固体物理 电子教案 3.1一维晶格振动.ppt

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1、第一节第一节 一维晶格的振动一维晶格的振动3.1.1 3.1.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动3.1.2 3.1.2 一维双原子链一维双原子链(复式格子复式格子)的振动的振动本节主要内容本节主要内容:3.1 一维晶格的振动3.1.1 一维单原子链的振动1.振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为原子质量为m。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 用用xn和和xk分别表示序号为分别表示

2、序号为n和和k的原子在的原子在t时刻偏离平衡位置的时刻偏离平衡位置的位移，用位移，用xnk=xn-xk表示在表示在t时刻第时刻第n个和第个和第k个原子的相对位移。个原子的相对位移。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2(2)振动方程和振动方程和解解平衡时，第平衡时，第k个原子与第个原子与第n个原子相距个原子相距 为为两个原子间的互作用势能，平衡时为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ，t时刻为时刻为nkx 第第 n个与第个与第 k个原子间的相互作用力个原子间的相互作用力:振动很微弱时，

3、势能展开式中忽略掉（振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r r）二次方以上二次方以上的高次项，只保留到的高次项，只保留到(r r)2 2项项-简谐近似简谐近似。(忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似。)得得:弹性恢复力系数弹性恢复力系数原子的振动方程原子的振动方程:只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：给出试探解：给出试探解：原子都以原子都以同一频率，同一振幅A振动振动,相邻原子间的位相相邻原子间的位相差为差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系关系,即原子的振动形成了波

4、，这种波称为格波。即原子的振动形成了波，这种波称为格波。色散关系色散关系(晶格振动谱晶格振动谱)将试探解代入振将试探解代入振动方程得振动频率动方程得振动频率:推导略推导略给出试探解给出试探解:由色散关系式可画图如下由色散关系式可画图如下:2.色散关系 是波矢是波矢q的周期性函数的周期性函数,且且(-q)=(q)。0 m且且故取故取简约布里渊区简约布里渊区且且3.玻恩玻恩-卡门周期性边界条件及波矢卡门周期性边界条件及波矢q的取值的取值 (1)玻恩玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件 设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶

5、体中相对应的原子的运动情况都一样。各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。晶体中任一个原子，当其原胞标数增加晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中为晶体中原胞的个数原胞的个数）后，其振动情况复原后，其振动情况复原。由。由N个原胞组成的单原个原胞组成的单原子链，由玻恩子链，由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:对于一维布拉维晶格对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同原胞标数与原子标数相同):整数(2)波矢波矢q的取值的取值波矢波矢 也只能取也只能取N个不同的值。个不同的值。(共共N个值个值)晶格振动波矢只能取分立的值晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目波矢的数目(个数个数)=

6、晶体原胞的数目晶体原胞的数目4.长波极限:由连续介质波由连续介质波的传播速度：的传播速度：在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。例例1.求由求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为子质量为m，恢复力常数为恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:解解:设最近邻原子间的恢复力系数为设最近邻原子间的恢复力系数为，则，则:将试探解代入振动方程得色散关系将试探解代入振动方程得色散关系:S为整数为整数模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色

7、散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数目目=晶体的原胞数晶体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值n-2nn+1n+2n-1amm3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动1.运动方程和解 (1)(1)模型模型:一维无限长原子链，原子质量为一维无限长原子链，原子质量为m m和和M M，且且m m M M。相邻原子间距均为相邻原子间距均为a，恢复力系数为恢复力系数为。(晶格常量为晶格常量为2 2a)2 2n2 2n-1-12 2n+1+12 2n+2+22 2n n-2-2 mM质量为质量为M的原子编号为的原子编号为2n-2 、2n、

8、2n+2、质量为质量为m的原子编号为的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：(2)方程和解方程和解其他原子位移可按下列原则得出其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。不同。(2)相隔一个晶格常数相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为的同种原子，相位差为2aq。2.色散关系上式看成是以上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；为未知数的线性齐次方程；若若A，B不全为零，

9、必须其系数行列式为零，即不全为零，必须其系数行列式为零，即:推导略推导略 0(+)-光学支格光学支格波波，A(-)-声学支格波声学支格波(1)色散曲线色散曲线折合质量折合质量由玻恩由玻恩-卡门边界条件，设晶体有卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：，则：(2)波矢波矢q的取值的取值(共有共有N个值个值)一维双原子链，每个原胞有两个原子，一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。由由N个原胞组成的一个原胞组成的一维维双原子链，波矢的数目为双原子链，波矢的数目为N，频率的频率的数目为数目为2N，格波格波(振动模式振动模式)数目为数目为2N。晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体的原

10、胞个数晶体的原胞个数晶格振动频率晶格振动频率(振动模式振动模式)的数目的数目=晶体中原子的自由度数晶体中原子的自由度数3.声学波和光学波在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。(1)当波矢当波矢q 0时时,推导略推导略(2)相邻原子的振幅之比相邻原子的振幅之比对于声学支格波对于声学支格波:声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表

11、了原胞质心的运动。原胞质心的运动。对于光学波对于光学波:光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。学波代表原胞中两个原子的相对振动。光学支格波，相邻原光学支格波，相邻原子振动方向是相反的子振动方向是相反的。声学支格波，相邻原子振声学支格波，相邻原子振动方向是相同的动方向是相同的。可以证明，可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质量为时，在声学支格波上，质量为m的的轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为M的重原子保的重原子保持不动持

12、不动。例例2:一维一维无限无限长原子链，原子质量为长原子链，原子质量为m和和M，且且mM。靠靠得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为置的距离为b，恢复力系数为恢复力系数为 1，分子间两原子间的，分子间两原子间的恢复力系数恢复力系数为为 2，晶格常量为晶格常量为a(如图所示如图所示)，求色散关系，求色散关系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb 1 2解解:只考虑最近邻原子只考虑最近邻原子间间的相互作用，的相互作用，将试探解代入方程得将试探解代入方程得:据玻恩据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。的取值。0(+)-光学支格光学支格波，波，A(-)-声学支格波声学支格波 q可取可取N个值。个值。