高等数学函数的微分教学ppt课件.ppt

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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第二章第二章 导数与微分导数与微分 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二节第二节 导数的计算导数的计算 第三节第三节 函数的微分函数的微分 1第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第三节第三节 函数的微分函数的微分 本节主要内容本节主要内容:一一.微分的概念微分的概念 二二.微

2、分的几何意义微分的几何意义 三三.微分的基本公式及运算法则微分的基本公式及运算法则四四.微分的近似计算微分的近似计算 2第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一一.微分的概念微分的概念 引例引例：一块正方形金属片受热后其边长：一块正方形金属片受热后其边长 x 由由 x0 变到变到 x0 x 考查考查此薄片的面积此薄片的面积 A 的改变情况的改变情况.因为因为 A x2 所以金属片面积所以金属片面积的改变量为的改变量为 A(x0 x)2(x0)2 2x0 x

3、(x)2 A 2x0 x3第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 定义定义2.3.1 若函数若函数y=f(x)的增量的增量 y 可表示为可表示为 y=f(x0+x)-f(x0)=A x+(x)(x0),其中其中A与与 x无关无关,则称则称y=f(x)在在x0可微可微,且称且称 A x为为f(x)在在x0的微分，记作的微分，记作即即y f(x)在点在点x0可微可微 y A x o(x)，即，即 dy=A x 4第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节

4、导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 定理定理2.3.1 函数函数y=f(x)在在x0可微的充要条件是可微的充要条件是y=f(x)在在x0可导当可导当y=f(x)在在x0可微时，有可微时，有 通常把自变量的增量通常把自变量的增量 x 称为称为自变量的微分自变量的微分,记记做做 dx,则函数则函数 y=f(x)的微分可记做的微分可记做 dy=f (x0)dx,从而有从而有5第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因

5、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 例例1 求函数求函数 y=3x2在在x=1 处处 x分别为分别为0.1和和 0.01的的增量与微分增量与微分.解解:6第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二二.微分的几何意义微分的几何意义如图所示，如图所示，PN=dx，NM=y，NT=PNtan=f (x)dx，所以，所以 dy=NT，即函数，即函数 y=f(x)的微分的微分 dy就就是是曲曲线线 y=f(x)在在点点 P 处处切切线线的的纵纵坐坐标标的的

6、增增量量，而而 y 就就是是曲曲线线 y=f(x)的纵坐标的增量的纵坐标的增量.PT）MTN7第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三三.微分的基本公式及运算法则微分的基本公式及运算法则d(xm m)m m xm m 1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax

7、ln adx d(e x)exdx(xm m)m m xm m 1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)ax ln a(e x)ex微分公式微分公式:导数公式导数公式:8第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统微分公式微分公式:导数公式导数公式:9第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮

8、球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统微分的四则运算微分的四则运算微分的四则运算微分的四则运算求导法则求导法则 微分法则微分法则 (uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu d(uv)vduudv10第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2 求求y=x2arctanx的微分的微分.解解:11第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导

9、数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3 求函数求函数 y=ln x/x的微分的微分.解解:12第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)若若u是是自变量自变量，dy=f (u)du；复合函数的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则结论结论：一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性 设函数设函数 y=f(u)有导数有导数f (u).(2)若若u是是

10、中间变量中间变量，可以令，可以令 u j j(x)，即，即y f j j(x)dy y x dx f (u)j j (x)dx 13第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例4 求求y=sin23x的微分的微分.解解:14第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5 求求 的微分的微分.解解:15第二章第二章 导数与微

11、分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例6 求求 的微分的微分.解解:16第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例7 （参数方程求导法则）（参数方程求导法则）设参数方程设参数方程中中x(t),y(t)对对t可导，且可导，且x (t)0,求求 解解:17第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运

12、动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统四四.微分的近似计算微分的近似计算 当函数当函数y f(x)在点在点x0处的导数处的导数f (x0)0 且且|x|很小时很小时 我们有我们有 y dy f (x0)x 若令若令x x0 Dx 即即Dx x x0 那么又有那么又有f(x0 x)f(x0)dy f (x0)x f(x0 x)f(x0)f (x0)x f(x)f(x0)f (x0)x 特别当特别当x0 0时时 有有 f(x)f(0)f (0)x 用来求函数增用来求函数增量的近似值量的近似值用来求函数值用来求函数值的近似值的近似值求函数在求函数

13、在x=0附近的附近的近似值近似值18第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统常用近似公式常用近似公式19第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例8 求求 的近似值的近似值令令 f(x)=sinx取辅助函数取辅助函数找邻近于找邻近于x=30 30 的一点的一点x0代入公式代入公式f(x)f(x0)f (x0)x 取取x0

14、=30,则则 x=30=f (x)=cosx,则则f (x0)=cos解解:20第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例9 求求 的近似值的近似值解解:21第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 内容小结内容小结 一一.微分的概念微分的概念 二二.微分的几何意义微分的几何意义 三三.微分的基本公式及运算法则微分的基本公式及运算法则 22