没有证明型的惯性定律，但没有证明这个定律后被这个定律后被雅可比雅可比重新发现和证明重新发现和证明1801年，德国数学家年，德国数学家高斯高斯在在算术研究算术研究中中引进了二次型的引进了二次型的正定正定、负

24、定负定、半正定半正定和和半半负定负定等术语等术语篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二次型二次型化简的进一步研究涉及特征方程的二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念概念特征方程的概念隐含地出现在瑞士数学家特征方程的概念隐含地出现在瑞士数学家欧拉欧拉的著作中的著作中;法国数学家法国数学家拉格朗日拉格朗日在其关于线性微分方在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念程组的著作中首先明确地给出了这个概念;而三个变数的二次型的特征值的实性则是而三个变数的二次型的特征值的实性则是由由阿歇特阿歇特、蒙日蒙日和和泊松泊松建立

25、的建立的篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二次型法国数学家法国数学家柯西柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题的二次型问题证明了特征方程在直角坐标系的任何变换证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性下不变性后来，他又证明了后来，他又证明了n个变数的两个二次型个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和能用同一个线性变换同时化成平方和篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二次型1851年，英国数

26、学家年，英国数学家西尔维斯特西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类分类在他的分类方法中他引进了初等因子和不在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念变因子的概念但他没有证明但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变因子组成两个二次型的不变量的完全集不变量的完全集”这一结论这一结论篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二次型1858年，德国数学家年，德国数学家魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成

27、平方和给出了一个对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法一般的方法并证明，如果二次型之一是正定的，那么并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根不相等，这个化简也是可即使某些特征根不相等，这个化简也是可能的能的比较系统的完成了二次型的理论并将其推比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型广到双线性型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论公元前公元前公元前公元前3 3世纪世纪世纪世纪,古希腊的古希腊的古希腊的古希腊的阿基米德阿基米德阿基米德阿基米德曾用图像法解出曾用图像法解出曾用图像法解出曾用图像法解出

28、特殊的数字三次方程特殊的数字三次方程特殊的数字三次方程特殊的数字三次方程公元前公元前公元前公元前1 1世纪世纪世纪世纪,九章算术九章算术九章算术九章算术:x x3 3=1860867=1860867公元公元公元公元3 3世纪世纪世纪世纪,希腊的丢番图希腊的丢番图希腊的丢番图希腊的丢番图:x x3 3+x x=4=4x x2 2+4+4 625625年左右年左右年左右年左右,唐朝数学家王孝通唐朝数学家王孝通唐朝数学家王孝通唐朝数学家王孝通:三次方程三次方程三次方程三次方程10791079年年年年,阿拉伯数学家奥马阿拉伯数学家奥马阿拉伯数学家奥马阿拉伯数学家奥马 海亚姆海亚姆海亚姆海亚姆 (Oma

29、r(Omar KhayyamKhayyam,约约约约1048-1048-约约约约1131)1131)在在在在代数代数代数代数中较系统地研究了一、二、三次方中较系统地研究了一、二、三次方中较系统地研究了一、二、三次方中较系统地研究了一、二、三次方程程程程以上都未给出求根公式以上都未给出求根公式以上都未给出求根公式以上都未给出求根公式篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论15411541年，意大利数学家塔尔塔利亚年，意大利数学家塔尔塔利亚年，意大利数学家塔尔塔利亚年，意大利数学家塔尔塔利亚 (N.TartagliaN.Tar

30、taglia,1499?-1557),1499?-1557)三次方程的求根公式三次方程的求根公式三次方程的求根公式三次方程的求根公式15451545年年年年,意大利的卡尔达诺意大利的卡尔达诺意大利的卡尔达诺意大利的卡尔达诺(G.CardanoG.Cardano,1501-1576),1501-1576)在在在在大术大术大术大术中介绍了三次方程的求根公式中介绍了三次方程的求根公式中介绍了三次方程的求根公式中介绍了三次方程的求根公式卡尔达诺的学生费拉里卡尔达诺的学生费拉里卡尔达诺的学生费拉里卡尔达诺的学生费拉里一元四次方程的一般解法一元四次方程的一般解法一元四次方程的一般解法一元四次方程的一般解法

31、但是对于更高次方程的求根公式是否存在，成为但是对于更高次方程的求根公式是否存在，成为但是对于更高次方程的求根公式是否存在，成为但是对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。次失败，但总是摆脱不了困境。次失败，但总是摆脱不了困境。次失败，但总

32、是摆脱不了困境。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论到了到了18世纪下半叶，世纪下半叶，拉格朗日拉格朗日认真总结分认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。高次方程问题。拉格朗日的弟子拉格朗日的弟子鲁菲尼鲁菲尼也做了许多努力，但都以失败告终也做了许多努力

33、，但都以失败告终篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论1824年，挪威数学家年，挪威数学家阿贝尔阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解能有根式解但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解程可以用根式求解因此，高于四次的代数方程何时没有根式因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题解，是需要进一步解决的问题这一问题由法国数学家这一问题由法国数学家伽罗瓦伽罗瓦全面透彻地全面透彻地给予解决给予解决篮球比赛是根据运

