数值分析--第3章函数逼近与快速傅里叶变换ppt课件.ppt

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1、为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第第3 3章章 函数逼近与快速傅里叶变换函数逼近与快速傅里叶变换3.1 函数逼近的基本概念3.2 正交多项式3.3 最佳平方逼近3.4 曲线拟合的最小二乘法3.5 有理逼近3.6 三角多项式与快速傅里叶变换1/19/20231课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间函数逼近与函数空间 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中

2、计算 基本初等函数及其他特殊函数；2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.问题问题 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题函数逼近问题.1/19/20232课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 插值法就是函数逼近问题的一种.记作 ，本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数中求函数 ，使 与 的误差在某种度量要在另一类简单的便于计算的函数类意义下最小”.函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ，称为连续函数空间连续函数空间

3、.1/19/20233课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项式等.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间空间.与数的乘法构成实数域上的线性空间，例如将所有实 维向量组成的集合，按向量加法及向量称为 维维记作 ，向量空间向量空间.1/19/20234课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 类似地,记 为具有 阶连续导数的函数空间

4、.记作 .所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 数与函数乘法构成数域 上的线性空间，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 称为多项式空间多项式空间.用 表示，上一个线性空间，对次数不超过 (为正整数)的实系数多项式全体，1/19/20235课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定义定义1 1设集合 是数域 上的线性空间，元素 如果存在不全为零的数 ，（1.1）则称 线性相关线性相关.否则，若等式(1.1)只对 成立，则称 线性无关线性无关.使得1/19/20236课件为了规范事业单位聘用关系

5、，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益系数 称为 在基并称空间 为 维空间维空间，若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的，即对 都有则 称为空间 的一组基基，记为下的坐标坐标，记作 如果 中有无限个线性无关元素 则称 为无限维线性空间无限维线性空间.1/19/20237课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（1.2）它由 个系数 唯一确定.考察次数不超过 次的多项式集合 ，它是 的一组基，是线性无关的，且 是 的坐标向量，是 维的.表示为其元素故1/19/2

6、0238课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益使误差 对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 均可用有限维的 逼近，(为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.1/19/20239课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益使 定理定理1 1总存在一设 ，则对任何 ，个代数多项式 ，在 上一致成立.伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式（1.

7、3）1/19/202310课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 为二项式展开系数，并证明了在 上一致成立；若 在 上 阶导数连续，则其中 这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.（1.3）1/19/202311课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 来逼近 ，可表示为（1.4）此时元素 函数逼近问题就是对任何 ，找一个元素 ，使

8、在某种意义下最小.在子空间中1/19/202312课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 3.1.2 范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广.1/19/202313课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定义定义2 2 设 为线性空间，若存在唯一实数，满足条件：（1）当且仅当 时，（正定性）（2）(齐次性)（3）(三角不等式)则称为线性空间 上的范

9、数，与一起称为赋范线性空间，记为 1/19/202314课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例如，在 上的向量 三种常用范数为 称为 范数或最大范数，称为 1-范数，称为 2-范数.1/19/202315课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 而满足1=1 的向量 则为对角线长度为1的菱形.实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，就可以定义成一种向量范数.在 中，满足2=1，即 的向量为单位圆，满足=1，即 的向量为单位

10、正方形，1/19/202316课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.1/19/202317课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 类似地，对连续函数空间 ，若 ,称为 范数，称为 1-范数，称为 2-范数.可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.可定义三种常用范数如下：1/19/202318课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适

11、应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.1.3 内积与内积空间内积与内积空间 在线性代数中，中两个向量 及的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义.（1.5）1/19/202319课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定义定义3 3则称 为X上 与 的内积.X 是数域K(R或C)上的线性空间，对有K中一个数与之对应，记为 ，它满足以下条件：1/19/202320课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，

12、保障用人单位和职工的合法权益 定义中（1）的右端 称为 的共轭共轭，当K为实数域R时 .如果 ，则称 与 正交正交，这是向量相互垂直概念的推广.定义了内积的线性空间称为内积空间内积空间.1/19/202321课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定理定理2 2对 有（1.6）称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.证明证明当 时（1.6）式显然成立.现设 ，则 ，且对任何数 有取 ，设X为一个内积空间，代入上式右端，得1/19/202322课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场

13、经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益即得 时 1/19/202323课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定理定理3 3（1.7）称为格拉姆(Gram)矩阵，则 非奇异的充分必要条件是 线性无关.设X为一个内积空间，矩阵1/19/202324课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 证明证明只有零解；（1.9）G非奇异等价于 ，其充要条件是齐次 方程组（1.8）而1/19/202325课件为了规范事业单位

14、聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 从以上等价关系知，而后者等价于从（1.9）推出即 线性无关.在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于（1.10）等价于从（1.8）推出记（1.8）1/19/202326课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益两端开方即得三角不等式（1.11）利用1/19/202327课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例例1 1与 的内积.

