2019八年级数学下册 专题突破讲练 巧用勾股定理解决几何问题试题 （新版）青岛版.doc

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1、1巧用勾股定理解决几何问题巧用勾股定理解决几何问题一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧 1. 构造直角三角形构造直角三角形 根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构 造直角三角形。造直角三角形。 如：在 ABC 中，AB=AC=5，BC=8，求三角形 ABC 的面积。答案：答案：12。 2. 利用勾股定理列方程利用勾股定理列方程 将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。 （1）在翻折问

2、题中，大多数求值都是这种应用 如：如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=8，AD=6，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕 为 DG，则 AG 的长为多少？答案：答案：3。 （2）求折断物体长度时，使用方程 如：一根竹子高 10 尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处，折断处离地面高度 是多少？答案：答案：尺。91 20 3. 分类讨论思想分类讨论思想 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。 如：已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长。3cm4cm2答案：答案：5cm 或cm。74. 数形结合思想数形结合思想 几何与代数问题的综合。 如：在一

3、棵树的 5 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 10 米的池塘，而另一 只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？答案：答案：7.5 米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律 1. 含有 30角的直角三角形 （1）30角所对的直角边是斜边的一半；（2）60角所对的直角边是 30角所对直角边的倍。32. . 等边三角形高等于边长的倍。23总结：总结： （1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。 （2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。 例题例题 A1A2B 是直角三角形，且

4、 A1A2=A2B=a，A2A3A1B，垂足为 A3，A3A4A2B，垂足为 A4，A4A5A3B，垂足为 A5，An+1An+2AnB，垂足为 An+2，则线段 An+1An+2（n 为自然数） 的长为（ ）A. B. C. D. na21)2(na2ana 23解解析析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出 A2A3及 A3A4的长，找出规律即可解 答答答案案：A1A2B 是直角三角形，且 A1A2=A2B=a，A2A3A1B，A1B=，22aa a2A1A2B 是等腰直角三角形， A2A3=A1A3=A1B=，21 22a12a同理，A2A3B 是等腰直角三角形，A2A3=A3B=，A3

5、A4A2B，A2B=a，A3A4=A2A4=A1B=，22a 21 2a22a线段 An+1An+2（n 为自然数）的长为 na2故选 A。 点拨：点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出 A2A3及 A3A4的长，并找出规律分类讨论求值分类讨论求值 近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考 查同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时， 因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对 “分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。 例题例

6、题 在ABC 中，AB=13，AC=15，BC 边上的高 AD=12，则边 BC 的长是（ ）A. 14 B. 4 C. 14 或 4 D. 56解解析析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得 BD、CD，再由 图形求出 BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD 答案答案：解：（1）如图，锐角ABC 中，AB=13，AC=15，BC 边上高 AD=12， 在 RtABD 中 AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则 BD=5，在 RtACD 中 AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2

7、-AD2=152-122=81，则 CD=9，故 BC 的长为 BD+DC=9+5=14；（2）钝角ABC 中，AB=13，AC=15，BC 边上高 AD=12， 在 RtABD 中 AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则 BD=5，在 RtACD 中 AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则 CD=9，故 BC 的长为 DC-BD=9-5=4综上可得 BC 的长为 14 或 4故选 C4（1） （2）生活中的勾股定理方案设计生活中的勾股定理方案设计 在实际生活中应用勾股定理。 例题例题 某园艺公司对

8、 一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为 a=6 米， b=8 米现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 b 为直角边的直角三角形，则扩建 后的等腰三角形花圃的周长为（ ）米A. 32 或 20+4 B. 32 或 36 或 5380C. 32 或或 20+4 D. 32 或 36 或或 20+438053805解解析析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是ABD，则 应分为AB=AD，AD=BD 两种情况进行讨论 答案：答案：解：如图所示： 在 RtABC 中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，如图 1，当 AB=AD 时，DC=BC=6m，此时等腰

