B1-第三章微分中值定理与导数的应用4-5不等式最值.ppt

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1、导数的应用导数的应用导数能指引我们注意函数的重要特性，导数能指引我们注意函数的重要特性，能帮助我们来分析函数族的特征，能帮助我们来分析函数族的特征，现在用导数来研究函数的单调增减性、现在用导数来研究函数的单调增减性、凹凸性、极值点、拐点及找函数的最大凹凸性、极值点、拐点及找函数的最大值与值与最小值。最小值。1 4.函数函数单调性单调性与与 曲线的曲线的凹凸性凹凸性 2直观定义：直观定义：当当 f(x1)f(x2),则则 f(x)单调减少单调减少。一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法 I.函数的单调性函数的单调性现在用导数来研究函数的单调性。现在用导数来研究函数的单调性。30 xy0 x

2、y(上升上升)（下降）（下降）从从几何上看几何上看,y=f(x)在在 a,b 上单增上单增(或单减或单减)，其其图形是一条沿图形是一条沿 x 轴正向上升轴正向上升(或下降或下降)的曲线。的曲线。上升的曲线每点处的切线斜率均为正，上升的曲线每点处的切线斜率均为正，下降的曲线每点处的切线斜率均为负，下降的曲线每点处的切线斜率均为负，abab4 函数增减性的判定法函数增减性的判定法定定 理：理：5 说说 明明此判定法的结论可推广到其他各种区间，此判定法的结论可推广到其他各种区间，包括无穷区间。包括无穷区间。1.2.（这些点不组成一个区间）为（这些点不组成一个区间）为 0 时定理仍成立。时定理仍成立。

3、xy0但曲线仍单增，只在但曲线仍单增，只在 x=0 处有处有一条水平切线。一条水平切线。6例例1：解：解：y 解：解：y y y 在在(,+)不单调。不单调。xy07有有必要讨论函数在各个区间上的增减性。必要讨论函数在各个区间上的增减性。例例2：解：解：(尖点尖点)来划分函数的定义区间，讨论来划分函数的定义区间，讨论各各区间上区间上来来确定确定 f(x)在各在各区间上的单调增减性。区间上的单调增减性。及及8y0+01(-1,1)1x9y+不不存在存在0 x解：解：xy010关于二阶导数关于二阶导数二阶导数是变化率的变化率，二阶导数是变化率的变化率，即即变化率变化率 即即变化率变化率 设设 p(

4、t)为时间为时间 t 时某公司的股票价格，时某公司的股票价格，请请判断下列情况中判断下列情况中 p(t)的的一阶与二阶导数的符号：一阶与二阶导数的符号：例：例：(a)“股票价格上升得越来越快股票价格上升得越来越快”；(b)“股票价格上升趋缓股票价格上升趋缓”。答：答：(a)(b)11 II.函数单调性的一些应用函数单调性的一些应用 1.证明一类不等式证明一类不等式 例例1 1：证：证：12例例2 2：证：证：13例例2 2：142.证明方程根的唯一性证明方程根的唯一性例例3：有有唯一的实根。唯一的实根。证：证：先先证明根的证明根的存在性存在性：由由零点定理零点定理,f(x)=0 在在(1,0)

5、内内至少至少有一有一根根;再证明根的再证明根的唯一性唯一性：有一根，有一根，f(x)在在(1,0)内只有唯一实根。内只有唯一实根。(则则 f(x)从负到正只穿过从负到正只穿过 x 轴一次轴一次),即即 f(x)至多至多15例例4：证：证：163.证明某些函数的单调性证明某些函数的单调性 例例5：证：证：17二、二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样:凹凹凸凸xy0 x1x2xy0 x1x2弦上弧下，则曲线为向上凹（弦上弧下，则曲线为向上凹（凹凹）；）；弦下弧上，则曲线为向上凸（弦下弧上，则曲线为向上凸（凸凸）。）。181

