高二数学上学期期中试题理4-(2).pdf

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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料江苏省启东中学2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（理科）（考试用时：120 分钟总分：160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题：2sin,xRx的否定是 _2.抛物线2axy的准线方程是2y，则a_.3.若直线1:byaxl与圆122yxC：有两个不同交点，则点baP,与圆C的位置关系是 _4.若双曲线)0,0(12222babyax的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 _5.已知以3,4C为圆心的圆与圆1:22yxO相内切，则圆C的方程是 _6

2、在平面直角坐标系xOy中，直线mymx21与直线82ymx互相垂直的充要条件是m_.7.已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程是xy3，它的一个焦点与抛物线xy162的焦点相同，则双曲线的方程为_8.若命题,Rx有 02mmxx是假命题，则实数m的取值范围是_9.已知21,FF为椭圆131222yx的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，且21tPFPF，则t的值为 _10.若 直 线01:byaxl始 终 平 分 圆0124:22yxyxM的 周 长，则2222ba的最小值为 _11.设21,FF分别是椭圆1162522yx的左、右焦点，P为椭圆上任一点，

3、点M的坐标为4,6，则1PFPM的最大值为 _12.点M是椭圆)0(12222babyax上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于QP,，若PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料_13.已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为21,FF，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得ePFPF21，则该离心率e的取值范围是_14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆1:22yxO，44:221yxO，动点P在直 线03byx上，过P点 分 别 作圆1,OO的 切 线，切 点分 别 为BA,，若 满 足PAPB2的点P有且只有两

4、个，则实数b的取值范围是_二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14 分）已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围16.（本题满分14 分）已知命题p：指数函数xaxf62)(在R上单调递减，命题q：关于x的方程012322aaxx的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料17.（本题满分15 分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2213，椭圆的长

5、半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值18.（本题满分15 分）已知圆M过两点)1,1(A，)1,1(B，且圆心M在直线02yx上.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线0843yx上的动点，PBPA,是圆M的两条切线，BA,为切点，求四边形PAMB面积的最小值推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料19.（本题满分16 分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点),2(tM,)0t（在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线0543yx截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F是椭圆

6、的右焦点，过点F作OM的垂线FH，且与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值20.（本题满分16 分）已知椭圆)1(1:2222babyaxC的离心率为22，其右焦点到直线022byax的距离为32.(1)求椭圆C的方程；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(2)过点)31,0(P的直线l交椭圆C于BA,两点求证：以AB为直径的圆过定点推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料江苏省启东中学2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（附加题）（考试用时：30 分钟总分：40 分）【必做题】每题10 分，共计40 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

7、说明、证明过程或演算步骤21.过顶点)4,2(A任作互相垂直的两条直线1l与2l，设1l与x轴交于点M，2l与y轴交于点N,求线段MN的中点P的轨迹方程.22.已知)0,5,1(),3,1,3(BA，求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到BA,两点距离相等的点),(zyxP的坐标zyx,满足的条件.23.如 图，在 四 棱 锥ABCDS中，底 面A BC D为 矩 形，SA 平 面ABC D，2,1ASADAB，P是棱SD上一点，且PDSP21.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角DPCA的余弦值24.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直CDAB

8、/，BCAB，BCCDAB22，EBEA.(1)求证：DEAB；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使/EC平面FBD?若存在，求出EAEF；若不存在，说明理由推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料江苏省启东中学2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（理科）（考试用时：120 分钟总分：160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题：2sin,xRx的否定是 _解析全称命题的否定是存在性命题答案?xR，sin x2 2.抛物线2axy

9、的准线方程是2y，则a_.解析抛物线的标准方程为x21ay，由条件得214a，a18.答案183.若直线1:byaxl与圆122yxC：有两个不同交点，则点baP,与圆C的位置关系是 _解析由题意得圆心(0,0)到直线axby1 的距离小于1，即d1a2b21，所以有a2b21，点P在圆外答案在圆外4.若双曲线)0,0(12222babyax的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 _解析焦点(c,0)到渐近线ybax的距离为bca2b2b，则由题意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率eca5.答案5 5.已知以3,4C为圆心的圆与圆1:22yxO相内切，则圆C的方程是

10、_解析若圆C与圆O内切，因为点C在圆O外，所以rC15，所以rC6.答案(x4)2(y3)236 6在平面直角坐标系xOy中，直线mymx21与直线82ymx互相垂直的充要条件是m_.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料解析x(m1)y2m与mx2y 8 垂直?1m(m1)20?m23.答案237.已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程是xy3，它的一个焦点与抛物线xy162的焦点相同，则双曲线的方程为_解析由已知得ba3，a2b216，解之得a24，b212，双曲线方程为x24y2121.答案x24y2121 8.若命题,Rx有 02mmxx是假命题，则实数m的取值范

