计算机图形学chap4-图形的表示与数据结构ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统计算机图形学基础计算机图形学基础华东理工大学计算机系华东理工大学计算机系 谢晓玲谢晓玲篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o如如何何在在计计算算机机中中建建立立恰恰当当的的模模型型表表示示不不同同图图形形

2、对象。对象。o如如何何组组织织图图形形对对象象的的描描述述数数据据以以使使存存储储这这些些数数据据所所要要的的空空间间最最省省，检检索索、处处理理这这些些数数据据的的速速度较快。度较快。第四章第四章 图形的表示与数据结构图形的表示与数据结构2篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o基本概念基本概念o三维形体的表示三维形体的表示o非规则对象的表示非规则对象的表示o层次建模层次建模图形的表示与数据结构图形的表示与数据结构3

3、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o造型技术造型技术o基本图形元素基本图形元素o几何信息与拓扑信息几何信息与拓扑信息o坐标系坐标系o实体的定义实体的定义o正则集合运算正则集合运算o欧拉公式欧拉公式4.1 4.1 基本概念基本概念4篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时

4、计分系统是一种得分类型的系统o把把研研究究如如何何在在计计算算机机中中建建立立恰恰当当的的模模型型表表示示不不同图形对象的技术称为造型技术。同图形对象的技术称为造型技术。o有两类图形对象：有两类图形对象：规则对象：几何造型、几何模型。规则对象：几何造型、几何模型。不规则对象：过程式模拟。不规则对象：过程式模拟。基本概念基本概念造型技术造型技术5篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统6o规则对象：用欧氏几何描述的对象规则

5、对象：用欧氏几何描述的对象o几何造型：规则对象的造型几何造型：规则对象的造型o几何模型：在几何造型中描述的规则对象几何模型：在几何造型中描述的规则对象o不规则对象：不能用欧氏几何描述的对象不规则对象：不能用欧氏几何描述的对象o过过程程式式模模拟拟：用用一一个个简简单单的的模模型型以以及及少少量量的的参参数来表示一类对象数来表示一类对象基本概念基本概念造型技术造型技术篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本概念基本概念

6、基本图形元素基本图形元素p基本图形元素基本图形元素：图素或图元、体素。：图素或图元、体素。p图素图素是指可以用一定的几何参数和属性参数描是指可以用一定的几何参数和属性参数描述的最基本的图形输出元素。述的最基本的图形输出元素。p在二维图形系统中将基本图形元素称为图素或在二维图形系统中将基本图形元素称为图素或图元图元，在三维图形系统中称为，在三维图形系统中称为体素体素。p常见基本图形元素：点、线、面、环、体、常见基本图形元素：点、线、面、环、体、7篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多

7、少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o图形信息图形信息n几何信息几何信息：形体在欧氏空间中的位置和大小。：形体在欧氏空间中的位置和大小。n拓拓扑扑信信息息：形形体体各各分分量量（点点、边边、面面）的的数数目目及其相互间的连接关系。及其相互间的连接关系。o非图形信息非图形信息线性、颜色、亮度、线性、颜色、亮度、基本概念基本概念几何信息与拓扑信息几何信息与拓扑信息8图图4.3 94.3 9种拓扑信息种拓扑信息篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负

8、的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o刚刚体体运运动动：不不改改变变图图形形上上任任意意两两点点间间的的距距离离，也不改变图形的几何性质的运动。也不改变图形的几何性质的运动。o拓拓扑扑运运动动（弹弹性性运运动动）：在在拓拓扑扑关关系系中中，对对图图形形可可随随意意地地伸伸张张扭扭曲曲。但但图图上上各各个个点点仍仍为为不不同同的点，决不允许把不同的点合并成一个点。的点，决不允许把不同的点合并成一个点。基本概念基本概念几何信息与拓扑信息几何信息与拓扑信息10篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动