6、.定义：定义：xy0 x1x2PQ(a)(b)取弦的取弦的中点中点 Q与与曲线弧上的相应点曲线弧上的相应点 P设设 f(x)在区间在区间 I 上连续，对上连续，对 I 上任意上任意两点两点 x1,x2,恒有恒有则称则称 f(x)在在 I 上的图形上的图形是是 凹凹的的(凹弧凹弧)。如。如(a)xy0 x1x2PQ则称则称 f(x)在在 I 上的图形上的图形是是 凸凸的的(凸弧凸弧)。如。如(b)(凹凹)(凸凸)19除此之外除此之外，xy0 x1x2(a)(b)xy0 x1x2(凹凹)(凸凸)还有可判别曲线凹凸的方法吗？还有可判别曲线凹凸的方法吗？若在某若在某区间内区间内，曲线弧位于其上任意一点

7、切线的曲线弧位于其上任意一点切线的上方上方，则则曲线在此区间内曲线在此区间内是是凹凹的；的；曲线弧位于其上任意一点切线的曲线弧位于其上任意一点切线的下方下方，则则曲线在此区间内曲线在此区间内是是凸凸的。的。20 2.凹凸性的判定定理凹凸性的判定定理定理：定理：设设 f(x)在在 a,b 上连续，在上连续，在(a,b)内内 具有一阶与二阶导数。若在具有一阶与二阶导数。若在(a,b)内内则则 f(x)在在a,b上的图形是上的图形是凹凹的；的；则则 f(x)在在a,b上的图形是上的图形是凸凸的。的。21例题讨论例题讨论判别下列曲线的凹凸性：判别下列曲线的凹凸性：1.y 处处处处 凸凸。2.y 处处处

8、处 凹凹。3.凸凸凹凹xy022定义：定义：连续函数上凹弧与凸弧的分界点连续函数上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的称为这曲线的 拐点拐点（或扭转点）。（或扭转点）。说明：说明：(1)拐点的可疑点：拐点的可疑点：(2)拐点在曲线上，而不在拐点在曲线上，而不在 x 轴上，轴上，其坐标为其坐标为 (x0,y0)。23注意：注意：未必都是拐点。未必都是拐点。例：例：0无拐点。无拐点。xy024例题讨论例题讨论例例1：求求下列函数的凹凸区间及拐点：下列函数的凹凸区间及拐点：(1)(正态分布曲线正态分布曲线)解：解：xy00+25xy00+xy0.26(2)解：解：xy4不不存在存在+2拐点拐点:(4,2)

9、.27例例2：解：解：分析：分析：此题此题不必判别凹凸，可用定理不必判别凹凸，可用定理 2。28例例3：求求函数递增最快的点与递增最慢的点。函数递增最快的点与递增最慢的点。xy0拐点处递增最慢拐点处递增最慢，拐点处递增最快，拐点处递增最快，对应对应的横的横坐标坐标为：为：2x029 5.函数的函数的极值极值与与最大值最小值最大值最小值30 x1(1,1)10+0y 函数单调区间的分界点函数单调区间的分界点 x=1,1.22一、一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法1.极值的概念极值的概念对在对在 x=1 附近的点附近的点 x，有有 f(x)f(1)=2对在对在 x=1 附近的点附近的点 x,

10、有有 f(x)f(x),则称则称 f(x0)为为 f(x)的一的一个个极大值极大值，x0 称为称为极大值点极大值点；若若 f(x0)f(x),则称则称 f(x0)为为 f(x)的一个的一个极小值极小值，x0 称为称为极小值点极小值点。极大值极大值(点点)与极小值与极小值(点点)统称统称极值极值(点点)。例例2 中，中，f(1)=2 为极小值，为极小值，x=1为极小值点，为极小值点，f(1)=2 为极大值，为极大值，x=1 为极大值点。为极大值点。(P.152)32 1.函数的函数的极值极值概念是概念是局部性局部性的，的，相对相对的，是在极值点的某邻域内与其它点处的函的，是在极值点的某邻域内与其

11、它点处的函数值相比较而得的。而函数的数值相比较而得的。而函数的最值最值概念是概念是整整体性体性的，的，绝对绝对的，是在函数的整个定义区间的，是在函数的整个定义区间内与所有函数值相比较而得。所以极大（小）内与所有函数值相比较而得。所以极大（小）值不一定是函数的最大（小）值。值不一定是函数的最大（小）值。说明说明说明说明：xy02.2.在某一区间上函数可有在某一区间上函数可有许多许多极大值与极极大值与极小值，且某些极大值可比极小值还要小小值，且某些极大值可比极小值还要小。332.极值的求法极值的求法.定理定理 1：（必要条件必要条件）由上图可知，函数取到极值处，曲线的由上图可知，函数取到极值处，曲

