高中数学第1章不等关系与基本不等式1.4第1课时比较法证明不等式学案北师大版选修4-5.pdf

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学4不等式的证明第 1 课时比较法证明不等式1理解比较法证明不等式的理论依据(重点)2掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤(重点)3会用比较法证明简单的不等式(难点)基础初探 教材整理1 求差比较法阅读教材P16“例 1”以上部分，完成下列问题1理论依据(1)ab?ab0；(2)ab?ab0；(3)ab?abb，只要证明ab0 即可这种方法称为求差比较法3步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)下结论填空(填不等号)：(1)aR，a2b2_2ab.(2)a，b，m为正数，bb.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=

2、大学babmambamabmaamm baaam0，故填 0，故填.【答案】(1)(2)教材整理2 求商比较法阅读教材P16“例 3”以上部分，完成下列问题1理论依据当b0 时，(1)ab?ab1，(2)ab?abb(b0)，只要证明ab1 即可，这种方法称为求商比较法判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab1，则ab.()(2)求商比较法的关键是将商与1 比较()(3)求商比较法适合于任何两数的比较大小()【解析】(1)若b0 时，ab1?ab.若b1?a0，b0，求证：abbaab.【导学号：94910017】【证明】abba(ab)abbbaaabbbaaababab小学+初中+高

3、中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学abab2ab0.原不等式成立.求商比较法证明不等式已知a，b均为正数，且(ab)(mn)0.求证：ambnanbm.【精彩点拨】根据条件和结论，可作商与1 比较，其中要用到指数函数的性质，由题设知ab与mn同号，再作分类讨论【自主解答】由a，b均为正数，易得anbm0，ambn0.ambnanbmamnbnmabm-n.由(ab)(mn)0，得ab与mn同号且不等于零(1)当ab0 时，ab1，mn0，abm-n1，ambnanbm.(2)当ba0 时，0ab1，mn1，ambnanbm.综上，a，b均为正数，均有ambnanbm.1两端均出现4 个

4、字母a，b，m，n，变形为abm-n，将ab与mn视为两个整体，减少了字母讨论的个数2求商比较法证明的步骤是：“作商变形判断商与1 的大小”再练一题 2已知abc0，求证：a2ab2bc2cabcbcacab.【证明】由abc0，得acbbc acab0.不等式左右两边作商，得a2ab2bc2cabcbc aca baaaabbbbccccabacbcbacacbaa-baa-cbb-cbb-acc-acc-baba-baca-cbcb-c.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学ab0，ab1，ab0，即aba-b1.同理bcb-c1，aca-c1.a2ab2bc2cab c

5、bc acab1.即a2ab2bc2cabcbcacab.探究共研型 比较法的应用探究 1 求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？【提示】求差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系探究 2 求商比较法主要适用的类型是什么？【提示】主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明已知 an 是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列(1)求q的值；(2)设bn是以 2 为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2 时，比较Sn与bn的大小，并说明理由【精彩点拨】(1)由条件列方程求q值

6、；(2)写出Sn与bn的表达式，采用作差法比较Sn与bn的大小判断符号时注意n的取值【自主解答】(1)由题设知2a3a1a2，即 2a1q2a1a1q.又a10，2q2q10，q1 或12.(2)若q1，则Sn2nnn2n23n2nn2.当n2时，SnbnSn1nn20，故Snbn.若q12，则Sn2nnn2 12n29n4nn4.当n2时，SnbnSn1n1n4，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故对于nN，当 2n9 时，Snbn；当n 10 时，Snbn；当n11 时，Snbn.比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法.当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式

7、，一般使用求差比较法，当被证明的不等式或变形后的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用求商比较法.比较法应用各种比较大小的地方，如函数单调性的证明、数列、三角等方面都会涉及.再练一题 3在等比数列an和等差数列 bn 中，a1b10，a3b30，a1a3，试比较a5和b5的大小【解】设等比数列 an 的公比为q，等差数列 bn 的公差为d，a3a1q2，b3b1 2d.a1b10 且a3b3，a1q2b12d，2da1q2b1a1q2a1a1(q21)a1a3，q21，而b5a5a14da1q4a12a1(q21)a1q4a1q42a1q2a1a1(q2 1)2.(q21)20，a1

