第2章---解线性代数方程组的迭代法ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第第2章章 解线性代数方程组的迭代法解线性代数方程组的迭代法 求解线性代数方程组主要有直接法和迭代求解线性代数方程组主要有直接法和迭代法两种常见方法。直接法一般适合小型的系数法两种常见方法。直接法一般适合小型的系数矩阵，为了求解现实当中常见的大型稀疏矩阵，矩阵，为了求解现实当中常见的大型稀疏矩阵，下面我们将重点介绍迭代法。它是一种不断套下面我们将重点介绍迭代法。它是一种不断套用一个迭代公式，逐步逼近方程的解的方法。用一个迭代公式，逐步逼近方程的解的方法。将讨论两类主要方法，一类是逐步逼近

2、法，另将讨论两类主要方法，一类是逐步逼近法，另一类是下降法，包括最速下降法和共轭梯度法。一类是下降法，包括最速下降法和共轭梯度法。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 为为了了对对线线性性方方程程组组数数值值解解的的精精确确程程度度，以以及及方方程程组组本本身身的的性性态态进进行行分分析析，需需要要对对向向量量和和矩矩阵阵的的“大大小小”引引进进某某种种度度量量，范范数数就就是是一一种种度度量量尺尺度度，向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数在在线线性性方方程程组组数数值值方方法法的的研研究究中中起起着着重重要要的作用。的作用。

3、2.1 向量、矩阵范数与谱半径向量、矩阵范数与谱半径篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统（2）齐次性：对任何实数和向量）齐次性：对任何实数和向量x|kx|k|x|（3）三角不等式：对任何向量）三角不等式：对任何向量x和和y，都有都有|xy|x|y|（1）非负性：对任何向量）非负性：对任何向量x，|x|0，且，且|x|0当且仅当当且仅当x02.2.1 向量的范数向量的范数 定定义义2.1 设设 是是x的的实实值函数，且满足条件值函数，且满足条件则称则称 为为 Rn(或或Cn)上的一个上的一个向量范数向量范数(或或向量模向量模

4、)，|x|的值为向量的值为向量 x 的范数。的范数。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统向量向量1-范数：范数：向量向量2-范数：范数：向量无穷范数：向量无穷范数：容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下三种。如下三种。设向量设向量x(x1，x2，xn)T，定义，定义 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 解解

5、:对于对于 向量向量 x(1，-3，2，0)T，根据定义，根据定义可以计算出：可以计算出：|x|1|1|-3|2|0|6 由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这并不影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之并不影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如下等价关系。间存在如下等价关系。例例2.1 设向量设向量x(1，-3，2，0)T，求向量范数，求向量范数|x|p，P1，2，。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 定理定理2.1 （范数的等价性）对于（范数的等价性）对

6、于Rn上任何两种范上任何两种范数数|和和|，存在的正常数，存在的正常数 m，M，使得：，使得：范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容个小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明，常用的三种向量范数满足下述等价关系。易证明，常用的三种向量范数满足下述等价关系。|x|x|1 n|x|x|x|2|x|x|x|1|x|2 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定义定义2.2 对于向量序列对于向量序列 及向量及向量如果如果则称向量序列则称向

7、量序列 x(k)收敛于向量收敛于向量 x*。记作。记作 或或篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.1.2 矩阵的范数矩阵的范数 矩阵范数是反映矩阵矩阵范数是反映矩阵“大小大小”的一种度量，具体的一种度量，具体定义如下。定义如下。定义定义2.3 设设 为为A的的实值函数，且满足条件：实值函数，且满足条件：（1）|A|0，且，且|A|0时，当且仅当时，当且仅当A0 （2）|kA|k|A|，kR （3）|AB|A|B|则称则称 上的一个矩阵范数，上的一个矩阵范数，|A|的值为矩阵的值为矩阵A的范数。的范数。篮球比赛是根据运动队

8、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设 n 阶矩阵阶矩阵 A（aij），常用的矩阵范数有：），常用的矩阵范数有：矩阵矩阵1-范数：范数：矩阵矩阵2-范数：范数：矩阵无穷范数：矩阵无穷范数：列和列和行和行和 以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种矩阵范数统一表示为三种矩阵范数统一表示为|A|p，P1，2，。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2.2 设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵A的范数的范数|A|p，P1，2，。解解 根据

9、定义根据定义 由于由于篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统此方程的根为矩阵此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得的特征值，解得 因此因此 则它的特征方程为则它的特征方程为:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的乘积运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给乘积运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给问题的分析带来许多方便。设问题的分析带来许多方便。设|是一种向量范数，由