9、队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统11o拓拓扑扑等等价价：一一个个图图形形作作弹弹性性运运动动可可使使之之与与另另一一个图形重合。个图形重合。o拓扑性质：与拓扑等价的图形所具有的性质。拓扑性质：与拓扑等价的图形所具有的性质。基本概念基本概念几何信息与拓扑信息几何信息与拓扑信息篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o建建模模坐坐标系系(MC,Modeling Coo

10、rdinate System)：造造型型坐坐标系、局部坐系、局部坐标系系o用用户坐坐标系系(WC,World Coordinate System)：全全局局坐坐标系、世界坐系、世界坐标系系o观察察坐坐标系系(VC,Viewing Coordinate System)：指指定定裁裁剪空剪空间、定、定义观察（投影）平面察（投影）平面o规 格格 化化 设 备 坐坐 标 系系(NDC,Normalized Device coordinate System)：定：定义视图区区o设备坐坐标系系(DC,Device Coordinate System)：通通常常是是像素或位像素或位图的坐的坐标系系基本概念基

11、本概念坐标系坐标系12篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本概念基本概念实体的定义实体的定义图图4.4 4.4 带有悬挂边的立方体带有悬挂边的立方体是没有意义的形体是没有意义的形体实体造型必须保证形体是有效的，实体造型必须保证形体是有效的，即即“客观存在客观存在”：刚性：即具有一定的形状刚性：即具有一定的形状维数的一致性：在三维空间中，维数的一致性：在三维空间中，一个物体的各部分均应是三维的一个物体的各部分均应是三

12、维的有限的空间：体积有限有限的空间：体积有限边界的确定：根据边界可以区边界的确定：根据边界可以区分物体的内部及外部分物体的内部及外部封闭性：一个有效的实体经刚封闭性：一个有效的实体经刚体运动、集合运算后仍然是有效体运动、集合运算后仍然是有效的实体的实体13篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统14基本概念基本概念实体的定义实体的定义o三维空间中的物体是一个内部连通的三维点集三维空间中的物体是一个内部连通的三维点集连连通

13、通性性：位位于于物物体体表表面面上上的的任任意意两两个个点点都都可可以以用用物物体体表表面的一条路经连接起来面的一条路经连接起来有有界界性性：物物体体表表面面可可将将空空间间分分为为互互不不连连通通的的两两部部分分，其其中一部分是有界的中一部分是有界的非自相交性：物体的表面不能自相交非自相交性：物体的表面不能自相交可定向性：物体表面的两侧可以定义物体的内侧或外侧可定向性：物体表面的两侧可以定义物体的内侧或外侧闭闭合合性性：每每一一条条边边有有且且仅仅有有两两个个顶顶点点；每每一一条条边边连连接接两两个或两个以上的面个或两个以上的面篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此

14、，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统15点集拓扑学的定义：点集拓扑学的定义：o点点的的领领域域：如如果果P是是点点集集S的的一一个个元元素素，那那么么点点P的的以以R（R0）为为半半径径的的领领域域指指的的是是围围绕绕点点P的半径为的半径为R的小球（二维情况下为小圆）。的小球（二维情况下为小圆）。o开开集集的的闭闭包包：是是指指该该开开集集与与其其所所有有边边界界点点的的集集合合并集，本身是一个闭集。并集，本身是一个闭集。o正则集正则集：由内部点构成的点集的闭包就是正则集，：由内

15、部点构成的点集的闭包就是正则集，三维空间的正则集就是正则形体。三维空间的正则集就是正则形体。基本概念基本概念实体的定义实体的定义篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本概念基本概念实体的定义实体的定义o组成三维物体的点的集合可以分为两类：组成三维物体的点的集合可以分为两类：n内点为点集中的这样一些点，它们具有完全内点为点集中的这样一些点，它们具有完全包含于该点集的充分小的领域。包含于该点集的充分小的领域。n边界点：不

16、具备此性质的点集中的点。边界点：不具备此性质的点集中的点。16篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本概念基本概念实体的定义实体的定义o定义点集的正则运算定义点集的正则运算r运算为：运算为：oiA为为A的全体内点的集合，是一个开集。的全体内点的集合，是一个开集。o再取闭包的运算再取闭包的运算c。ociA为A的全体内点的闭包，是一个闭集。的全体内点的闭包，是一个闭集。orA称为称为A的正则集。的正则集。17篮球比赛是根

