第三章(多自由度系统的振动)ppt课件.ppt

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统上次课内容回顾上次课内容回顾1.1.完整约束系统的完整约束系统的LagrangeLagrange方程的具体形式方程的具体形式 系统不存在粘性阻尼时系统不存在粘性阻尼时 系统存在粘性阻尼时系统存在粘性阻尼时篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统上次课内容回顾上次课内容回顾2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的步骤方程建立系统运动微分方程的步骤 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;

2、以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统上次课内容回顾上次课内容回顾在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著振动理论及应用4.4.微振动假设下的注意事项微振动假设下的注意事项3.3.用用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的优点方程建立系统运动微分方程的优点 不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力,是建立复杂离

3、散 系统运动微分方程的首选方法；即可用于线性系统，也可用于非线性系统。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多自由度系统的振动多自由度系统的振动第三章第三章篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统与单自由度系统相比，多自由度振动系统带来的一些变化有：系统的固有频率不是一个，而是多个；引入了固有振型的概念；固有振型关于质量和刚度矩阵的加 权正交性是线性振动理论的精髓；在研究方法上大量使用线性代数和矩阵理论方面的知识；第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由

4、度系统的振动分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.预备知识预备知识线性代数与矩阵理论线性代数与矩阵理论2.2.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动第一讲：第一讲：第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【代数余子式】【代数余子式】已知 为一矩阵,则 的余子式定义为:划掉 所在的第 行和第 列的元素,剩下的元素组成的矩阵的行列式,

5、计作代数余子式代数余子式则 的代数余子式=已知:余子式余子式篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【矩阵的行列式的计算】【矩阵的行列式的计算】定理：任意方阵的行列式等于它的任一行或任意列的各元素与其对应 的代数余子式乘积的和。已知：则：已知：则：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【矩阵转置】【矩阵转置】将矩阵 的行、列互换所得到的矩阵就是 的转置矩阵

6、，用 表示。矩阵的转置满足以下规律：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【矩阵的逆】【矩阵的逆】预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论如果一个矩阵的行列式等于0，这个矩阵就称为奇异矩阵。【奇异矩阵】【奇异矩阵】的伴随矩阵的伴随矩阵 的各个元素的的各个元素的代数余子式所组代数余子式所组成的矩阵的转置成的矩阵的转置篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【分块矩阵的乘积【分块矩阵的乘积】【半正定

7、矩阵【半正定矩阵】【正定矩阵】【正定矩阵】对任意有则 为正定矩阵。有对任意则 为半正定矩阵。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【线性相关与线性无关】【线性相关与线性无关】定义定义 向量 线性相关指的是：存在不全为零的数使定义定义 向量 线性无关指的是：仅当才使 也就是说，若 则必有 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【线性代数方程组的解】【线性代

8、数方程组的解】奇次线性方程组有非零解的充要条件是定义定义 奇次方程组（1）的一组解 称为（1）的一个基础解系，如果1.(1)的任一个解都能表示成 的线性组合；2.线性无关。定理定理 在在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的个数等于 。是系数矩阵的秩。也是自由未知量的个数。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【特征值与特征向量】【特征值与特征向量】定义定义：设 是 阶矩阵，如果对于数 ，存在非零列向量 ，使得则称 是 的一个特征值，是 的属于特征值 的特征向

9、量。剪切变换前后的剪切变换前后的蒙娜丽莎图像蒙娜丽莎图像红色箭头是剪切变换的特征向量红色箭头是剪切变换的特征向量蓝色箭头不是剪切变换的特征向量蓝色箭头不是剪切变换的特征向量篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统推论推论：如果向量 是 的属于特征值 的特征向量，则 （为任意常数）也是 的属于特征值 的特征向量。如何求特征值和特征向量？如何求特征值和特征向量？求方程的根得到特征值；求线性方程组的基础解系；预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论【内积】【内积】如果则 与 的内积定义为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时

10、间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【正交】【正交】预备知识线性代数与矩阵理论预备知识线性代数与矩阵理论如果则 与 正交或垂直【二次型【二次型】一个 元多项式称为 元二次型。它可以表示为如下矩阵相乘的形式返回返回返回返回篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.同步振动是否存在？同步振动是否存在？假设系统存在这样的振动，系统的位移可写作:多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动系统是否存在这样一种特殊的运动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不同之外，随时间的变化规律都相同的同步运动