11、围是_解析“?xR，有x2mxm0”是假命题，则“?xR有x2mxm0”是真命题 即m24m0，4m0.答案4m 0 9.已知21,FF为椭圆131222yx的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，且21tPFPF，则t的值为 _解析设N为PF1的中点，则NOPF2，故PF2x轴，故PF2b2a32，而PF1PF22a43，PF1732，t7.答案 7 10.若 直 线01:byaxl始 终 平 分 圆0124:22yxyxM的 周 长，则2222ba的最小值为 _解析由题意，圆(x2)2(y1)24 的圆心(2，1)在直线axby1 0 上，所以 2ab 10，即2ab1 0

12、.因为(a2)2(b2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以(a2)2(b2)2的最小值为|4 21|415，即(a2)2(b2)2的最小值为5.答案5 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料11.设21,FF分别是椭圆1162522yx的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为4,6，则1PFPM的最大值为 _解析PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值为10MF210(6 3)24215.答案 15 12.点M是椭圆)0(12222babyax上的点，以M为圆心

13、的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于QP,，若PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_解析由条件MFx轴，其半径大小为椭圆通径的一半，Rb2a，圆心到y轴距离为c，若PMQ为钝角，则其一半应超过4，从而cb2a22，则 2ac2b2，即 2ac2(a2c2)，两边同时除以a2，则2e22e20，又 0e1，0e622.答案0，62213.已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为21,FF，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得ePFPF21，则该离心率e的取值范围是_解析因为PF1ePF2，PF1PF2 2a，所以PF12ae1e，PF22a1e，因为e(0,1)，所

14、以PF1PF2.由椭圆性质知acPF1ac，所以ac2ae1eac，即ac2acacac，即a2c22ac(ac)2，即e22e10.又 0e1，所以21e1.答案21,1)14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆1:22yxO，44:221yxO，动点P在直 线03byx上，过P点 分 别 作圆1,OO的 切 线，切 点分 别 为BA,，若 满 足PAPB2的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是_推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案：(203，4)解析：设点P坐标为(x，y)，因为 PB 2PA，所以 PB24PA2，即 PO2144PO24，即(x4)2 y244(x2y21)，整

15、理得 3x23y2 8x160.(解法 1)该方程表示一个圆，圆心(43，0)，r 83.因为点 P 有且只有两个，所以直线和圆相交，故43b20，整理得 3b28b800，解得 b(203，4)二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解由题意p：2x32，1x5.p：x5.q：m1xm1，q：xm 1.又p是q的充分而不必要条件，m11，m15.2m4.16.已知命题p：指数函数xaxf62)(在R上单调递减，命题q：关于

16、x的方程012322aaxx的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解：若 p 真，则 f(x)(2a 6)x在 R上单调递减，0 2a61，3 a72.若q 真，令f(x)x2 3ax 2a2 1，则应满足（3a）24（2a2 1）0，3a23，f（3）99a 2a210推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料a2或a 2，a2，a52，a52.又由已知“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，则应有p 真 q 假，或者p假 q 真 若 p 真 q假，则3a52，520)，根据题意得：(1 a)2(1b)2r2(1a)2(1 b)2r2，ab20解得ab1，r 2，故所

17、求圆M的方程为(x1)2(y 1)24.(2)由题意知，四边形PAMB的面积为SS PAMSPBM12AMPA12BMPB.又AMBM2，PAPB，所以S2PA，而PAPM2AM2PM24，即S2PM24.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直线3x4y 80 上找一点P，使得PM的值最小，所以PMmin|3 14 18|3242 3，所以四边形PAMB面积的最小值为Smin2(PM)min24232425.19.已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点),2(tM,)0t（在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线0543yx截得的弦长为2的圆的方程

18、；(3)设点F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线FH，且与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值解(1)由 2b2，得b1.又由点M在准线上，得a2c2.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料故1c2c2.所以c1.从而a2.所以椭圆的方程为x22y21.(2)以OM为直径的圆的方程为x(x 2)y(yt)0，即(x1)2yt22t241.其圆心为1，t2，半径rt241.因为以OM为直径的圆被直线3x4y50 截得的弦长为2，所以圆心到直线3x4y50 的距离dr21t2.所以|3 2t5|5t2，解得t4.故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(3)法一由平