17、据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本概念基本概念实体的定义实体的定义图图4.5 4.5 实体的例子实体的例子18篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统图图4.6 4.6 正则形体正则形体但不是实体模型的描述对象但不是实体模型的描述对象基本概念基本概念

18、实体的定义实体的定义实体应具有二维流形性实体应具有二维流形性质。质。二维流形二维流形指的是对于实指的是对于实体表面上的任意一点，体表面上的任意一点，都可以找到一个围绕着都可以找到一个围绕着它的任意小的领域，该它的任意小的领域，该领域与平面上的一个圆领域与平面上的一个圆盘是拓扑等价的。盘是拓扑等价的。19篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o即该领域与圆盘之间存在着连续的一一对应关系。即该领域与圆盘之间存在着连续的一一

19、对应关系。o如如果果实实体体表表面面上上的的一一条条边边所所连连接接的的面面多多于于两两个个，那那么么这这条条边边上上任任意意一一个个点点的的小小领领域域都都包包含含来来自自这这些些面面上上的的点点，因此与圆盘不是拓扑等价的。因此与圆盘不是拓扑等价的。基本概念基本概念实体的定义实体的定义图图4.7 4.7 正则形体正则形体20篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o实实体体：对对于于一一个个占占据据有有限限空空间间的的

20、正正则则形形体体，如如果其表面是二维流形，则该正则形体为实体果其表面是二维流形，则该正则形体为实体。基本概念基本概念实体的定义实体的定义21篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统p有效实体的封闭性。有效实体的封闭性。p把把能能够够产产生生正正则则形形体体的的集集合合运运算算称称为为正正则则集集合合运运算。算。基本概念基本概念正则集合运算正则集合运算22篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮

21、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统图图4.8 集合运算与正则集合运算集合运算与正则集合运算（正则交）基本概念基本概念正则集合运算正则集合运算23篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统24两种方法实现正则运算：两种方法实现正则运算：p间接方式间接方式基基于于点点集集拓拓扑扑学学的的领领域域概概念念，先先按按通

22、通常常的的集集合合运运算求出集合，然后再用一些规则加以判断算求出集合，然后再用一些规则加以判断p直接方式直接方式定义正则集合算子的表达式，直接求得正则集合定义正则集合算子的表达式，直接求得正则集合基本概念基本概念正则集合运算正则集合运算篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统25p间接方式间接方式p邻邻域域：如如果果P是是点点集集S的的一一个个元元素素，那那么么P点点以以R(0)为为半半径径的的邻邻域域是是围围绕绕P点点

23、的的半半径径为为R的的小球（二维为小圆）。小球（二维为小圆）。p当且仅当当且仅当P的邻域为满时，的邻域为满时，P在在S的之内。的之内。p当且仅当当且仅当P的邻域不满不空时，的邻域不满不空时，P在在S的边界上。的边界上。基本概念基本概念正则集合运算正则集合运算篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统图图4.9 基于点的领域概念生成正则形体基于点的领域概念生成正则形体取点取点P和和R，点，点P在集合在集合A上的领域为上的领域

24、为PA，在集合，在集合B上的上的领域为领域为PB。点。点R在集合在集合A上的领域为上的领域为RA，在集合，在集合B上的领域为上的领域为RB。则：则：PA与与PB的交集为空，所以的交集为空，所以P点不在点不在A*B的边界上；的边界上；RA与与RB的交集不为空，所以的交集不为空，所以R点在点在A*B的边界上；的边界上；基本概念基本概念正则集合运算正则集合运算26篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统27p直接方式直接方式p