11、？运动规律系统各个自由度上的振动幅值篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统系统存在形如系统存在形如 形式的同步振动。形式的同步振动。结论：结论：多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对任意时间都成立对任意时间都成立特征方程特征方程特征值特征值特征向量特征向量广义特征值问题广义特征值问题2.2.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时

12、间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 第一阶固有频率第一阶固有频率第二阶固有频率第二阶固有频率第第N 阶固有频率阶固有频率 第一阶固有振型第一阶固有振型 第二阶固有振型第二阶固有振型第第N 阶固有振型阶固有振型 固有频率（模态频率）固有频率（模态频率）固有振型（模态振型）固有振型（模态振型）多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第一阶固有振动第一阶固有振动第二阶固有振动第二阶固有振动第第N阶固有振动阶固有振动固有振动只是系统可能发生的一种运动形

13、式。当系统作固有振动时，系统各个自由度都作幅值不同(一般情况下),但频率却相同的简谐运动,各个自由度的简谐运动之间的相位差不是0度就是180度.固有振动固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动.多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动周边固支鼓膜的各阶固有振动周边固支鼓膜的各阶固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统

14、从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。如何理解固有振型如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；【问题】在已知【问题】在已知固有频率固有频率求求固有振型固有振型时时,所得到的所得到的N N个线性方程中有个线性方程中有几个是独几个是独 立的立的?结论结论:当当 不是特征方程的重根时不是特征方程的重根时,上述方程只有上述方程只有N-1N-1个方程是独立的个方程是独立的(见

15、见刘延柱第刘延柱第7474页页).多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【例】设图中二自由度系统的物理参为 ,确定系统的固有振动.系统运动方程：系统运动方程：多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统固有振动：固有振动：节点节点STOP多自由度系统的固有振动多自由度系统的固有振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得

16、分类型的系统 固有频率和固有振型固有频率和固有振型固有频率和固有振型固有频率和固有振型 固有振动固有振动固有振动固有振动固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动。型向量为振动形态的简谐振动。固有频率，固有振型固有频率，固有振型内容回顾内容回顾篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.理解固有振型理解固有振型第二讲：第二讲：2.2.固有振型的正交性固有振型的正交性3.3.固有频率为零的情况固有频率为零的情况第三章：多自由度系统的

17、振动分析第三章：多自由度系统的振动分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1st1st水平弯曲水平弯曲2nd2nd水平弯曲水平弯曲1st1st扭转扭转2nd2nd扭转扭转1st1st垂直弯曲垂直弯曲2nd2nd垂直弯曲垂直弯曲从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。如何理解固有振型如何理解固有振型从数学上看：固有振型是广

18、义特征值问题的特征向量；理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统图图 膜的各阶固有振型膜的各阶固有振型理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【问题】在已知固有频率求固有振型时【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的所得到的N N个线性方程中有几个是独个线性方程中有几个是独 立的立的?结论结论:当当 不是特征方程的重根时不是特征方程的重根时,上述方程只有上述方程只有N-1N-1个方程是独立的个方程是独立的(见

19、见刘延柱第刘延柱第7474页页).图图 一杯热咖啡的某阶固有振动（大约一杯热咖啡的某阶固有振动（大约20Hz20Hz）理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统【题】：图示的三自由度系统，试计算系统的固有频率和固有振型。解解:系统的运动方程为:其中:理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统广义特征值问题:特征方程:固有频率:理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮

20、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统理解固有振型理解固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统返回返回返回返回理解固有振型理解

21、固有振型篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.固有振型的归一化固有振型的归一化固有振型的正交性固有振型的正交性按某一自由度的幅值归一化按某一自由度的幅值归一化都是固有振型向量篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统按模态质量归一化按模态质量归一化特点：特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位特点：特点：理论推导，分析方便理论推导，分析方便按自由度中最大幅值归一化：按自由度中最大幅值归一化：固有振型的正交性固有

22、振型的正交性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统固有振型的正交性固有振型的正交性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于刚度固有振型关于刚度矩阵加权正交矩阵加权正交固有振型关于质固有振型关于质量矩阵加权正交量矩阵加权正交(1)(2)(1)减(2)，得固有振型的正交性固有振型的正交性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛

