高等数学导数的计算教学ppt课件.ppt

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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第二章第二章 导数与微分导数与微分 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二节第二节 导数的计算导数的计算 第三节第三节 函数的微分函数的微分 1第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第二节第二节 导数的计算导数的计算本节主要内容本节主要内容:一一.导数公式及四则运算法则导数公式及

2、四则运算法则 二二.复合函数的导数复合函数的导数 三三.隐函数与参数式函数的导数隐函数与参数式函数的导数 四四.高阶导数高阶导数 2第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一一.导数公式及四则运算法则导数公式及四则运算法则定理定理2.2.1 设设u(x)，v(x)在在x可导，则可导，则u(x)v(x),u(x)v(x),也在也在x可导，且有可导，且有（一）（一）导数的四则运算导数的四则运算3第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算

3、 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 推论推论1 若若u(x)在在x可导，可导，c是常数，则是常数，则 cu(x)在在 x可导，且可导，且 推论推论2 乘积求导公式可以推广到有限个可导函乘积求导公式可以推广到有限个可导函数的乘积数的乘积若若u,v,w 都是区间都是区间I内的可导函数内的可导函数4第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解：解：例例1 求求f(x)=x3-2x2+sinx

4、在在x=0处的导数处的导数例例2 求求y=sinxlnx的导数的导数解：解：5第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解：解：例例3(csc x)=-cscxcotx.(cot x)=-csc2x,类似可得类似可得 6第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解：解：例例4 求求 的导数的导数7第二章第二章 导数与微分导数与

5、微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统（二）反函数的导数（二）反函数的导数 定理定理2.2.2 设设y=f(x)为为x=(y)的反函数如的反函数如果果x=(y)在某区间在某区间Iy内严格单调，可导且内严格单调，可导且 (y)0则它的反函数则它的反函数y=f(x)也在对应的区间也在对应的区间Ix内可导，且有内可导，且有8第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类

6、型的系统解：解：例例5 求求y=arcsinx的导数的导数 由于由于y=arcsinx，x(-1,1)为为x=siny，y (-/2,/2)的反函数，且当的反函数，且当y (-/2,/2)时，时，(siny)=cosy0所以所以9第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统类似地可得类似地可得 10第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得

7、分类型的系统解：解：例例6 求求y=logax(a0,a 1)的导数的导数 由于由于y=logax，x(0,+)为为x=a y，y (-,+)的反函数，因此的反函数，因此特别地，自然对数的导数为特别地，自然对数的导数为11第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统（三）导数基本公式（三）导数基本公式12第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是

8、一种得分类型的系统例例7 设设 ，求，求 y 例例8 设设 ，求，求 y 解：解：解：解：13第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例9 设设 ，求，求 f (x)例例10 设设 ，求，求 y 解：解：解：解：14第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例11 设设 ，求，求 f (x)解：解：15第二章第二章 导数

9、与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二二.复合函数的导数复合函数的导数 定理定理2.2.3 设函数设函数 y=f(u)与与u=(x)可以复合可以复合成函数成函数y=f (x)，如果，如果u=(x)在在x0可导，而可导，而 y=f(u)在对应的在对应的u0=(x0)可导，则函数可导，则函数y=f (x)在在 可可导，且有导，且有即即:因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.16

10、第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 设函数设函数 y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数均可导，则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且 设设 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则均可导，则复合函数复合函数 y=f (x)也可导，也可导，17第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例12 设设 y=

11、sin3x，求，求y 例例13 设设 y=(x3+3x+1)2，求，求y 解：解：解：解：18第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例14 设设 ，求，求y 解：解：19第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例15 求求y=ln(-x)的导数的导数即即 y=ln(-x)可由可由y=lnu,u=-x复合而成，则有复合

12、而成，则有解：解：20第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 y=ln|f(x)|可由可由y=ln|u|,u=f(x)复合而成，则复合而成，则有有例例16 求求y=ln|f(x)|的导数的导数(f(x)0且且f(x)可导可导)在我们运用公式比较熟练以后，解题时就可以不在我们运用公式比较熟练以后，解题时就可以不必写出中间变量，从而使求导过程相对简洁必写出中间变量，从而使求导过程相对简洁解：解：21第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数

13、的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例17 求求y=ln|secx+tanx|的导数的导数解：解：验证验证：.22第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例18 求求 的导数的导数解：解：23第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例19

14、 求求 的导数的导数解：解：24第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例20 求求y=2xsecx+(arctan x3)2 的导数的导数解：解：25第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例21 设函数设函数f(x)在在0,1上可导，且上可导，且 y=f(sinx)+2f(x3)求求y 解：解：26第二章第二章 导