25、正正 则则 形形 体体 是是 三三 维维 空空 间间 中中 的的 点点 的的 正正 则则 集集S=bS,iS;p正则集正则集S可以用边界点集可以用边界点集bS和内部点集和内部点集iS表示表示p如如果果bS符符合合正正则则形形体体表表面面的的性性质质，则则bS所所包包围的空间就是围的空间就是iS基本概念基本概念正则集合运算正则集合运算图图4.10 正则集合运算正则集合运算A*B，A*B，A*B的结果（实线表示结果形体的边界）的结果（实线表示结果形体的边界）B)(b-sharedA bA),in B(b-B,out A bB)-(AbBb sharedA bA,in Bb B,in A bB)(A

26、bBb sharedA bA,out Bb B,out A bB)(Ab*=篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本概念基本概念平面多面体与欧拉公式平面多面体与欧拉公式o简单多面体：与球拓扑等价的多面体：与球拓扑等价的多面体多面体。o欧欧拉拉公公式式证证明明简简单单多多面面体体的的顶顶点点数数V、边边数数E和和面面数数F满满足足如如下下关关系系：V-E+F=2。（必必要要条条件）件）o附加条件：附加条件：1.每一条每

27、一条边必必连接两个点；接两个点；2.一条边被而且仅被两个面共享；一条边被而且仅被两个面共享；3.至少要有三条边交于一个顶点。至少要有三条边交于一个顶点。图图4.11 简单多面体简单多面体29篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统30基本概念基本概念平面多面体与欧拉公式平面多面体与欧拉公式o非非简单多多面面体体需需对欧欧拉拉公公式式加加以以扩展展。令令H表表示示多多面面体体表表面面上上孔孔的的个个数数，G表表示示贯穿穿多

28、多面面体体的的孔孔的的个个数数，C表表示示独独立立的的、不不相相连接接的的多多面面体体数数，则扩展后的欧拉公式展后的欧拉公式为：V-E+F-H=2(C-G)。图图4.12 非简单多面体非简单多面体24V-36E+15F-3H=2(1C-1G)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o线框模型与框模型与实体模型（体模型（实体造型技体造型技术）o可以将可以将实体模型的表示大致分体模型的表示大致分为三三类：n边界界表表示示（B

29、oundary representation,B-reps）n构造构造实体几何表示体几何表示n空空间分割（分割（Space-partitioning）表示表示4.2 4.2 三维形体的表示三维形体的表示31篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o多边形表面模型多边形表面模型o扫描表示扫描表示o构造实体几何法构造实体几何法o空间位置枚举表示空间位置枚举表示o八叉树八叉树oBSP树树oOpenGL中的实体模型函数中的实体模

30、型函数三维形体的表示三维形体的表示32篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o边界界表表示示(B-reps)的的最最普普遍遍方方式式是是多多边形形表表面面模模型型，它它使使用用一一组包包围物物体体内内部部的的平平面面多多边形，也即平面多面体，来描述形，也即平面多面体，来描述实体。体。多边形表面模型多边形表面模型图图4.16 4.16 四面体及其点、边、面的关系四面体及其点、边、面的关系33篮球比赛是根据运动队在规定的比

31、赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多边形表面模型多边形表面模型数据结构数据结构o几何信息几何信息n建建立立3张张表表：顶顶点点表表、边边表表和和多多边边形形表表来来存存储几何数据。储几何数据。n实实体体模模型型中中，用用多多边边形形顶顶点点坐坐标标值值以以及及多多边边形形所所在在平平面面方方程程方方式式保保存存实实体体单单个个表表面面部部分分的空间方向信息的空间方向信息34篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比

32、赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统线框模型的顶点表、边表和面边表多边形表面模型多边形表面模型数据结构数据结构篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多边形表面模型多边形表面模型数据结构数据结构已知三个不共线的点坐标已知三个不共线的点坐标V V1 1(x(x1 1,y,y1 1)、V V2 2(x(x2 2,y,y