8、0，a1(q2 1)20，a1(q21)20，即b5sBtsCtsDts【解析】st(ab21)(a 2b)(b1)20，st.【答案】D 2已知等比数列an 的各项均为正数，且公比q1，若Pa2a92，Qa4a7，则P与Q小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学的大小关系为()APQBPQCPQDPQ【解析】an为等比数列且各项为正数，a2a9a4a7，又q1，a2a9，a2a92a2a9a4a7，即PQ，故选 C.【答案】C 3设a，b，m均为正数，且ba0，又a，b，m为正数a(am)0，m0，因此ab0，ab.【答案】ab4已知 0a1b，且M11a11b，Na1ab1

9、b，则M，N的大小关系是_【解析】由 0a1b，得 0ab0.故MN11a11ba1ab1b1a1a1b1babab0，MN.【答案】MN5已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.【证明】2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0,从而(ab)(ab)(2ab)0，即 2a3b32ab2a2b.我还有这些不足：(1)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(六)(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1已知x，yR，Mx

10、2y2 1，Nxyxy，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMND不能确定【解析】2M 2N(xy)2(x1)2(y1)20，MN.【答案】A 2如果实数a，b，c满足cba，且acacBc(ba)0 Cac(ac)0 Dcb20，cb1，则1a1与1b1的大小关系是()A.1a11b1B1a1b 1，a10，b 10，ab0，则1a11b1baab0，1a1an1Ban0，b0，nN，an1an0，an1an.【答案】B 5设x2，y73，z62，则x，y，z的大小关系是()AxyzBzxyCyzxDxzy【解析】y73473，z62462.73620，zy.又xz246223246223

11、2620，xz，xzy.【答案】D 二、填空题6已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_【解 析】(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1)(b1b2)(a1a2)a1a2，b1b2，上式 0.故a1b1a2b2a1b2a2b1.【答案】a1b1a2b2a1b2a2b17 若xy0，M(x2y2)(xy)，N(x2y2)(xy)，则M，N的大小关系为_【解析】MN(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)2 2xy(xy)xy0，xy0，MN0，即MN.【答案】MN8已知a0,1b0，abab，则1a与1

12、1b的大小关系是_.【导学号：94910019】【解析】a0,1b0，abab，(1a)(1 b)1abab1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学从而1a11bab1，1a11b.【答案】1a11b三、解答题9若q0，且q1，m，nN，比较 1qmn与qmqn的大小【解】1qm nqmqnqm(qn1)(qn1)(qn1)(qm1)，当 0q1 时，qn1，qm1时，qn1，qm1.(qn1)(qm1)0，1qm nqmqn.10已知a，b均为正数，nN，求证：bn1anan1bn1a1b.【证明】设Pbn 1anan 1bn1a1bbn1an1anan1bn 1bn(a

13、n1bn1)1bn1anan1bn1anbnanbn.若ab0，则an1bn1，anbn，所以an1bn10，anbn0，且anbn0，因此P0；若ba0，则an1bn1，anbn，所以an1bn10，anbn0，故P0；若ab0，则P 0.综上所述，P0，故原式成立 能力提升 1已知函数f(x)12x，a，b是正数，Afab2，Bf()ab，Cf2abab，则A，B，C的大小关系为()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学AABCBACBCBCADCBA【解析】ab2ab2abab，又f(x)12x在 R上是减函数fab2f()abf2abab.【答案】A 2设alg e，

14、b(lg e)2，clge，则()AabcBacbCcabDcba【解析】2e10，0lg e0?ab，aclg e 12lg e 12lg e0?ac，bclg elg e 120?bcb.【答案】B 3一个个体户有一种商品，其成本低于350 元如果月初售出可获利100 元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120 元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应 _(填“月初”或“月末”)出售【解析】设这种商品的成本费为a元月初利润为L1100(a100)2.5%，月末售出的利润为L21202%a.则L1L21000.025a2.5 1200.02a 0.045a3 5009.a350，L1L20，L1L2，月末出售好【答案】月末4已知a2，求证：loga(a1)log(a1)a.【证明】a2，则a 11，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学loga(a1)0，log(a 1)a0，由于logaalogaaloga(a1)loga(a1)logaalogaa22logaa222.a2，0 loga(a21)logaa22，logaa222logaa222 1，因此logaalogaa1.log(a1)a0，loga(a1)log(a1)a.