10、是一种向量范数，由此范数派生的矩阵范数定义为此范数派生的矩阵范数定义为 注注意意，此此式式左左端端|A|表表示示矩矩阵阵范范数数，而而右右端端是是向向量量Ax 和和 x 的的范范数数，利利用用向向量量范范数数所所具具有有的的性性质质不不难难验验证证，由上式定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。由上式定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统通常将满足上式的矩阵范数称通常将满足上式的矩阵范数称相容范数相容范数。由向量范数由向量范数|x|p派生出的矩阵范数：派生出的矩阵范数：通过向量范数定义的矩阵范数，

11、满足不等式关系：通过向量范数定义的矩阵范数，满足不等式关系：称之为矩阵称之为矩阵A的的算子范数算子范数，其中，其中 p1，2或或。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理2.2 由上式所定义的矩阵范数为由上式所定义的矩阵范数为相容范数相容范数。证明：证明：当当x=0时，时，(1)式显然成立。式显然成立。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.1.3 矩阵的谱半径矩阵的谱半径 矩矩阵阵范范数数同同矩矩阵阵特特征征值值之之间间有有密密切切的的联联系系，

12、设设是是矩矩阵阵A相相应应于于特特征征向向量量x的的特特征征值值，即即 Axx,于于是利用是利用向量向量-矩阵范数的相容性，得到矩阵范数的相容性，得到|x|=|x|从而，对从而，对A的任何特征值的任何特征值均成立均成立=|Ax|A|x|A|（3）设设n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值为个特征值为1,2，n，称，称为矩阵为矩阵A的的谱半径谱半径。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 从从(3)式得知，对矩阵式得知，对矩阵A的任何一种相容范数的任何一种相容范数都有都有(A)|A|。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决

13、定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理迭代法的一般形式与收敛性定理2.2.1 迭代法的一般形式迭代法的一般形式已知线性代数方程组已知线性代数方程组首先将方程组改写成等价的形式首先将方程组改写成等价的形式从而建立迭代式：从而建立迭代式：称称 为为迭代序列迭代序列，并称，并称H为为迭代矩阵迭代矩阵。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统则则 是线性方程组是线性方程组Ax=b的解。的解。当给定初始向量当给定初始向量后可得到迭代向量序列后可得到迭代向量序列 ，若，若 在等式在等

14、式(2.2.3)两端取极限可得两端取极限可得篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.2 迭代法的收敛性迭代法的收敛性利用迭代公式利用迭代公式(2.2.3)构造序列构造序列 ，以求得方程，以求得方程组组(2.2.2)的近似解的算法称为解的近似解的算法称为解(2.2.2)式的式的简简单迭代法单迭代法。若迭代序列若迭代序列 收敛，则称此迭代法是收敛的。收敛，则称此迭代法是收敛的。两式相减，知误差向量两式相减，知误差向量 满足下列迭代关系：满足下列迭代关系：由此递推：由此递推：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决

15、定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统引理引理2.1：迭代法迭代法(2.2.3)式对任何初始近似式对任何初始近似 均收敛的充分必要条件是均收敛的充分必要条件是引理引理2.2：的充要条件是的充要条件是定理定理2.4：迭代法迭代法(2.2.3)式对任何初始近似式对任何初始近似 均收敛的充分必要条件是迭代矩阵均收敛的充分必要条件是迭代矩阵H的谱半径的谱半径推论：若推论：若 (允许为任何一种相容的矩阵范允许为任何一种相容的矩阵范数数)，则迭代法，则迭代法(2.2.3)式收敛。式收敛。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类

16、型的系统例例1 设设 其中其中 ，讨论该迭代法的收敛性。讨论该迭代法的收敛性。例例2 设设 其中其中 ，讨论该迭代法的收敛性。讨论该迭代法的收敛性。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.3 迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度 定理定理2.5 当当 时，由迭代法（时，由迭代法（2.2.3）式）式所定义的序列所定义的序列 满足如下估计式：满足如下估计式：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统现在讨论使误差减少初始误差的现在讨论使误差减少初始误差的 倍所需

17、的最倍所需的最少迭代次数。少迭代次数。若要求若要求则则两边取对数得两边取对数得:定义定义:为迭代法为迭代法(2.2.3)的的渐进收敛速渐进收敛速度度。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3 Jacabi方法与方法与Gauss-Seidel方法方法2.3.1 Jacabi方法方法设设A=D-L-U,则则 即迭代格式为即迭代格式为 也可改写为也可改写为 迭代矩阵为迭代矩阵为 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统分量形式为分量形式为 篮球比赛是根据运动队

18、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.2 Gauss-Seidel方法方法计计算第算第i个新分量个新分量 时，前时，前i-1个均已求出，一般来说，个均已求出，一般来说，后算出来的后算出来的值值有更好的近似，因此可用有更好的近似，因此可用这这些新些新值值来来计计算算利用最新利用最新值进值进行行计计算的方法称算的方法称为为Seidel迭代法。迭代法。对对Jacabi迭代法运用迭代法运用Seidel技巧得到技巧得到在用在用简单简单迭代法迭代法篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