33、2 2)和和 V V3 3(x(x3 3,y,y3 3)，求平面方程（，求平面方程（Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0）的）的参数参数A A、B B、C C、D DA=yA=y1 1(z(z2 2-z-z3 3)+y)+y2 2(z(z3 3-z-z1 1)+y)+y3 3(z(z1 1-z-z2 2)B=zB=z1 1(x(x2 2-x-x3 3)+z)+z2 2(x(x3 3-x-x1 1)+z)+z3 3(x(x1 1-x-x2 2)(4-3)(4-3)C=xC=x1 1(y(y2 2-y-y3 3)+x)+x2 2(y(y3 3-y-y1 1)+x)+x3 3(y(y1

34、1-y-y2 2)D=-xD=-x1 1(y(y2 2z z3 3-y-y3 3z z2 2)-x)-x2 2(y(y3 3z z1 1-y-y1 1z z3 3)-x)-x3 3(y(y1 1z z2 2-y-y2 2z z1 1)平面法向量平面法向量N N为为(A,B,C)(A,B,C)约定：法向量指向面的外侧面。约定：法向量指向面的外侧面。当多边形顶点序列指定为逆时针方向时，当多边形顶点序列指定为逆时针方向时，法向量方向满足右手法则。法向量方向满足右手法则。N篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在

35、规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o法向量也可以通过向量叉积求得法向量也可以通过向量叉积求得N=(VN=(V2 2-v-v1 1)(V(V3 3-V-V1 1)(4-4)(4-4)o已知法向量已知法向量N和任意点和任意点P，平面方程为：，平面方程为：NP=-DNP=-D(4-5)(4-5)o根根据据Ax+By+Cz+D的的值值可可以以判判断断点点是是否否在在面上、面外、面内。面上、面外、面内。Ax+By+Cz+D=0点点(x,y,z)在面上在面上Ax+By+Cz+D0点点(x,y,z)在面外在面外Ax+By+Cz+D0点点(x,y,z)在面内

36、在面内多边形表面模型多边形表面模型数据结构数据结构篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多边形表面模型多边形表面模型数据结构数据结构o拓拓扑扑信信息息：翼翼边结构构表表示示（Winged Edges Structure）图图4.19 4.19 翼边结构表示翼边结构表示38篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分

37、多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多边形表面模型多边形表面模型数据结构数据结构o属性信息属性信息 用用属属性性表表来来存存储储多多边边形形面面的的属属性性，指指明明物物体体透透明明度度及及表表面面反反射射度度的的参参数数和和纹纹理理特特征征等等。等等。39篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o多多边形形网网格格：三三维形形体体的的边界界通通常常用用多多边形形网网格（格（polygon

38、mesh）的拼接来模的拼接来模拟。o例子例子多边形表面模型多边形表面模型图图4.20 4.20 三角形带与四边形网格三角形带与四边形网格40篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o扫描描表表示示法法（sweep representation）一一种种基基于于图图元元(如如一一个个点点、一一条条线线或或一一个个面面)，沿沿某某一一个个给定轨迹移动而形成特定几何体的方法。给定轨迹移动而形成特定几何体的方法。o包含两个要素包

39、含两个要素n一是作一是作扫描运描运动的基本的基本图形（截面）；形（截面）；n二是二是扫描运描运动的方式。的方式。扫描表示（扫描表示（sweep representationsweep representation）41篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 图形B是梯形A绕Z轴作旋转扫描后形成的形体扫描表示（扫描表示（sweep representationsweep representation）篮球比赛是根据运动队

40、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o构构造造实体体几几何何法法（CSG，Constructive Solid Geometry）由由两两个个实体体间的的并并、交交或或差差操操作作生成新的生成新的实体。体。构造实体几何法构造实体几何法图图4.25 4.25 构造实体几何法构造实体几何法43篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分

41、多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o在在构构造造实实体体几几何何法法中中，集集合合运运算算的的实实现现过过程程可可以用一棵二叉树（称为以用一棵二叉树（称为CSG树）来描述。树）来描述。n树的叶子是基本体素或是几何变换参数；树的叶子是基本体素或是几何变换参数；n树树的的非非终终端端结结点点是是施施加加于于其其子子结结点点的的正正则则集集合合算算子子（正正则则并并、正正则则交交和和正正则则差差）或或几几何何变换的定义。变换的定义。构造实体几何法构造实体几何法44篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系