12、线的切线都是水平的，但有水平切线的点不切线都是水平的，但有水平切线的点不一定都是函数的极值点。一定都是函数的极值点。设设 f(x)在在 x0 处可导，且在处可导，且在 x0 处取得极值，处取得极值，则必有则必有即对即对可导可导函数，要在某点取到极值，函数，要在某点取到极值，必须在该点有水平切线，即导数为必须在该点有水平切线，即导数为 0 0。(P.153)34 说明：说明：可导可导函数的极值点函数的极值点必是驻点必是驻点，1.使导数使导数 为为 0 的点，称为的点，称为 f(x)的的驻点驻点，驻点驻点与与导数不存在的点。导数不存在的点。考察这些可疑点后求得函数的极值点。考察这些可疑点后求得函数

13、的极值点。但但 驻点不一定是极值点。驻点不一定是极值点。或或临界点临界点。2.极值点的极值点的可疑点可疑点:xy0 x0如何考察？如何考察？35 定理定理 2.(第一充分条件第一充分条件)连续函数连续函数 f(x)单调区间的分段单调区间的分段点点 x0 是极值点。是极值点。36直观的观察直观的观察：x0 x x0 x0 x x x 从左向右变动从左向右变动x 从左向右变动从左向右变动 x从左向右变动从左向右变动不取极值。不取极值。37求函数的极值点与极值的求函数的极值点与极值的步骤步骤：38例例1：y+0不存在不存在+0 x解：解：极大值极大值0极小值极小值39可可利用利用驻点驻点或或附近附近

14、二阶导数的符号判定极值，二阶导数的符号判定极值，有有第二充分条件。第二充分条件。x0 有可能是拐点，有可能是拐点，拐点处能取到极值吗？拐点处能取到极值吗？xy0 x0.(x0,f(x0)不取不取极值极值取到极值取到极值xy0 x0.(x0,f(x0)问题：问题：40定理定理 3.(第二充分条件第二充分条件)f(x)在在 x0 处取到极处取到极大大值；值；f(x)在在 x0 处取到极处取到极小小值。值。则则说明：说明：则本定理失效。需用第一充分条件判定。则本定理失效。需用第一充分条件判定。(P.155)41例例2：解：解：不能判定，不能判定，只能利用第一充分条件判定。只能利用第一充分条件判定。4

15、201+(0,1)y+000(1,0)1x 11xy043例例4：已知已知 y=f(x)对一切对一切 x 满足满足若若 f(x)在某点在某点 x0(0)处有极值，则它处有极值，则它是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？解：解：f(x)在在 x0 处有极值，处有极值，(*)由由(*)式，式，f(x0)是极小值。是极小值。44二、二、最大值、最小值问题最大值、最小值问题 1.求函数的最大值与最小值求函数的最大值与最小值函数取到最大值与最小值的几种情况：函数取到最大值与最小值的几种情况：(1)函数函数 f(x)在在 a,b 单增时，单增时，xy0ab最小值最小值 f(a),最大值最大值 f(b);

16、(2)函数函数 f(x)在在 a,b 单减时，单减时，最大值最大值 f(a),最小值最小值 f(b),(3)f(x)在在 a,b 不不单调时，单调时，最大最小值只有在最大最小值只有在端点端点或或极值点极值点处才可能取到。处才可能取到。xy0abxy0ab45求求函数最大值、最小值的函数最大值、最小值的步骤步骤：46例题讨论例题讨论47例例1：最大值与最小值。最大值与最小值。解：解：比较函数值的大小：比较函数值的大小：48例例2：求求 f(x)=x e x 在定义域内的在定义域内的最大值与最小值。最大值与最小值。解：解：当当 x 1，x:+y:即即 f(x)在在整个区间只有一个整个区间只有一个极

