高二数学上学期期中试卷(普通班-含解析).pdf

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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2015-2016 学年内蒙古巴彦淖尔一中高二（上）期中数学试卷（普通班）一、选择题（5 分×12=60 分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1“a=1”是“a2=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2双曲线=1 的离心率为（）ABCD2 3 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则 P到另一焦点距离为（）A9 B7 C5 D3 4当 m N*，命题“若m 0，则方程 x2+xm=0有实根”的逆否命题是（）A若方程x2+xm=0有实根，则m 0 B若方程x2+xm=0有实根，则m 0C若方程x2

2、+xm=0没有实根，则m 0 D若方程x2+xm=0没有实根，则m 05若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（）A 2 B2 C 4 D4 6过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=8，那么|AB|=（）A6 B8 C9 D10 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料7已知函数f（x）=ax2+c，且 f（1）=2，则 a 的值为（）A1 BC 1 D0 8曲线 y=2x lnx 在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=x1 B y=x+3 Cy=x+1 Dy=x1 9函数 f（x）=（x3）ex的单调递增区间是

3、（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）10双曲线=1 的渐近线与圆x2+（y2）2=1相切，则双曲线离心率为（）ABC2 D3 11 直线 y=x+b 与抛物线x2=2y 交于 A、B两点（异于坐标原点O），且 OA OB，则 b 的值为（）A2 B 2 C1 D 1 12 已知点 P在曲线 y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（）A0，）BCD二、填空题（5 分×4=20 分）13已知函数f（x）=ex，则 f（0）的值为14若曲线f（x）=x?sinx+1在 x=处的切线与直线ax+2y+1=0 互相垂直，则实数a 等于15已知抛物线y2=4x，过点

4、 P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 y12+y22的最小值是推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料16 已知 F1、F2是双曲线的两焦点，过 F2且垂直于实轴的直线交双曲线于P、Q两点，PF1Q=60，则离心率e=三、解答题17已知 p：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1 相交”；q：“方程 x2x+m 4=0 的两根异号”若pq为真，p 为真，求实数m的取值范围18斜率为2 的直线 l 经过抛物线的y2=8x 的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长19已知双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），且离心率为2；（）求双曲线

5、的标准方程；（）若经过点M（1，3）的直线 l 交双曲线C于 A，B两点，且M为 AB的中点，求直线l 的方程20已知函数f（x）=x2（a+m）x+alnx，且 f（1）=0，其中 a、m R（1）求 m的值；（2）求函数f（x）的单调增区间21已知椭圆C：=1（ab0），过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点（1，0）的直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线 l 的方程22已知抛物线C：y2=4x，P为 C上一点且纵坐标为2，Q，R是 C上的两个动点，且PQ PR（1）求过点P，且与 C恰有一个公共点的直线l 的方程；推荐学习K12 资料推荐学习K12

6、 资料（2）求证：QR过定点推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2015-2016 学年内蒙古巴彦淖尔一中高二（上）期中数学试卷（普通班）参考答案与试题解析一、选择题（5 分×12=60 分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1“a=1”是“a2=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a2=1得 a=1 或 1，则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础2双曲

7、线=1 的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的标准方程可以求得a 和 c，从而求得离心率e=的值【解答】解：由双曲线=1 可得 a=2，b=，c=3，e=，故选：C【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出 c=3，是解题的关键推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料3 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则 P到另一焦点距离为（）A9 B7 C5 D3【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【专题】综合题【分析】由椭圆方程找出a 的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数 2a，把

8、a 的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为 3，求出 P到另一焦点的距离即可【解答】解：由椭圆，得 a=5，则 2a=10，且点 P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a 3=103=7故选 B【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题4当 m N*，命题“若m 0，则方程 x2+xm=0有实根”的逆否命题是（）A若方程x2+xm=0有实根，则m 0 B若方程x2+xm=0有实根，则m 0C若方程x2+xm=0没有实根，则m 0 D若方程x2+xm=0没有实根，则m 0【考点】四种命题间的逆否关系【专题】简易逻辑【分析】直

9、接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m N*，命题“若m 0，则方程 x2+x m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+xm=0没有实根，则m 0故选：D【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用5若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A 2 B2 C 4 D4【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p 的值【解答】解：椭圆中，c2=62=4，即 c=2，故椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线y2

10、=2px 的焦点为（2，0），则 p=4，故选 D【点评】本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程，难度不大，属于基础题6过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=8，那么|AB|=（）A6 B8 C9 D10【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的方程可得p，再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p 即可得出【解答】解：由抛物线y2=4x 可得 2p=4，解得 p=2x1+x2=8，|AB|=x1+x2+p=8+2=10故选：D【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其弦长公式，属于基础题7已知函数f（

11、x）=ax2+c，且 f（1）=2，则 a 的值为（）A1 BC 1 D0【考点】导数的运算【专题】计算题推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【分析】先求出f（x），再由 f（1）=2求出 a 的值【解答】解：函数f（x）=a x2+c，f（x）=2ax 又 f（1）=2，2a?1=2，a=1故答案为A【点评】本题考查导数的运算法则8曲线 y=2x lnx 在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=x1 B y=x+3 Cy=x+1 Dy=x1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】求出曲线的导函数，把x=1 代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即

