2019八年级数学下册 专题突破讲练 借“数形结合思想”解题试题 （新版）青岛版.doc

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1、1借借“数形结合思想数形结合思想”解题解题数形结合的经典分类数形结合的经典分类 1.1. 利用函数图象，寻找特殊图形的构成。利用函数图象，寻找特殊图形的构成。 （1）利用函数图象，寻找等腰三角形的第三点坐标。如：在平面直角坐标系中， A（2，2） ，点 P 在 x 轴上，若APO 是等腰在三角形，求坐标？xyOA(2,2)答案：（，0） ，（，0） ，（4，0） ，（2，0） 。1P2 22P2 23P4P（2）利用函数图象，构造平行四边行（或特殊平行四边形） 。如：函数 y=x+与 x 轴 y 轴交于、两点，在坐标平面内找一点，使、构成平行四边形，求 坐标。答案：（-1,2） ，（-1,-2

2、） ，（1,2） 。1C2C3C2.2. 利用全等三角形及函数图象解决问题。利用全等三角形及函数图象解决问题。 如图所示，直线L：y=x+与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点。设Q为ABxy 延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若 AM=4，BN=3，求MN的长。答案：7。 3.3. 利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。 如图，一次函数y=axb与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交 于B（0，4） ，OAB的面积为 6，在y轴上是否存在一点E，使SABE=5，若存在，求E 点的坐标

3、；若不存在，请说明理由。2答案：（0，） ，（0，） 。1E2 32E22 3总结：总结： 综合性问题涉及的内容较多，解题根本是熟练掌握各知识点； 以上所举例子只是综合性习题中的一小部分，往往要多个问题综合到一起，难度较 大。例题例题 如图，在平面直角坐标系中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0，0）， A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）。若直线l经过点 M（2，3）， 且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，则下列各点在直线l上的是（ ）A. （4，3） B. （5，2） C. （6，2） D. （0，）310解解析析：先延长 BC 交

4、 x 轴于点 F，连接 OB，AF，DF，CE，DF 和 CE 相交于点 N，由所给 点的坐标得出四边形 OABC，四边形 CDEF 都为矩形，并且点 M（2，3）是矩形 OABF 对角线 的交点，点 N 是矩形 CDEF 的中心，得出直线l必过 M 和 N 点，再设直线l的解析式为 y= kx+b，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，然后把所给的点分别代入，即可 求出答案。答答案案：如图，延长 BC 交 x 轴于点 F，连接 OB，AF，DF，CE，DF 和 CE 相交于点 N，O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），四边形 OABF 为矩形

5、，四边形 CDEF 为矩形，点 M（2，3）是矩形 OABF 对角线的交点，点 M 为 矩形 ABFO 的中心，直线l把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分，同理可证：点 N 是矩形3CDEF 的中心，点 N（5，2），过点 N（5，2）的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部 分，直线 MN 就是所求的直线l，设直线l的解析式为 y=kx+b，把 M（2，3）N（5，2）代入上式得：，23 52kb kb 解得：，所 求直线l的函数表达式是：y=x+，当 x=4 时，y=，则 A1 3 11 3kb 31 311 37不正确；当 x=5 时，y=2，则 B 正确；当 x=6 时，y=，则

6、C 不正确；当 x=0 时，y=，35 311则 D 不正确；故选 B。 点拨：点拨：本题考查了一次函数的综合，用到的知识点是矩形的性质即过矩 形对角线交点 的直线平分矩形的面积和待定系数法求解析式，解题的关键是根据图形作出辅助线，求证 四边形 OABC 和四边形 CDEF 都是矩形。利用特殊图形求解析式利用特殊图形求解析式 例题例题 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角ABO 的 O 点是坐标原点，A 的坐标是 （4，0） ，直角顶点 B 在第二象限，等腰直角BCD 的 C 点在 y 轴上移动，我们发现直角 顶点 D 点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）A. y=2x+1 B. y

7、=x+2 C. y=3x2 D. y=x+221解解析析：抓住两个特殊位置：当 BC 与 x 轴平行时，求出 D 的坐标；C 与原点重合时，D 在 y 轴上，求出此时 D 的坐标，设所求直线解析式为 y=kx+b，将两位置 D 坐标代入得到关 于 k 与 b 的方程组，求出方程组的解得到 k 与 b 的值，即可确定出所求直线解析式。答案答案：解：当 BC 与 x 轴平行时，过 B 作 BEx 轴，过 D 作 DFx 轴，交 BC 于点 G， 如图 1 所示，等腰直角ABO 的 O 点是坐标原点，A 的坐标是（4，0） ，AO=4，BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，21OF=DG=BG=C