23、的计时计分系统是一种得分类型的系统u 固有振型关于质量矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵的加权正交性u 固有振型关于刚度矩阵加权正交性固有振型关于刚度矩阵加权正交性当当 时时当当 时时第第r r阶模态质量阶模态质量当当 时时当当 时时第第r r阶模态刚度阶模态刚度u 固有振型的正交性固有振型的正交性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统u加权正交性的简洁表示加权正交性的简洁表示固有振型的正交性固有振型的正交性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统试证：试

24、证：固有振型按模态质量归一化后，固有振型的加权正交条件变为：固有振型按模态质量归一化后，固有振型的加权正交条件变为：固有振型的正交性固有振型的正交性证：固有振型按模态质量归一化之前，固有振型的加权正交条件为：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3.3.固有振型的线性无关性固有振型的线性无关性证：上式两边左乘所以，诸 线性无关。只要证明满足上式的 必全为零就可以了返回返回返回返回固有振型的正交性固有振型的正交性篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4.4.

25、固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况固有频率为零的情况 零固有频率所对应的固有振型，称为刚体模态振型。零固有频率所对应的固有振型，称为刚体模态振型。刚体模态多存在于无约束的悬浮结构，如飞机等。刚体模态多存在于无约束的悬浮结构，如飞机等。零固有频率零固有频率的固有振动为的固有振动为刚体运动刚体运动,不产生弹性不产生弹性势能。势能。刚度矩阵奇异刚度矩阵奇异非零非零篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 举例举例举例举例图图 无约束三自由度系统无约束三自由度系统模态模态1 1横向（颠簸）刚体模态横向（颠簸）刚体模

26、态模态模态2 2转动（滚动）刚体模态转动（滚动）刚体模态模态模态3 3弯曲模态弯曲模态图图 用三质量飞机模型说明刚体模态用三质量飞机模型说明刚体模态固有频率为零的情况固有频率为零的情况篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统固有频率为零的情况固有频率为零的情况篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统固有频率为零的情况固有频率为零的情况篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统STOP固有频率为零

27、的情况固有频率为零的情况篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统上次课内容回顾上次课内容回顾从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值，描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。理解固有振型理解固有振型从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；1st1st水平弯曲水平弯曲2nd2nd水平弯曲水平弯曲1st1st扭转扭转2nd2nd扭转扭转1st1st垂直弯曲垂直弯

28、曲2nd2nd垂直弯曲垂直弯曲篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性 【特征向量的计算】【特征向量的计算】【特征向量的计算】【特征向量的计算】当当 不是特征方程的重根时不是特征方程的重根时,上述上述N N个方程中，只有个方程中，只有N-1N-1个方程是独立的个方程是独立的上次课内容回顾上次课内容回顾篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，

29、因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第三讲：第三讲：1.1.运动耦合运动耦合无阻尼系统的自由振动（三）无阻尼系统的自由振动（三）3.3.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动2.2.展开定理与模态坐标变换展开定理与模态坐标变换4.4.课堂练习课堂练习篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统运动耦合运动耦合1.1.运动耦合运动耦合弹性耦合弹性耦合篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统弹性耦合弹性耦合惯性耦合惯性耦合运动耦合运动耦合返回返回返回返回

30、能不能找到一种坐标能不能找到一种坐标,使得在这种坐标下的运动微分方程既使得在这种坐标下的运动微分方程既不存在弹性耦合不存在弹性耦合也不存在惯性耦合也不存在惯性耦合?篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统展开定理与模态坐标变换展开定理与模态坐标变换1.1.展开定理展开定理 自由度系统的 个模态振型向量 构成了 维线性空间的正交基。维空间中的任何一个向量都可以表示成这组基的线性组合，即 系数 反映了各阶模态振型向量在构成向量 时的参与程度。2.2.模态坐标变换模态坐标变换模态坐标模态坐标物理坐标物理坐标模态矩阵模态矩阵返回返回返

31、回返回篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.两个重要公式两个重要公式令模态矩阵为 则：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统模态坐标变换模态坐标变换？2.2.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统模态坐标模态坐标系下的运系下的运动方程动方程将将物理坐标系物理坐标