19、的系统其矩其矩阵阵形式形式为为整理成一般迭代法的形式整理成一般迭代法的形式为为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 例例2.3 用用Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列迭代法解下列方程组方程组,已知方程组得精确解为已知方程组得精确解为 x*=(1，1，1)T。解：先改写方程如下解：先改写方程如下再写出再写出Jacobi迭代格式迭代格式篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统取初值为取初值为:x(0)=(0，0，0)T,求得求得:

20、x(1)=(1.4，0.5，1.4)Tx(6)=(1.00025，1.00580，1.00251)T误差为由误差为由x*=(1，1，1)T 得到得到|x(6)-x*|=0.00580 。初值也取为初值也取为:x(0)=(0，0，0)T,求得近似解：求得近似解：Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统初值也取为初值也取为:x(0)=(0，0，0)T,求得近似解：求得近似解：误差为由误差为由x*=(1，1，1)T 得到得到|x(4)-x*|=0.00846 。Jacobi迭代法迭代迭代法

21、迭代6次与次与Gauss-Seidel迭代法迭代迭代法迭代4次的精度一致，说明次的精度一致，说明Gauss-Seidel迭代法收敛的较快。迭代法收敛的较快。x(1)=(1.4，0.78，1.026)Tx(4)=(0.99154，0.99578，1.00210)T篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.3.3 对角占优矩阵与不可约矩阵对角占优矩阵与不可约矩阵篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因

22、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理2.9 设设A为对称正定矩阵，则为对称正定矩阵，则Gauss-Seidel方法收方法收敛。敛。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 例例2.4 分别用分别用Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法解迭代法解下列方程组是否收敛？下列方程组是否收敛？篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型

23、的系统 解：由于第一个方程组的系数矩阵严格对角占优，解：由于第一个方程组的系数矩阵严格对角占优，所以所以Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。迭代法均收敛。第二个方程组的系数矩阵不是严格对角占优的，但第二个方程组的系数矩阵不是严格对角占优的，但可以交换两个方程的次序，将原方程变为同解方程组：可以交换两个方程的次序，将原方程变为同解方程组：这时方程组得系数矩阵严格对角占优，两种迭代法都这时方程组得系数矩阵严格对角占优，两种迭代法都收敛。收敛。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2.5 用用Ja

24、cobi迭代法解下列方程组，问是否收敛？迭代法解下列方程组，问是否收敛？篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解：方程组的系数矩阵为解：方程组的系数矩阵为 非严格对角占优，无法判断迭代法是否收敛。需要通非严格对角占优，无法判断迭代法是否收敛。需要通过谱半径判断，先写出过谱半径判断，先写出Jacobi迭代法的迭代矩阵：迭代法的迭代矩阵：由于无穷范数由于无穷范数|H|=31,还无法判断迭代法是否收还无法判断迭代法是否收敛。敛。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的

25、系统这时只能通过求迭代矩阵的谱半径来判断，由迭代这时只能通过求迭代矩阵的谱半径来判断，由迭代矩阵矩阵解得特征值解得特征值谱半径谱半径(H)(x(1)(x(2).，且每一步都以，且每一步都以“最快的速度最快的速度”下降到下降到 (x)的极小值。的极小值。l 具体作法：具体作法：设设 x(k)已经求得，计算已经求得，计算 x(k+1)：(x)沿沿 x(k)处的处的最速下降最速下降方向，即方向，即负梯度方向负梯度方向 r(k)=-(Ax(k)-b)的最小值点，即的最小值点，即2.5.2 最速下降法最速下降法 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一

26、种得分类型的系统l 计算计算 k 的值的值 由由 (x)的第二个性质可得的第二个性质可得篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统从某个初始点从某个初始点 出发，沿出发，沿H(x)在在 点处负梯度方向点处负梯度方向 求得求得H(x)的极小点的极小点 ,即即 然后从然后从 出发，重复上述过程得到出发，重复上述过程得到 ，如此继续，如此继续下去，得到序列下去，得到序列 ，使得，使得 最速下降法最速下降法篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统最速下降法的迭代格式为：

27、最速下降法的迭代格式为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统算法算法：(最速下降法最速下降法)(1)任取任取 x(0)Rn，计算，计算 r(0)=b-Ax(0)(2)对对 k=0,1,2,.,计算计算若若 ，则输出，则输出 x*=x(k+1)，停止计算，停止计算停机准则停机准则篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统收敛性定理：定理：设设 A 对称正定对称正定，其特征值为，其特征值为 则由最速下降法产生的序列满足则由最速下降法产生的序列满足且有且有l 当当