15、数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统隐函数：隐函数：隐函数：隐函数：由含由含x，y的方程的方程F(x,y)=0给出的函数称给出的函数称 为隐函数为隐函数.例如：例如：三三.隐函数与参数式函数的导数隐函数与参数式函数的导数显函数：显函数：显函数：显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数例如：的函数称为显函数例如：（一）隐函数的导数（一）隐函数的导数27第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算

16、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例22 设设y=f(x)是由方程是由方程ey+xy-y2=0所确定的隐函数，所确定的隐函数，求求y e y y +y+x y +2y y =0从中解出从中解出y，得：，得：在方程在方程ey+xy-y2=0中把中把 y 看作看作 x 的函数，方的函数，方程两边对程两边对x求导，得求导，得解：解：28第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统注注：在隐函数

17、导数的结果中，既含有自变量在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含，又含有因变量有因变量y，通常不能也无须求得只含自变量的表达，通常不能也无须求得只含自变量的表达式式.隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导法则：隐函数的求导办法是：隐函数的求导办法是：在方程两边同时对自变量求在方程两边同时对自变量求导（导（注意注意y是的是的x函数函数），即可得到一个含），即可得到一个含y 的方程；的方程；从中解出从中解出y，即为所求隐函数的导数。，即为所求隐函数的导数。29第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多

18、少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例23 求椭圆求椭圆2x2+y2=6在点（在点（1，2）处的切线方程）处的切线方程4x+2yy =0从中解出从中解出y，得：，得：方程两边对方程两边对x求导，得求导，得由此得出由此得出从而从而y=y(x)在（在（1，2）处的切线方程为）处的切线方程为 .解：解：30第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统具体方法：具体方法：具体方法：具体方法：先两边取对数，且利用对数的性质化简，先两边取对数，

19、且利用对数的性质化简，再两边同时对自变量求导数，然后求得再两边同时对自变量求导数，然后求得 y .适用对象：适用对象：适用对象：适用对象：这个方法适用于这个方法适用于幂指函数幂指函数（形如（形如 f(x)g(x)的函数）以及的函数）以及由几个含有变量的式子的乘、除、由几个含有变量的式子的乘、除、乘方、开方构成的函数乘方、开方构成的函数.对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法：31第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例24 求求 的导数的导数.两边取对

20、数得两边取对数得对对x求导得求导得所以所以解：解：32第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例25 求求 的导数的导数.两边取对数得两边取对数得对对x求导得求导得所以所以 解：解：33第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(二二)参数式函数的导数参数式函数的导数由参数方程给出的函数：由参数方程给出的函数：确定了确定了

21、y与与x的函数关系其中函数的函数关系其中函数x(t),y(t)可导，且可导，且x (t)0,，则函数，则函数y=f(x)可导且可导且34第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例26 求求 的导数的导数解：解：35第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例27 求求 (a为常数为常数)(0 t 2)，求：求：(1)在任

22、何点的切线斜率在任何点的切线斜率;(2)在在t=/2处的切线方程处的切线方程 (1)摆线在任意点的切线斜率为摆线在任意点的切线斜率为(2)当当t=/2时时,摆线上对应点为摆线上对应点为 ,在此点在此点的的切线斜率为切线斜率为解：解：36第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统于是于是,切线方程为切线方程为即即37第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计

23、时计分系统是一种得分类型的系统四四.高阶导数高阶导数 定义定义：设：设y f(x)在在D上可导，其导数为上可导，其导数为f (x)，如果，如果函数函数y f(x)的导数仍是的导数仍是x的可导函数的可导函数,就称就称y f (x)的导数为函数的导数为函数y f(x)的二阶导数的二阶导数,记作记作y ,f (x)或或 ,即即或或38第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶

24、和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,一般地一般地,(n-1)阶导数的导数叫做阶导数的导数叫做n阶导数，记作阶导数，记作39第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例28 设设y=2x4-3x2+x-1，求，求 y .y =8x3-6x+1y =24x2-6y =48x解：解：40第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，

25、因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例29 设设y=e2x，求，求y ,y ,y(n).y =2e2xy =22e2x=4e2xy =23e2x=8e2xy(n)=2ne2x解：解：41第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例30 设设y=sin3x，求，求y(n).解：解：同理同理42第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系

26、统是一种得分类型的系统例例31 设设y=ln(1+x)，求，求y(n).解：解：43第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例32 设设y=(1+x)，求，求y(n).解：解：44第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统45第二章第二章 导数与微分导数与微分第二节第二节 导数的计算导数的计算 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 内容小结内容小结 一一.导数公式及四则运算法则导数公式及四则运算法则 二二.复合函数的导数复合函数的导数三三.隐函数与参数式函数的导数隐函数与参数式函数的导数四四.高阶导数高阶导数46