9、三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m）； 如图 2：当 AD=BD 时，设 AD=BD=x（m）；RtACD 中，BD=x（m），CD=（x-6）m；由勾股定理，得 AD2=DC2+CA2，即（x-6）2+82=x2，解得 x=；325此时等腰三角形绿地的周长=2+10=（m）325 380当 AB=BD 时，在 RtACD 中，AD=4，22CDAC 22)610(85等腰三角形绿地的周长=210+4=20+4（m）55故选 C（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟） 一、选择题 1. 观察以下几组勾股数，并寻找规律： 4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，2

10、6；，根据以上规律的第组勾股5数是（ ） A. 14、48、49 B. 16、12、20 C. 16、63、65 D. 16、30、34 2. 如图，一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如 果梯子的顶端下滑 1 米，那么梯子的底端的滑动距离（ ） A. 等于 1 米 B. 大于 1 米 C. 小于 1 米 D. 不能确定*3. 已知ABC 是斜边长为 1cm 的等腰直角三角形，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画 第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 RtADE，依 此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是（

11、 ）A. cm B. cm C. 2ncm D. cmn212n12n*4. 如图所示，一只小蚂蚁从棱长为 1 的正方体的顶点 A 出发，经过每个面的中心点后， 又回到 A 点，蚂蚁爬行最短程 S 满足（ ） A. 5S6 B. 6S7 C. 7S8 D. 8S9*5. 如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，点 D、E 在 BC 上，且DAE=45， 现将ACE 绕点 A 旋转至ABE处，连接 DE和 EE，则下列结论中ABDEADE=BAE AEE是等腰直角三角形 ADEEBD2+CE2=DE2正 确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个6二、填空题： *

12、6. 如图，一牧童在 A 处放羊，牧童的家在 B 处，A、B 距河岸的距离 AC、BD 分别为 500m 和 700m，且 C、D 两地相距 500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童 至少应该走 m*7. 如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由 45降至 30已知滑梯 AB 的长为 3m，点 D、B、C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯 AD 的长是 m*8. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理这个定理有十分悠久的历史，两千多年来， 人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最 早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各

13、取一个点，再连接四点构成 一个正方形，它可以验证勾股定理在如图的弦图中，已知：正方形 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别在正方形 ABCD 的边 DA、AB、BC、CD 上若正方形 ABCD 的面积 =16，AE=1；则正方形 EFGH 的面积= *9. 图（1）是一个面积为 1 的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出 两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第 2 次“生 长”后变成图（3），经过第 3 次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将 变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”已知“生长”后形成的图形中所有正 方形的面积和

14、存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：经过第一次“生长”后的所 有正方形的面积和为_，经过第 10 次“生长”后，图中所有正方形的面积和为： 三、解答题：7*10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽 弦图” （如图 1） 图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中 正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2 的值是多少？*11. 已知：如图，点 O 是等腰直角ABC 斜边 AB 的中点，D 为 BC 边上任意一点操作： 在图中作 OEOD 交 AC

15、于 E，连接 DE探究 OD、BD、CD 三条线段之间有何等量关系？请探 究说明*12. 如图，平面直角坐标系 xoy 中，A（1，0） 、B（0，1） ，ABO 的平分线交 x 轴于 一点 D（1）求 D 点的坐标；（2）如图所示，A、B 两点在 x 轴、y 轴上的位置不变，在线段 AB 上有两动点 M、N， 满足MON=45，下列结论BM+AN=MN，BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请 你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论（1） （2）81. C 解析：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是 2（n+1）， 第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）

16、2+1，故可得第组勾股数是 16，63，65故 选 C 2. B 解析：如图，AC=EF=10 米，AB=8 米，AE=1 米，求 CF；B=90，由勾股定理得，BC=6 米，又AE=1 米，BE=7 米，EF=10 米，由勾股定理得，BF=米，5151，即7，-61故选 B4951513. B 解析：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，第二个（也就是2ACD）的斜边长：1=；第三个，直角边是第一个的斜边长，所以它的斜边长：22=（）2；第 n 个，直角边是第（n-1）个的斜边长，其斜边长为：222（）n1故选 B24. B 解析：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程 S=5+=5+即221