15、设 （1.12）向量2-范数为 1/19/202328课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益相应的范数为（1.13）若给定实数称 为权系数，当 时，上的加权内积为（1.13）就是前面定义的内积.1/19/202329课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 如果 ，（1.14）这里 仍为正实数序列，为 的共轭.在 上也可以类似定义带权内积.带权内积定义为1/19/202330课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济

16、体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定义定义4 4设 是有限或无限区间，在 上的非负函数 满足条件：（1）存在且为有限值（2）对 上的非负连续函数 ，如果则称 为 上的一个权函数权函数.则1/19/202331课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例例2 2 设是 上给定的权函数,（1.15）由此内积导出的范数为 称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数.上的内积.则可定义内积（1.16）1/19/202332课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事

17、业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 常用的是 的情形，即 1/19/202333课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若 是 中的线性无关函数族，（1.17）根据定理3可知 线性无关的充要条件是 它的格拉姆矩阵为记1/19/202334课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳逼近多项式的问题.3.1.4 最佳逼近最佳逼近 若 使误差则称 是 在 上的最佳逼近多项式最佳逼近多项式.

18、若 则称相应的 为最佳逼近函数.通常将范数 取为 或1/19/202335课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若取 ，即（1.18）则称 是 在 上的最优一致逼近多项式最优一致逼近多项式.求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.1/19/202336课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若取 ，即则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式.（1.19）若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使则称 为 的最小

19、二乘拟合最小二乘拟合.（1.20）1/19/202337课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.2 正交多项式正交多项式 3.2.1 正交函数族与正交多项式正交函数族与正交多项式 定义定义5 5（2.1）则称 与 在 上带权 正交正交.若上的权函数且满足为1/19/202338课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族正交函数族.若 ，则称之为标准正交函数族标准正交函数族.（2.2）

20、1/19/202339课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 三角函数族 就是在区间 上的正交函数族.定义定义6 6设 是 上首项系数 的 次多项式，为 上权函数，满足关系式(2.2)，则称多项式序列 为在 上带权 正交正交，称 为 上带权 的 次正交多项式正交多项式.如果多项式序列（2.2）1/19/202340课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（2.3）只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性无关的幂函数 利用逐个正交化手续

21、构造出正交多项式序列 ：1/19/202341课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 正交多项式 的最高次项系数为1.而若 是正交多项式，则 在 上是线性无关的.事实上，若用 乘上式并积分得1/19/202342课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 利用正交性有（1）任何 均可表示为 的线性组合.即由于 ，故即 线性无关.关于正交多项式，有1/19/202343课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业

22、单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 （2）与任一次数小于 的多项式 正交.即 除此之外，还有1/19/202344课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益这里 定理定理4 4 设 是 上带权 的正交多项式，对 成立关系 （2.4）其中 1/19/202345课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定理定理5 5 设 是 上带权 的正交多项式，则 在区间 内有 个不同的零点.证明证明 假定 在 内的零点都是偶数重的，则

23、在 符号保持不变，这与 矛盾.故 在 内的零点不可能全是偶数重的，现设 为 在 内的奇数重零点，不妨设 则 在 处变号.1/19/202346课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益令于是 在 上不变号，则得若 ，由 的正交性可知这与 矛盾，故 .而 只有 个零点，故 ，即 个零点都是单重的.1/19/202347课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 3.2.2 勒让德多项式勒让德多项式 罗德利克罗德利克(Rodrigul）给出了简

24、单的表达式（2.5）当区间为 ，权函数 时，并用 表示.正交化得到的多项式就称为勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式，由1/19/202348课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由于 是 次多项式，所以对其求 阶导数后得 最高项系数为1的勒让德多项式为（2.6）于是得首项 的系数1/19/202349课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益勒让德多项式重要性质：性质性质1 1（2.7）证明证明令 ，则设 是在区间 上 阶连续

25、可微的函数，由分部积分知 正交性1/19/202350课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益下面分两种情况讨论:（1）若 是次数小于 的多项式，则 故得1/19/202351课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益则 （2）若 于是 由于 故 1/19/202352课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 性质性质2 2（2.8）由于 是偶次多项式，经过偶

