高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程检测(A).pdf

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第二章检测(A)(时间:90 分钟满分:120 分)一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 已知椭圆=1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是3,则点 P 到另一个焦点的距离为()A.2 B.3 C.5 D.7 解析:设点 P 到另一个焦点的距离为d,由椭圆定义可知P到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则 d=10-3=7.答案:D 2 已知抛物线C1:y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x 对称,则抛物线C2的准线方程是()A.x=-B.x=C.x=D

2、.x=-解析:抛物线 C1:y=2x2关于 y=-x 对称的抛物线C2的解析式为-x=2(-y)2,即 y2=-x,故 C2的准线方程为x=.答案:C 3 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0),离心率等于,则双曲线 C 的方程是()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析:由曲线 C 的右焦点为F(3,0),知 c=3.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由离心率 e=,知,则 a=2,故 b2=c2-a2=9-4=5,因此,双曲线 C 的方程为=1.答案:B 4 已知动点P 到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2(1),则点 P 轨迹的离

3、心率的取值范围为()A.B.C.D.解析:由题意,得 2|F1F2|=2,故点 P 的轨迹是椭圆,其中 a=,c=1.于是 e=.故选 C.答案:C 5 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率是()A.B.-C.D.解析:因为 2a,2b,2c 成等比数列,所以 b2=ac.又因为 b2=a2-c2,所以 a2-c2-ac=0,解得 e=-.答案:B 6 抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线x2-=1 的渐近线的距离是()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A.B.C.1 D.解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=x,

4、即x-y=0,故由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=-.答案:B 7AB为过椭圆=1(ab 0)的中心的弦,F1为一个焦点,则 ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2解析:ABF1的面积为c|yA|,因此当|yA|最大,即|yA|=b 时,面积最大.答案:C 8 方程 mx+ny2=0 与 mx2+ny2=1(mn 0)在同一坐标系中的大致图象可能是()答案:A 9 如图,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点 M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的

5、方程为()A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析:由抛物线的定义,知|BF|等于点 B 到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得 BCM=30.又|AF|=3,从而 A,A 在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得 p=.故抛物线方程为y2=3x.答案:B 10 双曲线与椭圆4x2+y2=64 有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为()A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36 C.3y2-x2=36 D.3x2-y2=36 解析:由 4x2+y2=64,得=1,c2=64-16=48,c=4,e=.在

6、双曲线中,c=4,e=.a=c=6,b2=48-36=12.双曲线方程为=1,即 y2-3x2=36.答案:A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 双曲线=1 的两条渐近线的方程为.解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=x.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案:y=x12 过抛物线y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=.解析:抛物线的焦点为F,设直线方程为y=x-.由-得 x2-3px+=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1

7、+x2=3p.故|AB|=x1+x2+p=3p+p=8,即 p=2.答案:2 13 在平面直角坐标系xOy 中,已知 ABC 的顶点 A(-3,0)和 C(3,0),顶点 B 在椭圆=1 上,则=.答案:14 在平面直角坐标系中,椭圆=1(ab 0)的焦距为2,以 O 为圆心,a 为半径作圆,过点所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e=.解析:设点 M,两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MPMQ,所以四边形MPOQ 是正方形.又因为 c=1,所以=2a2.整理得 a=.故 e=.答案:小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学15 设 F 为抛物线C:y2=4x

8、的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于.解析:设直线 l 的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由联立,得 k2x2+2(k2-2)x+k2=0.则 x1+x2=-,故=-=-1+,即 Q-.又|FQ|=2,F(1,0),-=4,解得 k=1.答案:1 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8 分)点 A,B 分别是椭圆=1 的长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PAPF.求

9、点 P的坐标.解:由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点 P 的坐标是(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知,得-解得 x=或 x=-6.因为 y0,所以只能取x=,于是 y=,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以点 P 的坐标是.17(8 分)已知椭圆=1(ab 0),短轴顶点 B(0,b),若椭圆内接三角形BMN 的重心是椭圆的左焦点 F,求椭圆的离心率的取值范围.解:如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2),且已知 B(0,b),F(-c,0),由重心公式,得-则弦 MN 的中点 E 的坐标为-.又点 E 在椭圆内部,则

10、-1e20eb 0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若 PF1PF2,试求:(1)椭圆的方程;(2)PF1F2的面积.解:(1)令 F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则 b2=a2-c2.因为 PF1PF2,所以=-1.即-=-1,解得 c=5,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以可设椭圆方程为-=1.因为点 P(3,4)在椭圆上,所以-=1,解得 a2=45 或 a2=5.又因为 ac,所以 a2=5(舍去).故所求椭圆方程为=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,由2-得 2|PF1|PF

11、2|=80,所以|PF1|PF2|=20.19(10 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:=1(ab 0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4 的直径,l1,l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于 A,B两点,l2交椭圆 C1于另一点D.(1)求椭圆 C1的方程;(2)求 ABD 面积取最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得故椭圆 C1的方程为+y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线 l1的方程为y=kx-1.又圆

12、 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1的距离 d=,则|AB|=2-=2.又 l2l1,故直线 l2的方程为 x+ky+k=0.由消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故 x0=-.则|PD|=.设 ABD 的面积为S,则 S=|AB|PD|=,故 S=,当且仅当 k=时取等号.故所求直线l1的方程为 y=x-1.20(10 分)在平面直角坐标系xOy 中,点 B与点 A(-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP的斜率之积等于-.(1)求动点 P 的轨迹方程.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)设直线 AP 和 BP 分别与直线x

13、=3 交于点 M,N,问:是否存在点P,使得 PAB 与 PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).设点 P 的坐标为(x,y).由题意得-=-,化简得 x2+3y2=4(x1).故动点 P 的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).(2)方法一:设点 P的坐标为(x0,y0),点 M,N 的坐标分别为(3,yM),(3,yN),则直线 AP 的方程为y-1=-(x+1),直线 BP的方程为y+1=-(x-1).令 x=3,得 yM=-,yN=-.于是 PMN 的面积SPMN=|

14、yM-yN|(3-x0)=-.又直线 AB 的方程为x+y=0,|AB|=2,点 P 到直线 AB的距离 d=,于是 PAB 的面积SPAB=|AB|d=|x0+y0|.当 SPAB=SPMN时,得|x0+y0|=-.又因为|x0+y0|0,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以(3-x0)2=|-1|,解得 x0=.因为+3=4,所以 y0=.故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为.方法二:若存在点P使得 PAB 与PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0),则|PA|PB|sinAPB=|PM|PN|sinMPN.因为 sinAPB=sinMPN,所以.所以-,即(3-x0)2=|-1|,解得 x0=.因为+3=4,所以 y0=.故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学