2013届高考数学总复习课件-立体几何.ppt
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1、数学直通车数学直通车-立体立体几何几何知识体系知识体系第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图基础梳理基础梳理1.多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.2.旋转体(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋
2、转形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥.(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方.(3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法:在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定的平面表示水平
3、面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.典例分析典例分析题型一题型一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征
4、入手,以柱、锥、台的定义为依据,把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3学后反思学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、
5、圆锥、圆台的结构特征进行判断.举一反三举一反三1.如图所示,直角梯形ABCD中,ABBC,绕着CD所在直线l旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征.解析:解析:如图所示,过A、B分别作 CD,CD,垂足分别为 、,则Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥,直角梯形 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆台,Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥.综上可知,旋转所得的几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥.【例【例2】下列三个命题,其中正确的有()用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱
6、台;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个题型二题型二 基本概念与性质基本概念与性质分析分析 利用棱台的定义和特殊几何体加以说明.解解 中的平面不一定平行于底面,故错;如图,四条侧棱不一定交于一点,故错,答案选A.学后反思学后反思 在开始学习立体几何时,要学会观察、分析并记住一些特殊的物体或图形,以便于我们做题.反例推证是一种重要的数学方法,望大家熟练掌握.举一反三举一反三2.下面是关于四棱柱的四个命题:若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若四个侧面两两全等,则该四棱柱为
7、直四棱柱;若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是 .解析解析:对于,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故假;对于,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故真;对于,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱,如图1,故假;对于,四棱柱一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底面,故真,如图2.答案答案:题型三题型三 柱、锥、台中的计算问题柱、锥、台中的计算问题【例【例3 3】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求
8、棱台的侧棱长和斜高.分析分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.解解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O,和BC的中点分别是 和E,连接 、OB、OE,则四边形 和 都是直角梯形.=4 cm,AB=16 cm,=2 cm,OE=8 cm,=2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.学后反思学后反思 (1)把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法.(2)找出相关的直角梯形,构造直角三角形是解题的关键,正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.举一反三举一反三3.一个底面半径和高都是R的圆柱中,
9、挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.解析解析:轴截面如图所示:被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径 ,设圆锥的截面圆的半径 为x.OA=AB=R,OAB是等腰直角三角形.又CDOA,则CD=BC,=AC,即x=l.截面面积题型四题型四 三视图与直观图三视图与直观图【例【例4 4】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.分析分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的,按照画三视图的三大原则“长对正,高平齐,宽相等”画出.解解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的
10、,正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的三视图如下图:学后反思学后反思(1)在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.(2)有些几何体的正视图和侧视图会因观察角度的不同而不同,因此,要注意几何体中所给出的观察角度.举一反三举一反三4.(2008广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体
11、如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为()解析解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案答案 A【例【例5 5】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则:(1)坐标系中xOy=45;(2)横线相等,即AB=AB,CD=CD;(3)竖线是原来的 ,即OE=OE.画法画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,.3画对应的坐标系xOy,使xOy=45.5(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD10(3
12、)连接BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图2.12 图1 图2 学后反思学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系,一般取图形中的某一横线为x轴,对称轴为y轴,或取两垂直的直线为坐标轴,原点可建在图形的某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不同,但画法规则不变,关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三举一反三5.如图建立坐标系,得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析解析:按照斜二测画法的作图规则,对四个选项逐一验证,可知只有选项C符合题意.答案答案:C易错警示易错警示【例】画出如图1所示零件的三视图.错解错解 图1的零件可看做是一个
13、半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2.图1 图2错解分析错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线,画图时应画出其交线.正解正解考点演练考点演练10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图所示,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:3;4;5;6;7.以上结论正确的为.(写出所有正确结论的编号)解析解析:设底面四点分别为A、B、C、D,连接AC、BD,且ACBD=O,B、C、D、O在平面上的射影分别为B、C、D、K,则当点P在点C的
14、位置时,有CC=2OK=3,所以正确.同理可得、也是正确的.答案答案:11.圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,,EF,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,在直角梯形 中,(cm),在Rt 中,(cm),同理,(cm),12.有一块扇形铁皮OAB,AOB=60,OA=72 cm,要剪下来一个扇环形ABCD作圆台形容器的侧面,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形,使它