32、系下的运动方程变换到下的运动方程变换到模态坐标系模态坐标系下后，可得到下后，可得到解耦解耦的运动方程。的运动方程。无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统实实际际计计算算中中，为为了了避避免免求求解解上上式式中中的的固固有有振振型型矩矩阵阵之之逆逆，可可采采用用关关于于模模态态质量归一化的固有振型矩阵，此时有质量归一化的固有振型矩阵，此时有 。自由振动：自由振动：无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系

33、统是一种得分类型的系统解解:固有频率：固有频率：固有振型：固有振型：例例:设图中卡车设图中卡车拖车系统在拖车系统在 时静止，时静止，时一汽车迎面与卡车相撞时一汽车迎面与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量后立即反弹脱离，卡车受到冲量 作用，试确定作用，试确定 后卡车后卡车拖车系统的拖车系统的响应。响应。刚刚 体体 模模 态态振型振型弹弹 性性 模模 态态振型振型无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来

34、决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统回到物理坐标系回到物理坐标系无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.模态坐标变换模态坐标变换模态坐标模态坐标物理坐标物理坐标2.2.求解多自由度无阻尼系统的自由振动的步骤（模态叠加法）求解多自由度无阻尼系统的自由振动的步骤（模态叠加法）(1)(1)求系统的固有频率和固有振型求

35、系统的固有频率和固有振型(3)(3)求各模态位移响应求各模态位移响应(4)(4)返回到物理坐标系返回到物理坐标系(2)(2)物理坐标系下的运动方程物理坐标系下的运动方程模态坐标系下的运动方程模态坐标系下的运动方程模态坐标变换模态坐标变换无阻尼系统的自由振动（小结）无阻尼系统的自由振动（小结）篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无阻尼系统的自由振动（小结）无阻尼系统的自由振动（小结）物理空间物理空间耦合耦合模态空间模态空间解耦解耦模态叠加法模态叠加法返回返回返回返回篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，

36、因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统课堂练习课堂练习 运动方程：运动方程：根据已知条件有：根据已知条件有：篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统STOP广义特征值问题:特征方程:展开后，得:课堂练习课堂练习 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第四讲：第四讲：习题课习题课第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1

37、.模态的概念模态的概念模态模态modemode是指一种运动模式。是指一种运动模式。模态参数有：模态频率、模态振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼等。模态参数有：模态频率、模态振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼等。上次课内容回顾上次课内容回顾2.2.运动耦合运动耦合物理坐标物理坐标系下多自由度系统的运动方程肯定是存在系下多自由度系统的运动方程肯定是存在耦合耦合的。的。3.3.模态坐标变换模态坐标变换篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统物理空间物理空间耦合耦合模态空间模态空间解耦解耦模态叠加法模态叠加法上次课内容回顾上次课内容回

38、顾4.4.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动模态叠加法模态叠加法篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统第五讲：第五讲：1.1.无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析2.2.无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析是简谐激励是简谐激励是任意激励是任意激励频域分析频域分析时域分析时域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.系统在简谐激励下的响应系统在简

39、谐激励下的响应无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析动刚度矩阵系统在简谐激励下的响应:频响函数（动柔度矩阵）频响函数（动柔度矩阵）篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析位移频响函数矩阵激振点所对应的自由度标号响应点所对应的自由度标号篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.频响函数矩阵的模态展开式频响函数矩阵的模态展开式无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析频响

40、函数矩阵的模态展开式揭示了频响函数矩阵的模态展开式揭示了频响函数与模态参数之间的关系，频响函数与模态参数之间的关系，从而为从而为模态参数识别模态参数识别提供了一种有效的途径。提供了一种有效的途径。篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3.3.反共振反共振反共振的定义：反共振的定义：无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统图 跨点频响函数示意图【定义】【定义】【定义】【定义】所谓所谓反共振指反共振指的是弹

41、性系统在某些的是弹性系统在某些特定频率特定频率的的简谐激励简谐激励作用下作用下,系统某系统某些部位出现些部位出现响应等于零响应等于零的情形。换句话说的情形。换句话说,反共振情形也就是指在反共振情形也就是指在某些某些频率频率上系统某些部位的上系统某些部位的动柔度为零动柔度为零。无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统反共振频率的确定:频响函数的零点所对应的频率无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析反共振频率的计算：反共振频率的计算：篮球比赛是根据运动队在规

