高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系.pdf

《高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 7 节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,2,7,10,13,14,15 弦长问题4,5,6,9,12 中点弦问题3,8,11 基础对点练(时间:30 分钟)1.直线 y=x+3 与双曲线-=1 的交点个数是(A)(A)1(B)2(C)1 或 2(D)0 解析:因为直线y=x+3 与双曲线的渐近线y=x 平行,所以它与双曲线只有1 个交点.2.已知椭圆C的方程为+=1(m0),如果直线y=x 与椭圆的一个交点M在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则 m的值为(B

2、)(A)2(B)2(C)8(D)2解析:根据已知条件得c=,则点(,)在椭圆+=1(m0)上,所以+=1,可得 m=2.3.已知双曲线C:-=1(a0,b0),方向向量为d=(1,1)的直线与C 交于两点A,B,若线段 AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是(B)(A)2x y=0(B)x 2y=0(C)xy=0(D)x y=0 解析:设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,由消去 y 得(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为(4,1).所以 x1+x2=8,y1+y2=8+2m=2,则 m=-3

3、,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以=8,所以 a=2b,所以双曲线的渐近线方程为y=x.4.(2016丽水模拟)斜率为1 的直线l与椭圆+y2=1 相交于A,B 两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设直线 l 的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去 y 得 x2+2tx+t2-1=0,由题意知=(2t)2-5(t2-1)0 即 t20),则直线 MN 的方程为y-=k(x-2),即 kx-y-2k+=0,因为直线MN与圆 x2+y2=1相切,所以原点到直线MN 的距离等于半径1,即=1解得 k=或 k=-(舍去),所以直线MN的方程为x

4、-y-=0,联立圆的方程x2+y2=1 可得N点坐标为(,-),所以|NF|=.7.(2015 滨州模拟)已知抛物线y2=8x 的焦点 F到双曲线 C:-=1(a0,b0)渐近线的距离为,点 P是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线C的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线x=-2 的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为.解析:由题意得,抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,所以=,所以 a=2b.因为 P到双曲线C的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线x=-2 的距离之和的最小值为3,所以|FF1|=3,所以

5、c2+4=9,所以 c=,因为 c2=a2+b2,a=2b,所以 a=2,b=1.所以双曲线的方程为-x2=1.答案:-x2=1 8.(2014高考江西卷)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于 A,B 两点,若M是线段 AB的中点,则椭圆 C的离心率等于.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且=-,所以+(-)=0,得 a2=2b2,所以 a2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2得=,所以 e=.答案:9.设抛物

6、线x2=8y 的焦点为F,准线为 l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,若直线 AF的倾斜角等于60,则|PF|等于.解析:在 APF中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60=4,所以|AF|=,又 PAF=PFA=30 ,过点 P作 PB AF于点 B,则|PF|=.答案:10.(2016 山西模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为.(1)求椭圆 C的方程;(2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C交于 A,B 两点,若=2,求直线 l 的方程.解:(1)设椭圆方程为+=1(ab0),因为 c=1,=,所以 a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1

7、.(2)由题意得直线l 的斜率存在,设直线 l 的方程为y=kx+1,联立方程得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得 x1=-2x2,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又所以消去 x2得()2=,解得 k2=,k=,所以直线l 的方程为y=x+1,即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0.11.(2016广东肇庆二模)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C上一点 P到 F1,F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线C

8、的右支于A,B 两点,且 M为 AB的中点,求直线 l 的方程;(3)已知定点G(1,2),点 D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.解:(1)依题意,得双曲线C的实半轴长a=1,半焦距 c=2,所以其虚半轴长b=.又其焦点在x 轴上,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减,得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为 M(2,1)为 AB的中点,所以所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB=6.故 AB所在直线l 的方程为y-1=6(x-2),即 6x-y

9、-11=0.(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,即|DF1|=|DF2|+2,所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2|GF2|+2,当且仅当G,D,F2三点共线时取等号.因为|GF2|=,所以|DF2|+|DG|+2|GF2|+2=+2.故|DF1|+|DG|的最小值为+2.能力提升练(时间:15 分钟)12.(2016大连双基测试)过抛物线y2=2px(p0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于B,C 两点,l与小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学抛物线准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|等于(A)(A)(B)6(C)(D)8 解析:不妨设直线

10、l 的倾斜角为,其中 0 0,所以 b-.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1,=-+b=+b,由(-,+b)在直线 y=x+3 上,即+b=-+3,解得 b=2,联立解得答案:(-2,4),(1,1)14.(2015沈阳模拟)已知点 A(-,0),点 B(,0),且动点 P满足|PA|-|PB|=2,则动点 P 的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k.解析:由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=,则 b=1,所以 P点的轨迹方程为x2-y2=1(x0),其一条渐近线方程为y=x.若 P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需 k(-

11、,-1)(1,+).答案:(-,-1)(1,+)15.已知椭圆 C:+y2=1(a0)的焦点在 x 轴上,右顶点与上顶点分别为A,B.顶点在原点,分别以A,B 为焦点的抛物线C1,C2交于点 P(不同于 O点),且以 BP为直径的圆经过点A.(1)求椭圆 C的标准方程;(2)若与 OP垂直的动直线l 交椭圆 C 于 M,N 不同两点,求 OMN 面积的最大值和此时直线l小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学的方程.解:(1)由已知得A(a,0),B(0,1),所以以 A为焦点的抛物线C1的方程为y2=4ax,以 B为焦点的抛物线C2的方程为x2=4y.由得 P(4,4),又以

12、 BP为直径的圆经过点A,所以,=0,(4-a,4)(-a,1)=0,即-4+4=0,得=2,a2=8,故椭圆 C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知 P(4,8),kOP=,所以直线l 的斜率 kl=-.设直线 l 的方程为y=-x+t,由得5y2-2ty+t2-4=0,则=4t2-4 5(t2-4)0,解得 t25,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=,y1y2=,由弦长公式得|MN|=|y2-y1|=.又点 O到直线 l 的距离为d=|t|,所以 SOMN=|MN|d=|t|=2(t2+5-t2)=,当且仅当t2=5-t2时等号成立,又 t20,b0),F1,F2

13、分别是它的左、右焦点,A 是它的右顶点,过点 F1作一条斜率为k 的直线交双曲线于异于顶点的两点M,N,若 MAN=90,则该双曲线的离心率为小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(B)(A)(B)2(C)(D)解题关键:把 MAN=90 转化为=0.解析:由题意可得过点F1的直线方程为y=k(x+c)(k0),联立方程消去y 得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=-.因为 MAN=90,所以=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1+c

14、)(x2+c)=0,所以(1+k2)x1x2+(ck2-a)(x1+x2)+a2+k2c2=0,即-(1+k2)+(ck2-a)+a2+k2c2=0,所以-2a3c-3a2c2+c4=0,即-3+e2=0,即=0,又 e1,解得 e=2.2.已知抛物线C:y2=2px(p0),A(异于原点O)为抛物线上一点,过焦点 F 作平行于直线OA的直线,交抛物线C 于 P,Q 两点.若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于点B,则|FP|FQ|-|OA|OB|等于(A)(A)0(B)1(C)-1(D)2 解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.解析:设直线 OA的斜率为k(k 0),则直线 OA的方程为y=kx,由得 A(,),易知 B(,),PQ:y=k(x-),由消去 x 得-y-=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-p2,根据弦长公式得|FP|FQ|=|y1|y2|小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学=(1+)|y1y2|=(1+)p2,而|OA|OB|=(1+)p2,所以|FP|FQ|-|OA|OB|=0.