15、恰好作圆台形容器的下底面(大底面,如图),试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积.解析:解析:(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r、R,AD=x,则OD=72-x.由题意得R=12,r=6,x=36,AD=36 cm.(2)圆台的高第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积基础梳理基础梳理1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和;表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积4.柱、锥、台体的体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特
16、别地,圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成:5.球的体积及球的表面积设球的半径为R,典例分析典例分析题型一题型一 几何体的表面积问题几何体的表面积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析分析 要求正棱台的高,首先要画出正棱台的高,使其包含在某一个特征直角梯形中,转化为平面问题,由已知条件列出方程,求解所需的几何元素.解解 如图所示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高.设 =20,AB=30,则OD=5 ,=,由 ,得在直角梯形 中,棱台的高为4 cm.学后反思学后反思 (1)求
17、解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.(2)借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三举一反三1.一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为 和 ,试求球的表面积.解析解析:(1)当球心在两个截面同侧时,如图1所示.设OD=x,由题意知同理可得BD=20 cm.设球半径为R,则依题意得:即 解得x=15 cm,R=25 cm.故(2)当球心在两个截面之间时,如图2所示,设OD=x cm,则OC=(9-x)cm.由题意得 CA=7 cm,同理可得BD=20 cm.设球半径为R,则依题意知即 此方程无正
18、数解.故此种情况不可能.综上可知,球的表面积为【例【例2】直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积分别为 ,求它的侧面积.分析分析 要求此棱柱的侧面积,只要求它的底面边长与高即可.解解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则 ,因过 的截面都为矩形,从而 则又ACBD,即所以学后反思学后反思 (1)在多面体或旋转体中,要正确识别和判断某截面图形的形状和特征.(2)用已知量来表示侧面面积公式中的未知量,利用平面几何知识(菱形的对角线互相垂直平分),采用整体代入,设而不求,减少了运算量,简化了运算过程.2.正方体的表面积为a2,它的顶点均在一个球面上,求这个球的表面积.举一反
19、三举一反三解析:设正方体的棱长为m,球的半径为R,则6m2=a2,得m=a.又正方体的体对角线长为 a=a,从而2R=a,得R=a.故球的表面积为4(a)2=a2.题型二题型二 几何体的体积问题几何体的体积问题【例3】已知四棱台两底面均为正方形,边长分别为4 cm,8 cm,侧棱长为8 cm,求它的侧面积和体积.分析分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PEBC,E为侧面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE.在P
20、 和PBC中,为PB的中点,为PE的中点.在RtPEB中,在RtPOE中,学后反思学后反思 (1)求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”,它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.(2)平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题,通常是“还台为锥”,而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面,将空间问题转化为平面问题,求出相关数据,进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三举一反三3.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BC
21、F均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为 .解析解析 如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案答案 题型三题型三 组合体的体积和表面积问题组合体的体积和表面积问题【例【例4 4】(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.分析分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积,求其外接球半径即可.解解 由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC
22、=1.1所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图,作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心3取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC的中心.5外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=,AH=AG=,AF=,7在AFG和AHO中,根据三角形相似可知,.10外接球体积为 .12方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.4正四面体棱长为1,正方体棱长为 ,.6外接球直径2R=,10R=,体积为 12学后反思学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系,所成角及距离加以比
23、较.一般来说,位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化,分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证,变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素,可结合原图形去分析、计算,即将空间问题转化为平面问题.(2)由方法二可知,有关柱、锥、台、球的组合体,经常是把正方体、长方体、球作为载体,去求某些量.解决这类问题,首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练,把问题进行转化,使运算和推理变得更简单,体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.举一反三举一反三4.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角
24、形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解析解析:如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为 ,则容器内水的体积为将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为 ,从而容器内水的体积是 由V=V得易错警示易错警示【例】【例】在半径为15的球内有一个底面边长为 的内接正三棱锥,求此正三棱锥的体积.错解错解如图,显然OV=OA=OB=OC=15,ABC是边长为 的正三角形,它的中心为H,H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,可以解得OH=9,三棱锥的高VH=
25、9+15=24,即此正三棱锥的体积为 .错解分析错解分析 漏掉了正三棱锥的顶点和球心在正三棱锥的底面的异侧情形.正解正解 设此正三棱锥为V-ABC,球心为O,则OV=OA=OB=OC=15.设ABC的中心为H,则H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,OH=9.(1)如图1,当顶点V和球心O位于平面ABC的同侧时,高VH=9+15=24,(2)如图2,当顶点V和球心O位于平面ABC的异侧时,高VH=15-9=6,综上,此三棱锥的体积为 .考点演练考点演练10.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的表面积为.解析解析:侧视图中矩形的长为原正三棱柱底面正三角形的
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- 2013 高考 数学 复习 课件 立体几何
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