8、G=BC=1，DF=DG+GF=3，D 坐标为（1，3） ；当 C 与原点 O 重合时，D214在 y 轴上，此时 OD=BE=2，即 D（0，2） ，设所求直线解析式为 y=kx+b（k0） ，将两点坐标代入得：，解得：。则这条直线解析式为 y=x+2。故选 D。3 2kb b 1 2k b 点坐标问题点坐标问题例题例题 (江东区)如图，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 B（8，7），动点 P 从原点 O 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿折线 OAAB 运动，到点 B 时停止，同时，动点 Q 从点 C 出发， 以每秒 1 个单位的速度在线段 CO 上运动，当一个点停止时，另一个点也随之

9、而停止。在运 动过程中，当线段 PQ 恰好经过点 M（3，2）时，运动时间 t 的值是_。解解析析：设 直线 PQ 的方程为 y=kx+b（k0）。分类讨论：当点 P 在线段 OA 上和点 P 在 线段 AB 上运动时两种情况。把点 P、Q、M 的坐标分别代入函数解析式，通过方程组来求 t 的值。答案：答案：解：设直线 PQ 的方程为 y=kx+b（k0）。矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 B（8，7），OA=7，OC=8当点 P 在线段 OA 上，即 0t3.5 时，如图，P（0，2t）、Q（8t，0）。直线 PQ 经过点 M（3，2），。解得 t=2；2(8)032btt kbkb 当

10、点 P 在线段 AB 上，即 3.5t7 时，如图，P（2t-7，7）、Q（8t，0）。直线 PQ 经过点 M（3，2），。解得，t=5；综上所述，t 的值是 2 或 230)8(7)72(bkbktbkt5。故答案是：2 或 5。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟） 一、选择题一、选择题51. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x与矩形 ABCO 的边 OC、BC 分别交于点32 32E、F，已知 OA=3，OC=4，则CEF 的面积是（ ）A. 6 B. 3 C. 12 D. 342. 如图，把 RtABC 放在平面直角坐标系内，其中CAB=90，BC=5，点 A、B 的坐标

11、分别为（1，0）、（4，0），将ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x6 上时， 线段 BC 扫过的面积为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 8 2*3. 在平面直角坐标系中，已知直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点43C（0，n）是 y 轴正半轴上一点。把坐标平面沿直线 AC 折叠，使点 B 刚好落在 x 轴上，则 点 C 的坐标是（ ）A. （0，） B. （0，） C. （0，3） D. （0，4）43 34*4. 如图，一次函数 y=x+3 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边43在第一象限内作等腰 RtAB

12、C，BAC=90。则过 B、C 两点直线的解析式为（ ）A. y= x+3 B. y= x+3 C. y=x+3 D. y=x+371 51 41 31*5. 正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置。点 A1，A2，A3， 和点 C1，C2，C3，分别在直线 y=kx+b（k0）和 x 轴上，已知点 B1（1，1）， B2（3，2），则 Bn的坐标是（ ） A. （2n1，2n1） B. （2n1+1，2n1） C. （2n1，2n1） D. （2n1，n）6二、填空题二、填空题*6. 如图，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，

13、点 C 在 OB 上，若将ABC4 3 沿 AC 折叠，使点 B 恰好落在 x 轴上的点 D 处，则点 C 的坐标是 *7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1），B（1，2），点 P 在 x 轴上运动，当点 P 到 A、B 两点距离之差的绝对值最大时，点 P 的坐标是 。 *8. （铁岭）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的 锐角为 60，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交l于点 B，过点 B 作直线l的垂线交 y 轴于 点 A1，以 A1B、BA 为邻边作ABA1C1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线l于点 B1，过点 B1作直 线l的垂线交

14、y 轴于点 A2，以 A2B1、B1A1为邻边作A1B1A2C2；按此作法继续下去，则 Cn的坐标是 。*9. （攀枝花）如图，已知直线l1：yx+与直线l2：y=2x+16 相交于点 C，直32 38线l1、l2分别交 x 轴于 A、B 两点，矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在l1、l2上，顶点 F、G 都 在 x 轴上，且点 G与 B 点重合，那么 S矩形 DEFG：SABC= 。三、解答题三、解答题 *10. 在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，m），B（3，1），C（6，0），且点 A 在函数 y=x 的图象上，点 P 为 x 轴上一动点，当OAP 与CBP 的周长和最小时，点

