2019年高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法（1）分层训练湘教版选修2-2.doc

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1、16.36.3 数学归纳法数学归纳法( (一一) )一、基础达标1某个命题与正整数有关，如果当nk(kN N*)时，该命题成立，那么可推得nk1 时，该命题也成立现在已知当n5 时，该命题成立，那么可推导出( )A当n6 时命题不成立 B当n6 时命题成立C当n4 时命题不成立 D当n4 时命题成立答案 B2一个与正整数n有关的命题，当n2 时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2 时命题也成立，则( )A该命题对于n2 的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对答案 B解析 由nk时命题成立可以推出nk2 时命题也成立且n2，故对所有的正偶

2、数都成立3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于1 2( )A1 B2 C3 D0答案 C解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选 C.4若f(n)1 (nN N*)，则n1 时f(n)是1 21 31 2n1( )A1 B.1 3C1 D以上答案均不正确1 21 3答案 C5用数学归纳法证明 12222n12n1(nN N*)的过程中，第二步假设当2nk(kN N*)时等式成立，则当nk1 时应得到_答案 12222k12k2k11解析 由nk到nk1 等式的左边增加了一项6已知f(n)(nN N*)，则f(k1)_.1 n11 n21 3n1答案 f

3、(k)1 3k1 3k11 3k21 k17用数学归纳法证明(nN N*)(11 3)(11 4)(11 5) (11 n2)2 n2证明 (1)当n1 时，左边1 ，右边 ，等式成立1 32 32 122 3(2)假设当nk(k1，kN N*)时等式成立，即，(11 3)(11 4)(11 5) (11 k2)2 k2当nk1 时，(11 3)(11 4)(11 5) (11 k2) (11 k3)2 k2(11 k3)2k2 k2k32 k3，2 k12所以当nk1 时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nN N*等式都成立二、能力提升8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n1

4、3(2n1)(nN N*)，从k到k1 左端需要增乘的代数式为( )A2k1 B2(2k1)C. D.2k1 k12k3 k1答案 B解析 nk1 时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘 2(2k1)9已知f(n) ，则1 n1 n11 n21 n2( )Af(n)中共有n项，当n2 时，f(2) 1 21 3Bf(n)中共有n1 项，当n2 时，f(2) 1 21 31 43Cf(n)中共有n2n项，当n2 时，f(2) 1 21 3Df(n)中共有n2n1 项，当n2 时，f(2) 1 21 31 4答案 D解析 观察分母

5、的首项为n，最后一项为n2，公差为 1，项数为n2n1.10以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN N*)”的过程中的错误为_答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础证明 假设当nk(kN N*)时等式成立，即 242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1 时等式也成立因此对于任何nN N*等式都成立11用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1.nn1 2证明 (1)当n1 时，左边1，右边(1)111，结论成立1 2 2(2)假设当nk时，结论成立即 12223242(1)k1k2(1)k1，kk1 2那么当nk1 时，1222324

6、2(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2kk1 2(1)k(k1)k2k2 2(1)k(1)k11.k1k2 2k1k11 2即nk1 时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立12已知数列an的第一项a15 且Sn1an(n2，nN N*)，Sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式(1)解 a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，4猜想anError!.(2)证明 当n2 时，a252225，公式成立假设nk(k2，kN N*)时成立，即ak52k2，

7、当nk1 时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k152(k1)2.512k1 12故nk1 时公式也成立由可知，对n2，nN N*，有an52n2.所以数列an的通项公式为anError!.三、探究与创新13已知数列an的前n项和Sn1nan(nN N*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论解 (1)计算得a1 ；a2 ；a3；a4.1 21 61 121 20(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：1 nn1当n1 时，猜想显然成立假设nk(kN N*)时，猜想成立，即ak.1 kk1那么，当nk1 时，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，k k1所以ak11(k1)ak1，k k1从而ak1.1 k1k21 k1k11即即n nk k1 1 时，猜想也成立故由时，猜想也成立故由和和可知，猜想成立可知，猜想成立. .