苏锡常镇四市2018-2019学年度高三教学情况调查(一)数学试题含答案-(3).pdf
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1、2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一)数学一、填空题,本大题共14 题,每小题5 分,共 70 分,不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合A 0,1,2,B x|1 x 1,则AB 答案:=0AB。2、i为虚数单位,复数12i2 的虚部为答案:2312()4ii,即虚部为-4。3、抛物线y 2 4x 的焦点坐标为答案:1,0。4、箱子中有形状、大小相同的3只红球、1只白球,一次摸出2 只球,则摸到的2 只球颜色相同的概率为答案:12解析:232412CC。5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前3组的频率成等
2、差数列,则第2 组的频数为答案:406、如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是答案:327、已知函数2log(3),0()21,0 xxxf xx,若1(1)2f a,则实数a 答案:2log 3解析:222133(1)1log1loglog 3222f aaa8、中国古代著作张丘建算经有这样一个问题:“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700 里,那么这匹马在最后一天行走的里程数为答案:700127解析:设第七天走的路程为x,那么七天总共走的路程为76127002270012127xxxxx。9、已知圆
3、柱的轴截面的对角线长为 2,则这个圆柱的侧面积的最大值为答案:2解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,那么2244rh,圆柱的侧面积为224222rhrh。10、设定义在区间(0,2)上的函数y 33sin x 的图像与y 3cos 2x 2 的图像交于点P,则点P 到x 轴的距离为答案:3 解析:23 33 223 122sinxcosxsin x2233 33 1226+3 35=03sinxsin xsin xsinxsinx3 3sin3ppyx11、在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知5a 8b,A 2B,则sin(A4)答案:17 250解析:345825sin
4、8sin2sin,cos,5564abABABABBBB,2472172sinA,cosA,sinsinAcosA25254250A()=。12、若直线l:ax y 4a 0 上存在相距为 2 的两个动点A,B,圆O:x2y2 1上存在点C,使得ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点),则实数a 的取值范围为答案:3333,解析:根据题意得,圆O:x2y2 1上存在点C,使得点 C 到直线l的距离为 1,那么圆心O 到直线l的距离为不大于2,即2|4|21aa,于是3333,。13、在ABC 中,已知AB 2,AC 1,BAC 90o,D,E 分别为BC,AD 的中点,过点E 的直线交AB
5、于点P,交AC 于点Q,则BQ CPuu u r uur的最大值为答案:94解析:以 AC为 x 轴,AB为 y 轴,建立直角坐标系,那么B(0,2),C(1,0),并且 E 点的坐标为1 1,4 2,设直线PQ的方程为11()42yk x,所以有11120,0624423kPQkk,11125151|921,624224342242|24kkkBQ CPkkkk,uu u r uu r14、已知函数f(x)2|xxa,g(x)(2 a 1)x a ln x,若函数y f(x)与函数y g(x)的图像恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为答案:1,解析:很显然,0a,()()h xf x
6、g x单调递增,至多有一个零点,不符合题意。0a时,令22()()|(1ln)xxh xf xg xaxaax2222ln,2l)n(,xxaxaax xaaxaax xa,可以求得0a时,01h aa,二、解答题:共 6 小题,共 90 分、请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)如图,三棱锥D ABC 中,已知AC BC,AC DC,BC DC,E,F分别为BD,CD 的中点,求证:(1)EF/平面ABC;(2)BD 平面ACE.解:(1)三棱锥DABC中,E为DC的中点,F为DB的中点,EFBC,3分BC平面ABC,EF平面ABC,E
7、F平面ABC6分(2)ACBC,ACDC,BCDCC,AC平面BCD,8分BD平面BCD,ACBD,10分,DCBC E为BD的中点,CEBD,12分ACCEC,BD平面ACE14分16(本小题满分 14 分)已知向量a2cos,2sin,bcossin,cossin.(1)求向量a与b的夹角;(2)若baa,求实数的值.解:(1)设向量a与b的夹角为,因为2a,22(cossin)(cossin)2b,4 分所以cosa bab(2cos,2sin)(cossin,cossin)2 2222cos2sin222 27 分考虑到0剟,得向量a与b的夹角49分(2)若()baa,则()0baa,
8、即20b aa,12 分因为2b a,24a,所以240,解得214分17(本小题满分 14 分)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段弧,直路AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图).拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD 区域种植草坪,其中A,B,C,D 均在该抛物线上.经测量,直路AB长为 40 米,抛物线的顶点P 到直路AB 的距离为 40 米.设点C 到抛物线的对称轴的距离为m米,到直路AB的距离为n 米.(1)求出n 关于m 的函数关系式;(2)当m 为多大时,等腰梯形草坪ABCD 的面积最大?并求出其最大值.解:(1)以路 A
9、B 所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,1分则(20,0)A,(20,0)B,(0,40)P,2分曲线段APB 为抛物线的一段弧,可以设抛物线的解析式为(20)(20)ya xx,将点(0,40)P代入得:40400a,解得110a,4分抛物线的解析式为21(400)10yx,5分点 C 在抛物线上,21(400)10nm,00m6分(2)设等腰梯形ABCD 的面积为S,则211(240)(400)210Smm,8分321(204008000)10Smmm,9分211(340400)(320)(20)1010Smmmm,10 分令0S,得203m,11分m20(0,)3m
10、203m20(,20)3mS0S0S0SS增极大值减13分当203m时,等腰梯形ABCD 的面积最大,最大值为2560027平方米 14 分18(本小题满分 16 分)已知椭圆 E:22221(0)xyabab的离心率为32,焦点到相应准线的距离为33.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知P(t,0)为椭圆E 外一动点,过点P 分别作直线l1和l2,l1和l2 分别交椭圆E 于点A,B和点 C,D,且l1和l2 的斜率分别为定值k1和 k2,求证:PA PBPC PD为定值.解:(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得,32ca,则233acc,222cab,3分解得2a,1b,3c,5分椭圆 E
11、 的标准方程是2214xy6分(2)由题意,设直线1l的方程为1()ykxt,代入椭圆E 的方程中,并化简得,22222111(14)8440kxkt xkt,8分设11(,)A xy,22(,)B xy则211221814k txxk,22112214414k tx xk,因为 PA2111kxt,PB2121kxt,10分所以PA PB2112(1)kxt xt2211212(1)()ktxxtx x2222221112211844(1)1414k tk tktkk221211|4|14ktk(),12分同理,PC PD222221|4|14ktk(),14分所以PA PBPC PD221
12、22221(114114kkkk)()()()为定值16分19(本小题满分 16 分)已知函数f(x)(x 1)ln x ax(a R).(1)若y f(x)在1,f(1)处的切线方程为x y b 0,求实数a,b 的值;(2)设函数g(x)()f xx,x1,e(中e 为自然对数的底数).当a 1时,求g(x)的最大值;若h(x)()g xx是单调递减函数,求实数a 的取值范围.解:(1)1()lnxfxxax,(1)21fa,3a,1分(1)3fa,(1,3)代入0 xyb解得2b2分(2)1()(1)ln1g xxx,则222ln1ln1()xxxxgxxxx 3 分令()ln1xxx,
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