15、P 的坐标为？21*11. 图所示，直线 L：y=mx+5m 与 x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点。 （1）当 OA=OB 时，试确定直线 L 解析式；7（2）在（1）的条件下，如图所示，设 Q 为 AB 延长线上一点，连接 OQ，过 A、B 两 点分别作 AMOQ 于 M，BNOQ 于 N，若 AM=4，MN=7，求 BN 的长； （3）当 M 取不同的值时，点 B 在 y 轴正半轴上运动，分别以 OB、AB 为边在第一、第 二象限作等腰直角OBF 和等腰直角ABE，连 EF 交 y 轴于 P 点，问当点 B 在 y 轴上运动 时，试猜想 PB 的长是否为定值，若是，请求出其

16、值；若不是，请求其取值范围。*12. 直线 AB：y=xb 分别与 x、y 轴交于 A（6，0） 、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴 负半轴于 C，且 OB：OC=3：1。 （1）求直线 BC 的解析式； （2）直线 EF：y=2xk（k0）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存在这样 的直线 EF，使得 SEBD=SFBD？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； （3）如图，P 为 A 点右侧 x 轴上一动点，以 P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等 腰直角三角形BPQ，连接 QA 并延长交 y 轴于点 K，当 P 点运动时，K 点的位置是否发生 变化

17、？如果不变请求出它的坐标，如果变化，请说明理由。81. B 解析：当 y=0 时，x=0，解得 x=1，点 E 的坐标是（1，0），即32 32OE=1，OC=4，EC=OCOE=41=3，点 F 的横坐标是 4，y=4=2，即32 32CF=2，CEF 的面积=CECF=32=3。故选 B。21 212. C 解析：点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， AB=3，BC=5，CAB=90，AC=4，点 C 的坐标为（1，4），当点 C 落在直线 y=2x6 上时，令 y=4，得到 4=2x6，解得 x=5，平移的距离为 51=4，线段 BC 扫过的面积为 44=16，故选 C。3.

18、 B 解析：过 C 作 CDAB 于 D，如图，对于直线 y=x+3，令 x=0，得 y=3；令43y=0，x=4，A（4，0），B（0，3），即 OA=4，OB=3，AB=5，又坐标平面沿直线 AC 折叠，使点 B 刚好落在 x 轴上，AC 平分OAB，CD=CO=n，则 BC=3n，DA=OA=4，DB=54=1，在 RtBCD 中，DC2+BD2=BC2，n2+12=（3n）2，解得 n=，点 C 的坐标为（0，）。故选 B。34 344. A 解析：一次函数 y=x+3 中，令 x=0 得：y=3；令 y=0，解得 x=4，B 的坐43标是（0，3），A 的坐标是（4，0）。如图，作

19、CDx轴于点 D。BAC=90，OAB+CAD=90，又CAD+ACD=90，ACD=BAO。在ABO 与CAD 中，ABOCAD（AAS），OB=DA=3，OA=DC=4，OD=OA+AD=7。90BOAADC BAOACD ABCA 则 C 的坐标是（7，4）。设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，根据题意得：，解得74 3kb b ，直线 BC 的解析式是 y=x+3。故选 A。1 7 3kb 7195. C 解析：B1的坐标为（1，1），点 B2的坐标为（3，2），正方形 A1B1C1O1边长 为 1，正方形 A2B2C2C1边长为 2，A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2

20、），设直线A1A2的解析式为：y=kx+b，解得：，直线 A1A2的解析式是：1 2b kb 11kb y=x+1。点 B2的坐标为（3，2），点 A3的坐标为（3，4），点 B3的坐标为（7，4）， Bn 的横坐标是：2n1，纵坐标是：2n1。Bn的坐标是（2n1，2n1）。故选 A。 6. （0，1.5） 解析：由题意得：A（3，0），B（0，4）；OA=3，OB=4。那么可 得 AB=5。易得ABCADC，AD=AB=5，OD=ADOA=2。设 OC 为 x。那么 BC=CD=4x。那么 x2+22=（4x）2，解得 x=1.5，C（0，1.5）。 7. （1，0） 解析：由题意可知，当

