《空间角的计算》PPT课件.ppt
《《空间角的计算》PPT课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《空间角的计算》PPT课件.ppt(59页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、 空间向量的引入为代数方法处理立体空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法,几何问题提供了一种重要的工具和方法,解题时,可用定量的计算代替定性的分析,解题时,可用定量的计算代替定性的分析,从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题,角与距离是立体几何的一类重要的问题,也是高考的热点之一。我们主要研究怎么也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。样用向量的办法解决空间角的问题。空间的角:空间的角:空间的角常见的有:空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。空
2、间两条异面直线所成的角可转化为两条相空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时,就主要求时,就主要求 范围内范围内 的角;的角;斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角,再结合与面垂直、平行或在的射影所成锐角,再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况,线面角的范围也是面内这些特殊情况,线面角的范围也是 ;两个平面所成的角是用二面角的平面角来两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是度量。它的范围是 。总之,空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。总之,空间的
3、角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。异面直线所成角的范围:异面直线所成角的范围:思考:思考:结论:结论:一、线线角:一、线线角:所以 与 所成角的余弦值为解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示,设 则:所以:例一:例一:练习:练习:在长方体 中,简解:简解:直线与平面所成角的范围:思考:思考:结论:结论:二、线面角:二、线面角:例二:在长方体 中,简解:简解:所以所以练习:的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为设正方体棱长为1,l将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个
4、个面面的的方方向向向向量量(在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱)的的夹夹角角。如如图图,设设二二面面角角 的的大大小小为为 ,其中其中DCBA三、面面角:三、面面角:方向向量法:方向向量法:二面角的范围:例三:例三:如如图图3 3,甲站在水,甲站在水库库底面上的点底面上的点A A处处,乙站在水,乙站在水坝坝斜面上的点斜面上的点B B处处。从。从A A,B B到直到直线线 (库底与水坝的交线)的距离(库底与水坝的交线)的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 ,AB,AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二
5、面角的余弦值。解:解:如图,如图,化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则有根据向量的加法法则有于是,得于是,得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ,就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此ABCD所以所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为所以库底与水坝所成二面角的余弦值为ll三、面面角:三、面面角:二面角的范围:法向量法法向量法注意注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角同进同出,二面角等于法向量夹角的补角设平面设平面 方向朝面外,方向朝面外,方向朝面方向朝面内,属于内,属
6、于“一进一出一进一出”的情的情况,二面角等于法向量夹角况,二面角等于法向量夹角小结:小结:1.异面直线所成角:2.直线与平面所成角:lDCBA3.二面角:ll一进一出,一进一出,二面角等于二面角等于法向量的夹法向量的夹角;角;同进同出,同进同出,二面角等于二面角等于法向量夹角法向量夹角的补角。的补角。2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是 n n1 1=(1 1,0 0,1 1),),n n2 2=(0 0,1 1,1 1),那么这条斜线与平面所成的角是),那么这条斜线与平面所成的角是_ _.1 1、已知、已知
7、 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.3.三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角的余弦所成角的余弦值为值为_.4.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成角的余弦所成角的余弦值为值为_.2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是 =(1 1,0 0,1 1),),=(0 0,1 1,1 1),那么
8、这条斜线与平面所成的角是),那么这条斜线与平面所成的角是_._.3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1),则,则两平面所成的钝二面角为两平面所成的钝二面角为_._.练习练习:1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.60013504.三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角的所成角的余弦余弦值为值为_.5.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1
9、中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.6.正方体中正方体中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_7.正三棱柱正三棱柱 中,中,D是是AC的中点,当的中点,当 时,求二面角时,求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A18.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2,O为为AC和和BD的交点,的交点,M为为 的中点的中点 (1 1)求证:)求证:直线直线 面面MAC;(2 2)求二面角)求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOM 解解法法
10、一一:如如图图,以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a,侧棱长为,侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1,则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F,则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小在在 中,中,即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为由于 且 ,所以 在 中,同理可求 cos =即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE解法二解法二:同法一,以:同法一,以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向
11、量为的一个法向量为 同法一,可求同法一,可求 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以,可取所以,可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外,方向朝面外,方向朝面方向朝面内,属于内,属于“一进一出一进一出”的情的情况,二面角等于法向量夹角况,二面角等于法向量夹角8.证明:以证明:以 为正交基底,为正交基底,建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得8.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2,O为为AC和和BD的交点,的交点,M为为
12、 的中点的中点 (1 1)求证:)求证:直线直线 面面MAC;(2 2)求二面角)求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyz B1A1 C1D1DCBAOMxyz习题课习题课例例1 如图,在四棱锥如图,在四棱锥P-ABCD中,底面中,底面ABCD是正方形,侧棱是正方形,侧棱PD 底面底面ABCD,PD=DC,E是是PC的中点,作的中点,作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证:求证:PA/平面平面EDB(2)求证:求证:PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABDP PE EF FC例例2、如图,在四棱锥、如图,在四棱锥S-ABCD中,底面
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 空间角的计算 空间 计算 PPT 课件
限制150内