17、大值，极大值，显然此极大值就是最大值。显然此极大值就是最大值。=0，f(x)没有没有最小值。最小值。49证明不等式：证明不等式：证：证：0?0?当当 x 0,=0,得证。得证。例例3：502.最值的应用题最值的应用题在最大值最小值的问题中，特别：在最大值最小值的问题中，特别：函数函数 f(x)若有若有（1）在某一区间内）在某一区间内可导可导；（2）在此一区间内只有）在此一区间内只有唯一驻点唯一驻点；（3）函数在此唯一驻点处）函数在此唯一驻点处取极大（小）值取极大（小）值；则函数在此则函数在此驻点驻点处处必取最大（小）值必取最大（小）值。51(1)函数函数 f(x)在在 a,b 只有一个极值只有

18、一个极值f(x0)，若若f(x0)是是极大值时，则极大值时，则f(x0)是是最大值，最大值，若若f(x0)是极小值时，则是极小值时，则f(x0)是最小值。是最小值。说明：说明：xy0abx0 xy0abx0(2)实际问题中如果实际问题中如果 f(x)在在定义区间内部定义区间内部 只有一个驻点只有一个驻点x0时，可根据问题的性质，时，可根据问题的性质，断定断定f(x0)是是最大值或最小值。最大值或最小值。(驻点唯一性）驻点唯一性）52例例1：问函数问函数在在何处取得最小值？何处取得最小值？解：解：且且在此处取得最小值。在此处取得最小值。53上上离原点距离离原点距离最近的点的坐标，并求出此最短距离

19、。最近的点的坐标，并求出此最短距离。解：解：设设曲线上点曲线上点(x,y).(0,1)为所求点，为所求点，最短距离最短距离 d min=1.例例2：求求曲线曲线设设 u=54 在半径为在半径为R的球内嵌入一圆柱体，的球内嵌入一圆柱体，当圆柱体的底圆半径当圆柱体的底圆半径 为多少时，圆柱为多少时，圆柱体的体积最大？体的体积最大？Rr圆柱体体积圆柱体体积:h=?h2例例3：分析：分析：题中要求什么最大？题中要求什么最大？圆柱体体积圆柱体体积圆柱体体积与什么有关？圆柱体体积与什么有关？底半径与高底半径与高 设底半径为设底半径为 r,高为高为 h.目标函数目标函数55为为(0,R)上上唯一驻点唯一驻点

20、，且且此问题中存在最大值，此问题中存在最大值，问问题题目标函数可否设成目标函数可否设成=0解：解：设设 底半径为底半径为 r.答答O.K !56 由由 y=0,x=8,y=x 2 围成一曲边围成一曲边 三角形三角形 OAB(如图如图)，在曲线，在曲线 OB 上求一上求一点，使过此点作点，使过此点作 y=x 2 的切线与的切线与OA，AB 所围成的三角形面积为最大。所围成的三角形面积为最大。例例4：xy0y=x 2ABPQS解：解：设设曲线上的点曲线上的点(x0,y0),该点处的该点处的切线方程：切线方程：令令 y=0,令令 x=8,=OP=AQPA=OA OP=S=PA AQx057S=PA

21、AQ为为(0,8)内的内的唯一驻点唯一驻点,取最大值。取最大值。AQ=y=16 x x258 推动一渡船穿越某水域的燃料成本推动一渡船穿越某水域的燃料成本（元（元 /h/h）正比于船速的立方，某渡船以正比于船速的立方，某渡船以10 km/h 10 km/h 的速度航行时，每小时消耗的速度航行时，每小时消耗100 100 元的燃料，此外，经营渡船的成本为元的燃料，此外，经营渡船的成本为 900 900 元元/h/h，问它以何速度航行时，可使问它以何速度航行时，可使每千米航行成本最小？每千米航行成本最小？例例5：解：解：设每千米总成本为设每千米总成本为 M,燃料成本为燃料成本为 m.则则 m=k v 3,且有且有 100=k 10 3 m=0.1 v 3.则则 M=0.1 v 3 900/v(v 0)59即渡船大致以即渡船大致以 7.4 km/h 的速度航行时，的速度航行时，可使可使单位成本最小。单位成本最小。则则 M=0.1 v 3 900/v(v 0)60