26、次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时 为偶函数，为奇数时 为奇函数，于是（2.8）成立.奇偶性1/19/202353课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 性质性质3 3 考虑 次多项式两边乘 并从-1到1积分，递推关系它可表示为得故得当 时，次数小于等于 ，为0，上式左端积分1/19/202354课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 当 时，其中 左端积分仍为0，故于是为奇函数，1/19/202355课

27、件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由从而得到以下的递推公式（2.9）利用上述递推公式就可推出1/19/202356课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图3-1 图3-1给出了 的图形.1/19/202357课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 在区间 内有 个不同的实零点.性质性质4 41/19/202358课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完

28、善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 3.2.3 切比雪夫多项式切比雪夫多项式 当权函数 ，区间为 时，由序列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)多项式多项式.它可表示为（2.10）若令 ，则1/19/202359课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 性质性质1 1 切比雪夫多项式有很多重要性质：这只要在三角恒等式 中，令 即得.递推关系（2.11）1/19/202360课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的

29、事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 由（2.11）可推出 的函数图形见图3-2.1/19/202361课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图3-2 由递推关系（2.11）还可得到 的最高次项系数是1/19/202362课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 性质性质2 2（2.12）令 ，则 ，切比雪夫多项式 在区间 上带权 正交，且于是1/19/202363课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义

30、市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若令 ，则 是首项系数为1的切比雪夫多项式.性质性质4 4在区间 上有 个零点 性质性质3 3只含 的偶次幂，只含 的奇次幂.这个性质由递推关系直接得到.性质性质5 5 的首项 的系数为1/19/202364课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若记 为所有次数小于等于 的首项系数为1的多项式集合，对 有以下性质：定理定理6 6 设 是首项系数为1的切比雪夫多项式，则且1/19/202365课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义

31、市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定理6表明在所有首项系数为1的 次多项式集合 中，所以 是 中最大值最小的多项式，即（2.13）利用这一结论，可求 在 中的最佳（一致）逼近多项式.1/19/202366课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由定理6可知，多项式 与零偏差最小，解解由题意，所求最佳逼近多项式 应满足当时，故例例3 3求 在 上的最佳2次逼近多项式.1/19/202367课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保

32、障用人单位和职工的合法权益就是 在 上的最佳2次逼近多项式.由于切比雪夫多项式是在区间 上定义的，对于一般区间 ，要通过变量替换变换到 ，可令（2.14）则可将 变换到1/19/202368课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 切比雪夫多项式 在区间 上有 个零点 3.2.4 切比雪夫多项式零点插值切比雪夫多项式零点插值和 个极值点（包括端点）这两组点称为切比雪夫点切比雪夫点，它们在插值中有重要作用.1/19/202369课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度

33、，保障用人单位和职工的合法权益 从图3-3可以看到切比雪夫点恰好是单位圆周上等距分布点的横坐标，这些点的横坐标在接近区间 的端点处是密集的.图3-3 利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化.设插值点 为相应的 次拉格朗日插值多项式，则余项1/19/202370课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益于是其中是由被插函数决定的.如果插值节点为 的零点1/19/202371课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益则由（2.13）可

34、得由此可导出插值误差最小化的理论.定理定理7 7 设插值节点 为切比雪夫多项式 的零点，被插函数 为相应的插值多项式，则（2.15）1/19/202372课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 对于一般区间 上的插值只要利用变换（2.14）则可得到相应结果，此时插值节点为1/19/202373课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例例4 4 求 在 上的四次拉格朗日插值多项式 ，插值节点用 的零点并估计误差 解解 利用 的零点和区

35、间变换可知节点即对应的拉格朗日插值多项式为1/19/202374课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益利用（2.15）可得误差估计而于是有1/19/202375课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 在第2章中曾经指出，高次插值会出现龙格现象，一般 不收敛于 ，因此并不适用.但若用切比雪夫多项式零点插值却可避免龙格现象，可保证整个区间上收敛.1/19/202376课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业

36、单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例例5 5 设 ，在 上利用 的零点作插值点，构造10次拉格朗日插值多项式 .与第2章得到的等距节点造出的 近似 作比较.解解 在 上的10次切比雪夫多项式 的零点为作变换 它们是 内的插值点，由此得到 在 上的拉格朗日插值多项式 1/19/202377课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 的图形见图3-4，从图上可见 没有出现龙格现象.图3-41/19/202378课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保

37、障用人单位和职工的合法权益 3.2.5 其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式 区间 及权函数 不同，则得到的正交多项式也不同.除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常用的正交多项式.1.第二类切比雪夫多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式第二类切比雪夫多项式.1/19/202379课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 表达式为（2.16）令 ，即 是 上带权 的正交多项式族.可得1/19/202380课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人