12、可【解答】解：由函数y=2xlnx 知 y=2，把 x=1 代入 y得到切线的斜率k=2=1 则切线方程为：y 2=（x1），即 y=x+1故选：C【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程9函数 f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f（x）0，解出 x 的取值区间，要考虑f（x）的定义域【解答】解：f（x）=（x3）ex+（x3）（ex）=（x2）ex，求

13、f（x）的单调递增区间，令 f（x）0，解得 x2，故选 D推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间10双曲线=1 的渐近线与圆x2+（y2）2=1相切，则双曲线离心率为（）ABC2 D3【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用圆心（0，2）到双曲线=1 的渐近线 bxay=0 的距离等于半径1，可求得 a，b 之间的关系，从而可求得双曲线离心率【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线为bxay=0，依题意，直线bxay=0 与圆 x2+（

14、y2）2=1 相切，设圆心（0，2）到直线bxay=0 的距离为d，则 d=1，双曲线离心率e=2故选 C【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题11 直线 y=x+b 与抛物线x2=2y 交于 A、B两点（异于坐标原点O），且 OA OB，则 b 的值为（）A2 B 2 C1 D 1【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】联立直线和抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点的横纵坐标的积，由OA OB转化为其数量积等于0，代入坐标的乘积后求解b的值推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解

15、答】解：联立，得：x22x2b=0因为直线y=x+b 与抛物线x2=2y 交于 A、B两点，则（2）24（2b）=4+8b0且 x1+x2=2，x1x2=2b=2b+2b+b2=b2由 OA OB，得即 x1x2+y1y2=0，2b+b2=0，因为 b0，所以b=2满足=4+82=20 0故选 A【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用数量及判断两个向量的垂直关系，训练了一元二次方程的根与系数的关系，是中档题12 已知点 P在曲线 y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（）A0，）BCD【考点】导数的几何意义【专题】计算题；压轴题【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切

16、线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围【解答】解：因为y=，ex+ex+24，y 1，0）即 tan 1，0），0 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料 故选：D【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值二、填空题（5 分×4=20 分）13已知函数f（x）=ex，则 f（0）的值为1【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】先求导，再带值计算即可【解答】解：f（x）=（ex）=ex，f（0）=1故答案为：1【点评】本题考查了常用求导公式，以及函数值的求法，属于基础题14 若曲线 f（x）=x?sinx+1 在 x=处的切线与直线ax+2y+1

17、=0 互相垂直，则实数 a等于2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题【分析】先求出导函数f（x），求出的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为1 建立等式关系，解之即可求出a 的值【解答】解：f（x）=sinx+xcosx，即函数 f（x）=xsinx+1 在点处的切线的斜率是1，直线 ax+2y+1=0 的斜率是，所以，解得 a=2故答案为：2【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料15已知抛物线y2=4x，过点 P（4，0）的直线与

18、抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 y12+y22的最小值是32【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】先根据点P设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2=16，进而根据均值不等式y12+y22=4（x1+x2）8求得答案【解答】解：设直线方程为y=k（x4），与抛物线方 程联立消去y 得 k2x2（8k2+4）x+16k2=0 x1x2=16 显然 x1，x20，又 y12+y22=4（x1+x2）8=32，当且仅当x1=x2=4 时取等号，此时k 不存在故答案为32【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合分析问

19、题和解决问题的能力16 已知 F1、F2是双曲线的两焦点，过 F2且垂直于实轴的直线交双曲线于P、Q两点，PF1Q=60，则离心率e=【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，PQF1是等腰直角三角形，且被F1F2分成两个全等的直角三角形由此结合双曲线的定义，可解出a、c 关系，即可得到该双曲线的离心率【解答】解：设双曲线方程为（a 0，b0），把 x=c 代入得，PF1Q=60，2c=，即 2ac=（c2 a2），解得 e=故答案为：【点评】本题给出双曲线方程，在已知过右焦点的通径和左焦点构成等边三角形的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简

20、单几何性质等知识，属于中档题三、解答题推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料17已知 p：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1 相交”；q：“方程 x2x+m 4=0 的两根异号”若pq为真，p 为真，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】若命题p 是真命题：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1 相交”，则1，解得 m范围；若命题q 是真命题：“方程x2x+m 4=0 的两根异号”，则m 4 0，解得 m范围若pq为真，p 为真，则p 为假命题，q 为真命题解出即可【解答】解：若命题p 是真命题：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1相交”，则1，解

21、得 1；若命题 q 是真命题：“方程x2x+m4=0 的两根异号”，则m 4 0，解得 m 4若 pq为真，p 为真，则 p 为假命题，q 为真命题实数 m的取值范围是或【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18斜率为2 的直线 l 经过抛物线的y2=8x 的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设直线 l 的倾斜解为，则 l 与 y 轴的夹角=90，cot=tan=2，sin=，然后求出|AB|【解答】解：设直线l 的倾斜