21、点 P 到 A、B 两点距离之差的绝对值最大时，点 P 在直线 AB 上。设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，A（0，1），B（1，2），b1 k+b2， 解得。y=x+1，令 y=0，得 0=x+1，解得 x=1。点 P 的坐标是11kb （1，0）。故答案为（1，0）。8. （4n1，4n） 解析：直线l经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为360，易得直线l的解析式为 y=x。ABy 轴，点 A（0，1），可设 B 点坐标为33（x，1），将 B（x，1）代入 y=x，得 1=x，解得 x=，B 点坐标为33 333（，1），AB=。在 RtA1AB 中，AA1B=9060=30，

22、A1AB=90，AA1=33AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，ABA1C1中，A1C1=AB=，C1点的坐标为（，4），333即（40，41）；由x=4，解得 x=4，B1点坐标为（4，4），33333A1B1=4。在 RtA2A1B1中，A1A2B1=30，A2A1B1=90，3A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，33C2点的坐标为（4，16），即（41，42）；同理，可得 C3点的坐标为33（16，64），即（42，43）；以此类推，则 Cn的坐标是3310（4n1，4n）。故答案为（4n1，4n）。33

23、9. 8：9 解析：由x+=0，得 x=4。A 点坐标为（4，0），由2x+16=0，得32 38x=8B 点坐标为（8，0），AB=8（4）=12。由，解得，28 33 216yxyx 56xy C 点的坐标为（5，6），SABC= AByC=126=36。点 D 在l1上且21 21xD=xB=8，yD=8+=8，D 点坐标为（8，8），又点 E 在l2上且32 38yE=yD=8，2xE+16=8，xE=4，E 点坐标为（4，8），DE=84=4，EF=8。矩形面 积为：48=32，S矩形 DEFG：SABC=32：36=8：9。故答案为：8：9。10. 解：点 A 在函数 y=x 的图

24、象上，且 A（2，m），m=1，A（2，1），在21平面直角坐标系中描出 A、B、C 三点，OAP 与CBP 的周长和中 OA，BC 及 OP+PC 的和 都是定值，AP+BP 最小就是OAP 与CBP 的周长和最小。作 B 点关于 x 轴的对称点 D， 连接 AD 交 x 轴于点 P，连接 AB， ABx 轴，且 x 轴平分 BDx 轴平分 AD，DE=BE，AP=PD，PE 是ABD 的中位线，PE=AB，且 AB=1，PE=0.5，OP=2.5，P（2.5，0）。故答案为：21P（2.5，0）。11. 解答：（1）直线 L：y=mx+5m，A（5，0） ，B（0，5m） ，由 OA=OB

25、 得5m=5，m=1，直线解析式为：y=x+5。 （2）在AMO 和 ONB 中，AMOONB OAMBON OABO AMOONB(AAS)。AM=ON=4，OM=BN=3。11（3）如图，作 EKy 轴于 K 点。先证ABOBEK，OA=KB，OB =EK。再证PBFPKE，PB=PK。PB=KB=OA=。21 21 2512. 解答：（1）由已知：0=6b，b=6，直线 AB 的解析式为： y=x+6。B（0，6） ，OB=6，OBOC=31，OC2，C（2，0） ，设 BC 的解析式是 y=ax+c，代入得；，解得：，直线 BC 的解析式是：y=3x+6；60 02ac ac 36ac

26、 （2）过 E、F 分别作 EMx 轴，FNx 轴，则EMD=FND=90。SEBD=SFBD，DE=DF。又NDF=EDM，NFDEDM，FN=ME。联立得，解得2 6yxk yx y=k+4，联立，解得31236Eyxkyx yF=3k12，FN=yF，ME=yE，3k+12=k+4，k=6；此时点 F、E、B 三点重合，31EBD 与FBD 不存在，此时 k 值不成立，即不存在这样的 EF 使得 SEBD=SFBD； （3）K 点的位置不发生变化，K（0，6） 。过 Q 作 QHx 轴于 H，BPQ 是等腰直 角三角形，BPQ=90，PB=PQ，BOA=QHA=90，BPO=PQH，BOP HPQ， PH=BO，OP=QH，PH+PO=BO+QH，即 OA+AH=BO+QH，又 OA=OB，AH=QH，AHQ 是等腰直角三角形，QAH=45，OAK=45，AOK 为等腰直角三角形， OK=OA=6，K（0，6） 。