38、员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益递推关系 1/19/202381课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 2.拉盖尔多项式 在区间 上带权 的正交多项式称为拉拉盖尔盖尔(Laguerre)多项式多项式.其表达式为（2.17）正交性质 1/19/202382课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益递推关系 1/19/202383课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位

39、和职工的合法权益 表达式（2.18）正交关系 在区间 上带权 的正交多项式称为埃尔米特多项式埃尔米特多项式.3.埃尔米特多项式 1/19/202384课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益递推关系 1/19/202385课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3.3 最佳平方逼近最佳平方逼近1/19/202386课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 3

40、.3.1 最佳平方逼近及其计算最佳平方逼近及其计算 对 及 中的一个子集若存在 ，使（3.1）则称 是 在子集 中的最佳平方逼近最佳平方逼近函数函数.1/19/202387课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 由（3.1）可知该问题等价于求多元函数（3.2）的最小值.是关于 的二次函数，即 利用多元函数求极值的必要条件（3.1）1/19/202388课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益于是有（3.3）这个关于 的线性方程组，称为

41、法方程法方程.由于 线性无关，故于是方程组（4.3）有唯一解从而得到1/19/202389课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益即对任何 下面证明 满足（3.1），（3.4）为此只要考虑 有（3.1）1/19/202390课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 由于 的系数 是方程（3.3）的解，从而上式第二个积分为0，故（3.4）成立.这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数.故于是（3.3）（3.4）1/19/202391课件为

42、了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益若令（3.5）则平方误差为 若取中求 次最佳平方逼近多项式则要在1/19/202392课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益此时 若用 表示 对应的矩阵，（3.6）称为希尔伯特希尔伯特(Hilbert)矩阵矩阵.即1/19/202393课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 记（3.7）的解 即为所求.则1/19/202

43、394课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例例6 6设 解解得方程组 求 上的一次最佳平方逼近多项式.利用（3.7），得（3.7）1/19/202395课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益解之 故 平方误差 最大误差 1/19/202396课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近用正交函数族作最佳平方逼近 设

44、 若 是满足条件(2.2)的正交函数族，而 故法方程（3.3）的系数矩阵 则（3.3）（2.2）1/19/202397课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为非奇异对角阵，（3.8）于是 在 中的最佳平方逼近函数为（3.9）且方程（3.3）的解为（3.3）1/19/202398课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由（3.5）可得均方误差为（3.10）由此可得贝塞尔贝塞尔(Bessel)不等式不等式（3.11）（3.5）1/19/2

45、02399课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 若 ，按正交函数族 展开，（3.12）称这个级数为 的广义傅里叶广义傅里叶(Foureir)级数级数，讨论特殊情况，设 是正交多项式，可由 正交化得到，则有下面的收敛定理.得级数系数按（3.8）计算，系数称为广义傅里叶系数广义傅里叶系数.它是傅里叶级数的直接推广.（3.8）1/19/2023100课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 定理定理8 8设 考虑函数（3.13）的最佳平方

46、逼近多项式，是由（3.9）给出的其中是正交多项式族，则有展开，由(3.8)，(3.9)可得按勒让德多项式 （3.9）1/19/2023101课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益根据均方误差公式(3.10)，平方误差为（3.15）由定理8可得 其中（3.14）（3.10）1/19/2023102课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 如果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论.公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ，定

47、理定理9 9则对任意 和当 充分大时有设由(3.13)给出，它具有以下性质.（3.13）（2.6）1/19/2023103课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 证明证明 定理定理1010勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小.在所有最高次项系数为1的 次多项式中，设 是任意一个最高次项系数为1的 次多项式，它可表示为1/19/2023104课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益于是 当且仅当 时等号才成立，即当时平方误差最小.1/

48、19/2023105课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式.例例7 7 解解先计算1/19/2023106课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由(3.14)得 代入(3.13)得三次最佳平方逼近多项式（3.14）（3.13）1/19/2023107课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益最大误差 如果 求 上的最佳平

49、方逼近多项式，均方误差 做变换1/19/2023108课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益于是 在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 1/19/2023109课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致的.只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项

50、式.由于勒让德多项式 是在区间 上由 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由1/19/2023110课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 3.3.3 切比雪夫级数切比雪夫级数 如果 ，按 展成广义傅里叶级数，由（3.12）可得级数（3.16）其中系数根据（3.8）式，由（2.12）得到（3.17）这里级数（3.16）称为 在 上的切比雪夫级数.1/19/2023111课件为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合