19、面几何知ON2OHOM.直线OM：yt2x，直线FN：y2t(x1)由yt2x，y2t(x1)，得xH4t24.所以ON21t24|xH|1t24|xM|1t244t2422.所以线段ON的长为定值2.法二设N(x0，y0)，则FN(x01，y0)，OM(2，t)，MN(x02，y0t)，ON(x0，y0)因为FNOM，所以 2(x01)ty00.所以 2x0ty02.又MNON，所以x0(x02)y0(y0t)0.所以x20y202x0ty02.所以|ON|x20y202为定值.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料20.已 知 椭 圆)1(1:2222babyaxC的 离 心 率 为22

20、，其 右 焦 点 到 直 线022byax的距离为32.(1)求椭圆C的方程；(2)过点)31,0(P的直线l交椭圆C于BA,两点求证：以AB为直径的圆过定点(1)解：由题意，eca22，e2a2b2a212，所以 a2b，cb.又|2ac 2|4a2b223，ab1，所以 b1，a22，故椭圆 C的方程为x22y21.(2)证明：当AB x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2y21.当 AB y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2(y 13)2169.由x2y21，x2（y13）2169，可得x0，y1.由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)下证 Q(0，1)符合题意设直

21、线 l 的斜率存在，且不为0，则方程为ykx13，代入x22 y21 并整理得(1 2k2)x243kx 1690，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k3（12k2），x1x2169（12k2），所以 QA QB(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(kx143)(kx243)(1 k2)x1x243k(x1 x2)169推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1 k2)169（12k2）43k4k3（12k2）16916 16k216k216（12k2）9（12k2）0，故QAQB，即 Q(0，1)在以 AB为直径的圆上综上，以AB为直径的

22、圆恒过定点(0，1)江苏省启东中学2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（附加题）（考试用时：30 分钟总分：40 分）【必做题】每题10 分，共计40 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.过顶点)4,2(A任作互相垂直的两条直线1l与2l，设1l与x轴交于点M，2l与y轴交于点N,求线段MN的中点P的轨迹方程.解：设 P(x,y),则 M(2x,0),N(0,2y),由 2PA=MN,得：x+2y-5=0 22.已知)0,5,1(),3,1,3(BA，求：（3）线段AB的中点坐标和长度；（4）到BA,两点距离相等的点),(zyxP的坐标zyx

23、,满足的条件.解：(1)AB 中点坐标（2,3，23）.)3,4,2(AB,29|AB.(2)由 PA=PB得：4x-8y+6z+7=0 23.如 图，在 四 棱 锥ABCDS中，底 面ABC D为 矩 形，SA 平 面A BC D，2,1ASADAB，P是棱SD上一点，且PDSP21.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角DPCA的余弦值解：(1)如图，分别以AB，AD，AS为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)设 P(x0，y0，z0)，由 SP

24、13SD，得(x0，y0，z02)13(0，2，2)，x00，y023，z043，点 P坐标为0，23，43.CP 1，43，43，AB(1，0，0)设直线 AB与 CP所成的角为，则 cos 114304301 432432134141.(2)设平面 APC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则mACx12y10，mAP23y143z10.令 y1 2，则 x14，z11，m(4，2，1)设平面 SCD的一个法向量为n(x2，y2，z2)，因为 DC(1，0，0)，DS(0，2，2)，所以nDCx20，nDS 2y22z20.令 y21，则 z21，n(0，1，1)设二面角APCD 的大小

25、为 ，由于 cosm，n041（2）112214242，所以由向量m，n的方向，得cos cosm，n4242.24.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直CDAB/，BCAB，BCCDAB22，EBEA.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(1)求证：DEAB；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使/EC平面FBD?若存在，求出EAEF；若不存在，说明理由(1)证明：取AB中点 O，连结 EO，DO.因为 EB EA，所以 EO AB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB 2CD 2BC，AB BC，所以四边形OBCD 为正方形

26、，所以AB OD.所以 AB 平面 EOD.所以 AB ED.(2)因为平面ABE 平面ABCD，且 EO AB，所以 EO 平面 ABCD，所以 EO OD.由 OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA OB OD OE，设 OB 1，所以 O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)所以 EC(1，1，1)，平面 ABE的一个法向量为OD(0，1，0)设直线EC与平面 ABE所成的角为，所以 sin|cos EC，OD|ECOD|EC|OD|33，即直线EC与平面 ABE所成角的正弦值为33.(3)存在点 F，且EFEA13时，有 EC 平面 FBD.证明如下：由EF13EA 13，0，13，F 13，0，23，所以 FB43，0，23.设平面 FBD的法向量为v(a，b，c)，则有v BD0，vFD0.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以ab 0，43a23c 0.取 a1，得v(1，1，2)因为 ECv(1，1，1)(1，1，2)0，且 EC平面 FBD，所以 EC 平面FBD.即点 F满足EFEA13时，有 EC 平面 FBD.