28、 1 n 时，收敛会很慢，并可能出现不稳时，收敛会很慢，并可能出现不稳定现象定现象(舍入误差引起舍入误差引起)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统基本想法基本想法：在确定在确定 x(k+1)时，不沿负梯度方向取极小，而是寻找时，不沿负梯度方向取极小，而是寻找一个更好的方向一个更好的方向 p(k)，使得，使得 (x)下降得更快！下降得更快！定义定义：设设 A 对称正定对称正定，若，若(x,Ay)=0，则称，则称 x,y 关于关于 A 正交正交(A-正交正交)或或 A-共轭共轭，若，若 z1,z2,.,zn 相互相互 A-共轭

29、，则称共轭，则称 z1,z2,.,zn 构成构成 A-正交正交向量组或向量组或A-共轭向量组共轭向量组2.5.3 共轭梯度法共轭梯度法 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统共轭梯度法共轭梯度法所以具体的基本步骤是：在点所以具体的基本步骤是：在点 处选取新的搜索处选取新的搜索方向方向 ，使其与前一次的搜索方向，使其与前一次的搜索方向 关于关于A共共轭，即轭，即然后从点然后从点 出发，在直线上出发，在直线上 ，沿方向沿方向 求得求得H(x)的极小点的极小点 ，按照最速下降法从按照最速下降法从 出发得到新的近似出发得到新的近似

30、,是直线是直线 被椭球面被椭球面 截取线段截取线段的中点。的中点。由此得到方程组由此得到方程组Ax=b的近似解序列的近似解序列 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统l 具体作法：具体作法：令令 p(0)=r(0)，设，设 x(k)已经求得，则已经求得，则 x(k+1)由下面的公式确定：由下面的公式确定：其中其中篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统l 几个关系式几个关系式篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分

31、系统是一种得分类型的系统共轭梯度法定理定理：设设 A 对称正定对称正定，则由，则由 CG 算法产生的序列满足算法产生的序列满足(1)当当 i j 时，时，(r(i),r(j)=0，即，即 r(0),r(1),r(2),.相互正交相互正交(2)当当 i j 时，时，(p(i),Ap(j)=0，即，即 p(0),p(1),p(2),.相互相互 A-共轭共轭篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统共轭梯度法l k 与与 k 的计算的计算篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分

32、类型的系统算法算法：(共轭梯度法共轭梯度法)(1)任取任取 x(0)Rn，计算，计算 r(0)=b-Ax(0)，令，令 p(0)=r(0)(2)对对 k=0,1,2,.,计算计算若若 ，则输出，则输出 x*=x(k+1)，停止计算，停止计算篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统收敛性定理定理：设设 A 对称正定对称正定，则共轭梯度法至多，则共轭梯度法至多 n 步就步就能找到精确解。能找到精确解。l r(0),r(1),.,r(n)相互正交，则至少有一个为相互正交，则至少有一个为 0定理定理：设设 A 对称正定对称正定，x*为

33、精确解，为精确解，x(k)为共轭为共轭梯度法的数值解，则有梯度法的数值解，则有其中其中篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.6 条件数与病态方程组条件数与病态方程组 引引进进了了矩矩阵阵的的度度量量标标准准范范数数，就就可可以以对对方方程程组求解进行误差分析，对于方程组组求解进行误差分析，对于方程组Ax=b如果常数项产生了误差如果常数项产生了误差b,并设求解时产生的误差为并设求解时产生的误差为x，则有则有A(x+x)=b+b两式相减得到两式相减得到 Ax=b当系数矩阵可逆时当系数矩阵可逆时x=A-1b取范数取范数|x|=

34、|A-1b|A-1|b|再由再由 Ax=b，得到得到|b|=|Ax|A|x|篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统于是，由于是，由|x|A-1|b|得到解的相对误差为得到解的相对误差为及及|b|A|x|令令 Cond(A)=|A|A-1|,并称其为矩阵并称其为矩阵A的的条件数条件数。这时这时可见，求解线性方程组所产生的误差与系数矩阵的可见，求解线性方程组所产生的误差与系数矩阵的条件数有关。条件数有关。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 对于线性方程组对

35、于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵的条件数，如果系数矩阵的条件数Cond(A)=|A|A-1|太大，则称相应的方程组为太大，则称相应的方程组为病病态方程组态方程组。病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此在求解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少在求解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少原始数据原始数据 A、b 的误差，或者用高精度的计算机计算。的误差，或者用高精度的计算机计算。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例如：对于方程组例如：对于方程组系数矩阵和逆矩阵分别为系数矩阵和逆矩阵分别为可以求得可以求得条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统谱条件数谱条件数：其中其中 分别是按模最小和最大的特征值分别是按模最小和最大的特征值如果如果A是对称非奇异矩阵，是对称非奇异矩阵，A的谱条件数就等于的谱条件数就等于Cond2(A)。