17、1 2 6S7故选 B5. D 解析：（1）ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，ABC=C=45， ADE=ABC+BAD，BAE=DAE+BAD，DAE=45，ADE=BAE；正确。 （2）ACE 绕点 A 旋转至ABE处，AE=AE，EAC=EAB，BAC=90， EAB +BAE=90，EAB+BAE=90，AEE是等腰直角三角形；正 确。（3）DAE=45，BAC=90，EAC+BAD=45， EAC=EAB，DAE=EAD=45，AEE是等腰直角三角形， ADEE，正确。（4）C=EBA=DBA=45，EBD=90， EC=EB，BD2+CE2=DE2，正确，综上所述项正确故选

18、D 6. 1300 解析： 解：作 A 关于 CD 的对称点 E，连接 BE，并作 BFAC 于点 F 则 EF=BD+AC=700+500=1200m，BF=CD=500m在 RtBEF 中，根据勾股定理得：BE=1300 米22BFEF22500120097. 解析：设 AC=xm，ABC=BAC=45，BC=xm，滑梯 AB 的长为3 23m，2x2=9，解得 x=，D=30，AD=2AC， AD=m，故答案为：3223 2。3 2 8. 10 解析： 四边形 EFGH 是正方形，EH=FE，FEH=90，AEF+AFE=90，AEF+DEH=90，AFE=DEH，在AEF 和DHE 中

19、，AD AFEDEH EFHE AEFDHE（AAS），AF=DE，正方形 ABCD 的面积为 16，AB=BC=CD=DA=4，AF=DE=AD-AE=4-1=3，在 RtAEF 中，EF=，故正方形 EFGH 的面积=10故答案为：1022AFAE 1010109. 2；11 解析：如图 2：设直角三角形的三条边分别是 a、b、c根据勾股定理，得 a2+b2=c2， 即：正方形 A 的面积+正方形 B 的面积=正方形 C 的面积=1；所有正方形的面积之和为 2=（1+1）1；图（3）正方形 E 的面积+正方形 F 的面积=正方形 A 的面积，正方形 M 的面 积+正方形 N 的面积=正方形

20、 B 的面积，正方形 E 的面积+正方形 F 的面积+正方形 M 的面积+ 正方形 N 的面积=正方形 A 的面积+正方形 B 的面积=正方形 C 的面积=1，所有正方形的面积 之和为 3=（2+1）1推而广之，“生长”了 n 次后形成的图形中所有的正方形的面积和 是（n+1）1，则：“生长”了 10 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1） 1=11 故答案为：2；11。10. 解：图中正方形 ABCD、正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3，CG=NG，CF=DG=NF，S1=（CG+DG） =CG+DG+2CGDG=GF+2CGDG，S2=GF， S

21、3=（NG-NF）=NG+NF-2NGNF=GF2-2NGNF，S1+S2+S3=10=GF+2CGDG+GF+ GF-2NGNF=3GF，S2的值是：3101011. 解：如图，关系为 2OD2=BD2+CD2作 OEOD 交 AC 于E，连接 OC、DE，得到 OBDOCE 从而 RtDCE 与 RtEOD 中，CE2+DC2=DE2，OD2+OE2=DE2由 BD=CE，OD=OE，所 以 2OD2=BD2+CD2， （也可过 O 作 BC 垂线） 12. 解：（1）过点 D 作 DEAB 于 E，设 D 点坐标为（m，0） ，根据题意得：OB=1，OA=1，OD=m；在 RtAOB 中

22、，AB2=OA2+OB2，所以 AB=，A=45；在DOB 和2DEB 中，DOBEDB（AAS） ，OD=ED=m，OB=EB=1；在AED 中，DOBDEB OBDEBD BDBD A=45，AED=90，DE=AE=m，1+m=，m=-1，D 点坐标为（-222 1，0） （2）结论正确；过点 O 作 OEOM，并使 OE=OM，连接 NE，AE 在MOB 和EOA 中，MOBEOA（SAS） ，BM=AE，B=OAE，在MON 和EON 中，OBOA MOBAOE OMOE MONEON（SAS） ；MN=EN，又OMOEMONNOE45ONON NAE=NAO+OAE=90，NAE 为直角三角形，NA2+AE2=NE2BM2+AN2=MN2，即结 论正确