22、解为，则 l 与 y 轴的夹角=90，cot =tan=2，sin=，|AB|=40推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料线段 AB的长为 40【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用19已知双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），且离心率为2；（）求双曲线的标准方程；（）若经过点M（1，3）的直线 l 交双曲线C于 A，B两点，且M为 AB的中点，求直线l 的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设出双曲线方程，且c=2，再由离心率公式可得a=1，再由 a，b，c 的关系，

23、可得 b，进而得到双曲线的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法，求出直线AB的斜率，进而得到AB的方程，再联立双曲线方程，运用判别式检验即可【解答】解：（）设双曲线方程为=1（a0，b0），且 c=2，由于离心率为2，即=2，即 a=1，b=，则双曲线方程为x2=1；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1 两式相减得，（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），由于 M为 AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=6，得直线 AB的斜率 kAB=1，直线 l 的方程为y3=x1 即 y=x+2，代入方程x2=1，得 2x24x7=0，=4242

24、（7）=720，故所求的直线方程为y=x+2推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法求弦中点的问题，考查运算能力，属于中档题和易错题20已知函数f（x）=x2（a+m）x+alnx，且 f（1）=0，其中 a、m R（1）求 m的值；（2）求函数f（x）的单调增区间【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）由题意，可先解出函数的导数f（x）=x（a+m）+，再由 f（1）=0 建立方程即可求出m的值；（2）由（1）可得 f（x）=x（a+1）+=，比较 a与 1，0 的大小，分为三类讨论得出函数f（x）的单调增区间【解答

25、】解：（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=x（a+m）+（2 分）由 f（1）=0 得 1（a+m）+a=0，解得 m=1（4 分）（2）由（1）得 f（x）=x（a+1）+=（6 分）当 a1 时，由 f（x）0 得 xa 或 0 x1，此时 f（x）的单调增区间为（a，+）和（0，1）（9 分）当 a=1 时，f（x）的单调增区间为（0，+）（11 分）当 0a 1 时，由 f（x）0 得 x1 或 0 xa，此时 f（x）的单调增区间为（1，+）和（0，a）（14 分）当 a0 时，由 f（x）0 得 x1，此时 f（x）的单调增区间为（1，+）综上，当a1 时，

26、f（x）的单调增区间为（a，+）和（0，1）；当 a=1 时，f（x）的单调增区间为（0，+）；当 0a 1 时，f（x）的单调增区间为（1，+）和（0，a）；当 a0时，f（x）的单调增区间为（1，+）（16 分）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及分类讨论的思想及高次不等式的解法，解题的关键是理解导数的符号与函数单调性的对应，本题中解不等式也是一个计算难点，可分区间讨论解出不等式的解集从而得出函数的单调区间21已知椭圆C：=1（ab0），过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点（1，0）的直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点，且以AB为直径的

27、圆过原点，试求直线 l 的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得，解出即得a，b；（2）设直线方程为x1=my，代入椭圆消掉x 可得 y 的二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由以 AB为直径的圆过原点知，即 x1x2+y1y2=0，代入韦达定理即得m的方程，解出可得直线方程；【解答】解：（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为：（2）设直线方程为x 1=my，代入椭圆方程消掉x 得，（m2+4）y2+2my 3=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以 x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2

28、y1y2+m（y1+y2）+1=，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由以 AB为直径的圆过原点知，即 x1x2+y1y2=0，所以+=0，解得 m=，所以直线方程为：x1=y，化简得，y=2x2 或 y=2x+2【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力22已知抛物线C：y2=4x，P为 C上一点且纵坐标为2，Q，R是 C上的两个动点，且PQ PR（1）求过点P，且与 C恰有一个公共点的直线l 的方程；（2）求证：QR过定点【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求得 P（1，2），考虑过P与对称轴 y=

29、0 平行，和过P且与抛物线相切的直线，计算即可得到所求直线方程；（2）设出抛物线上的Q（，a），R（，b），而 P（1，2），由 PQ PR 借助于向量数量积等于 0 得到 a，b 的关系，由两点式求出QR所在直线的斜率，写出QR的点斜式方程，与a，b的关系式结合后由直线系方程得答案【解答】解：（1）由题意可得P（1，2），当过 P与对称轴y=0 平行，与抛物线只有一个交点，直线方程即为y=2；当过 P且与抛物线相切的直线和抛物线只有一个交点，由 y2=4x 对 x 求导，得2yy=4，则切线的斜率为k=1，即有直线方程为y2=x1，即为 y=x+1故直线 l 的方程为y=2 或 y=x+1；（2）证明：设Q（，a），R（，b），而 P（1，2），=（1，a2），=（1，b2），推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由于 PQ PR，得向量?=0，即为（1）（1）+（a2）（b2）=0，整理得 ab+2a+2b+20=0而过 QR的直线的斜率为：=过 QR的直线方程为yb=（x），整理得 4x+ab（a+b）y=0，即 4x（a+b）y2a 2b20=0化为 4x 20（a+b）（y+2）=0可得直线恒过定点（5，2）直线 QR必过定点（5，2）【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线系方程的运用，是中档题