34、动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的立了方程的根的立了方程的根的立了方程的根的“容许容许容许容许”置换，提出了置换群的概置换，提出了置换群的概置换，提出了置换群的概置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是置换

35、群的自同构群可解置换群的自同构群可解置换群的自同构群可解置换群的自同构群可解从这种意义上说，伽罗瓦是群论的创立者从这种意义上说，伽罗瓦是群论的创立者从这种意义上说，伽罗瓦是群论的创立者从这种意义上说，伽罗瓦是群论的创立者伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝英年早逝英年早逝英年早逝 18321

36、832年年年年 55月，由于政治和爱情的纠葛，在一次月，由于政治和爱情的纠葛，在一次月，由于政治和爱情的纠葛，在一次月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅决斗中被打死，年仅决斗中被打死，年仅决斗中被打死，年仅 2121岁岁岁岁 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论置换群的概念和结论是最终产生抽象群的置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源第一个主要来源抽象群产生的第二个主要来源则是抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金戴德金和和克罗内克克罗内克的有限群及有限交换群的抽象的有限群及有限交换群的抽象定义

37、以及定义以及凯莱凯莱关于有限抽象群的研究工作关于有限抽象群的研究工作克莱因克莱因和和庞加莱庞加莱给出了无限变换群和其他给出了无限变换群和其他类型的无限群类型的无限群19世纪世纪70年代，年代，李李开始研究连续变换群，开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源成抽象群论的第三个主要来源篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论1882-1883年，德国数学家年，德国数学家迪克迪克把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概

38、念之中，建立了（抽象）群的定义概念之中，建立了（抽象）群的定义到到19世纪世纪80年代，数学家们终于成功地年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系概括出抽象群论的公理体系20世纪世纪80年代，群的概念已经普遍地被年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一之一篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统群论如今如今,群论不但渗透到诸如几何学、代数拓群论不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要

39、的作用，还形成了一些分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。理论等方面，都有重要作用。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统NielsHenrikAbelBorn:5Aug1802inFrindoe(nearStavan

40、ger),NorwayDied:6April1829inFroland,Norway 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:287 BC in Syracuse,Sicily Died:212 BC in Syracuse,Sicily ArchimedesofSyracuse 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:384 BC in Stagirus,Macedonia,Greece Died:322 BC in Chalcis,Eu

41、boea,Greece Aristotle 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:31March1730inNemours,FranceDied:27Sept1783inBasses-Loges(nearFontainbleau),FrancetienneBzout 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统AugustinLouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,FranceDied:23May1857inSceaux(ne

42、arParis),France 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:16Aug1821inRichmond,EnglandDied:26Jan1895inCambridge,EnglandArthurCayley 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:19Jan1833inKnigsberg,Germany(nowKaliningrad,Russia)Died:7Nov1872inGttingen,GermanyRudolfFried

43、richAlfredClebsch 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:10July1682inBurbage,Leicestershire,EnglandDied:5June1716inCambridge,Cambridgeshire,EnglandRogerCotes 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:31July1704inGeneva,SwitzerlandDied:4Jan1752inBagnols-sur-Ceze,F

44、ranceGabrielCramer 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统Born:6Oct1831inBraunschweig,duchyofBraunschweig(nowGermany)Died:12Feb1916inBraunschweig,duchyofBraunschweig(nowGermany)JuliusWihelmRichardDedekind 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统RenDescartesBorn:31March15

45、96inLaHaye(nowDescartes),Touraine,FranceDied:11Feb1650inStockholm,Sweden 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统CharlesLutwidgeDodgsonBorn:27Jan1832inDaresbury,EnglandDied:14Jan1898inGuilford,England 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统WaltherFranzAntonvonDyckBorn:6D

46、ec1856inMunich,GermanyDied:5Nov1934inMunich,Germany 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,SwitzerlandDied:18Sept1783inStPetersburg,Russia 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统PierredeFermatBorn:17Aug1601inBeaumont-de-Lomagne,Franc

47、eDied:12Jan1665inCastres,France 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统FerdinandGeorgFrobeniusBorn:26Oct1849inBerlin-Charlottenburg,Prussia(nowGermany)Died:3Aug1917inBerlin,Germany 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统JeanBaptisteJosephFourierBorn:21March1768inAuxerre

48、,Bourgogne,FranceDied:16May1830inParis,France 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统JohannCarlFriedrichGaussBorn:30April1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Feb1855inGttingen,Hanover(nowGermany)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统EvaristeGaloisBorn:25O

49、ct1811inBourgLaReine(nearParis),FranceDied:31May1832inParis,France 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统HermannGnterGrassmannBorn:15April1809inStettin,Prussia(nowSzczecin,Poland)Died:26Sept1877inStettin,Germany(nowSzczecin,Poland)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系

50、统JeanNicolasPierreHachetteBorn:6May1769inMzires,Ardennes,FranceDied:16Jan1834inParis,France 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统SirWilliamRowanHamiltonBorn:4Aug1805inDublin,IrelandDied:2Sept1865inDublin,Ireland 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统OliverHeavisideBo