42、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例：确定图示系统频响函数 和 的反共振频率。解:(a)确定 的反共振频率无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统进一步分析质量块1,3 的运动:无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统进一步分析质量块2,3的运动:(b)确定 的反共振频率无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统

43、的受迫振动频域分析频域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 练习练习 设刚度系数为设刚度系数为 的弹簧支承的物体的弹簧支承的物体 上受到简谐力上受到简谐力 的激励的激励.此物体上安装由小物体此物体上安装由小物体 和刚度系数为和刚度系数为 的弹簧组成的吸振器的弹簧组成的吸振器.试证明试证明:在一定条件下吸振器能消除在一定条件下吸振器能消除 物体的受迫振动物体的受迫振动.无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动频域分析频域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分

44、类型的系统无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析基本思路：基本思路：1.1.利用模态叠加法求系统的零初始状态下的利用模态叠加法求系统的零初始状态下的 单位脉冲响应矩阵单位脉冲响应矩阵任意激励任意激励1.1.系统在任意激励下的响应系统在任意激励下的响应2.2.系统对任意激励下的响应用系统对任意激励下的响应用DuhamelDuhamel积分求得积分求得篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统(1)(1)利用模态叠加法求零初始状态下的单位脉冲响应矩阵利用模态叠加法求零初始状态下的单位脉冲响应矩阵第一步第一步:物理坐

45、标系下物理坐标系下的运动方程的运动方程模态坐标系下模态坐标系下的运动方程的运动方程无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移第二步第二步:无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统回到物理坐标系中，得到物理坐标系下的位移回到物理坐标系中，得到物理坐标系下的位移第三步第三步:单位脉

46、冲响应函数矩阵单位脉冲响应函数矩阵无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 （初始条件为零）（初始条件为零）（2 2）系统对一般激励下的响应用系统对一般激励下的响应用DuhamelDuhamel积分求得积分求得 （初始条件不为零）（初始条件不为零）无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动时域分析时域分析STOP篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统习题课习题课第六讲：第六讲：第三章：多自由度系统的振动分

47、析第三章：多自由度系统的振动分析篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统上次课内容回顾上次课内容回顾1.1.动刚度矩阵动刚度矩阵2.2.动柔度动柔度(频响函数频响函数)矩阵矩阵激振点所对应的自由度标号响应点所对应的自由度标号3.3.反共振反共振所谓所谓反共振指反共振指的是弹性系统在某些的是弹性系统在某些特定频率特定频率的的简谐激励简谐激励作用下作用下,系统某系统某些部位出现些部位出现响应等于零响应等于零的情形。的情形。4.4.系统在任意激励下的响应系统在任意激励下的响应篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的

48、，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.2.多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼第七讲：第七讲：3.3.比例阻尼系统的自由振动比例阻尼系统的自由振动4.4.比例阻尼系统的受迫振动比例阻尼系统的受迫振动第三章：多自由度系统的振动分析第三章：多自由度系统的振动分析1.1.模态截断模态截断篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统模态变换：模态变换：如果系统有如果系统有1000010000个自由度个自由度,则则N=10000N=100001.1.占用资源：内存，计算时间占用资源：内存，计算时间2.2.高阶模态的计算误差也

49、大高阶模态的计算误差也大1.1.模态截断的必要性模态截断的必要性模态截断模态截断篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统较大如果激励 频带覆盖系统的前 阶固有频率，那么由模态方程可见，只有前 个方程是主要的(近似的)。很小模态变换：模态变换：2.2.高阶模态对响应的贡献高阶模态对响应的贡献由于外激励能量往往集中在低频范围内，因此由于外激励能量往往集中在低频范围内，因此高阶模态对响应的贡献就很小高阶模态对响应的贡献就很小。模态截断模态截断篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一

50、种得分类型的系统其中模态坐标变换变为：模态坐标变换变为：3.3.模态截断的实施模态截断的实施如只保留系统的前如只保留系统的前6 6阶模态，则固有振型矩阵为阶模态，则固有振型矩阵为模态截断模态截断返回返回返回返回模态截断：模态截断：为保留模态的数目为保留模态的数目篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼在线性振动理论中，一般采用线性黏性阻尼假设，认为阻尼和速度的一次方成正比，阻尼矩阵一般为非对角矩阵。阻尼矩阵为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵一般为非对角矩阵一般为非对角矩阵阻尼影响系数 的物理