42、统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o CSG树的形式一般定义为：树的形式一般定义为：:=|构造实体几何法构造实体几何法篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统构造实体几何法构造实体几何法篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜

43、负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统构造实体几何法构造实体几何法图图4.26 4.26 由由CSG树产生二维形体的实例树产生二维形体的实例47篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o优点点：如如果果体体素素设置置比比较齐全全，通通过集集合合运运算算就可以构造出多种不同的符合需要的就可以构造出多种不同的符合需要的实体。体。o缺缺点点一一：集集合合运运算算的的中中间结果果难以以用用简单的的代代数方程表示，

44、求交困数方程表示，求交困难。o缺缺点点二二：CSG树不不能能显式式地地表表示示形形体体的的边界界，因而无法直接因而无法直接显示示CSG树表示的形体。表示的形体。构造实体几何法构造实体几何法48篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o解决：光解决：光线投射算法投射算法构造实体几何法构造实体几何法图图4.27 4.27 光线投射算法光线投射算法(实体实体A B取取ad，实体，实体AB则取则取cb,实体实体A-B则取则取ab

45、)49篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o空空间间位位置置枚枚举举表表示示法法将将包包含含实实体体的的空空间间分分割割为为大大小小相相同同、形形状状规规则则（正正方方形形或或立立方方体体）的的体体素素，然然后后，以以体素的集合来表示图形对象。体素的集合来表示图形对象。n二维情况，常用二维数组存放。二维情况，常用二维数组存放。n三维情况下，常用三维数组三维情况下，常用三维数组pijk来存放。来存放。o优优点点：可可以

46、以表表示示任任何何实实体体、容容易易实实现现集集合合运运算算和和体体积积计算；计算；o缺点：占用空间大、没有边界信息。缺点：占用空间大、没有边界信息。空间位置枚举表示空间位置枚举表示50篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统51o分分割割检检索索法法：将将实实体体所所占占据据的的立立体体空空间间沿沿坐坐标标轴轴方方向向分割分割,用一棵三层的树结构表示实体。用一棵三层的树结构表示实体。n先分割为二维的片。先分割为二维的片

47、。n如如片片内内的的编编码码完完全全相相同同，则则不不需需要要再再分分割割，否否则则再分割为一维的条。再分割为一维的条。n如如条条内内的的编编码码完完全全相相同同，则则不不需需要要再再分分割割，否否则则再分割为单元。再分割为单元。空间位置枚举表示空间位置枚举表示篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统52空间位置枚举表示空间位置枚举表示XZY 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0ZYX1 2 3 41 2

48、3 41 2 3 41 2 3 41 1 1 10 0 0 00 1 1 00 0 0 0Z=1Xy1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1Z=2Xy0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0Z=3Xy1 1 1 10 0 0 01 1 1 10 0 0 0Z=4Xy篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o八八叉叉树树（octreesoctrees）又又称称为为分分层层树树结结构构，它它对

49、对空空间间进进行行自自适适应应划划分分，采采用用具具有有层层次次结结构构的的八八叉叉树树来来表表示示实实体体，类类似似二二维维实实体体的的四四叉叉树树（QuadtreeQuadtree）表示。）表示。八叉树八叉树53篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统八叉树八叉树四叉树四叉树将平面对象用矩形包围起来，并分为4个区域（象限）如(a)，作为四叉树的根节点。F(Full)完全被覆盖B(Boundary)部分被覆盖E(Emp

50、ty)完全没有被覆盖若根节点处于F或E，则四叉树建立完毕。否则，将其等分为4个区域，为第1层子节点。象限2象限3象限4象限1(a)54篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统55八叉树八叉树四叉树四叉树继续考察4个区域的状态是否是B，如(b)。对于状态为B的象限（非均质象限）再细分为4个小象限，形成第2层子节点，直到给定精度下不出现B象限为止。B BEF B1 2 3 4BBBEB BBBF BFEF EEEF EEFF