线性控制系统的能控性和能观测性ppt课件.ppt

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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.线性连续定常系统的能控性2.线性连续定常系统的能观测性3.对偶原理4.能控和能观测标准型5.线性系统的结构分解6.传递函数的最小实现7.传递函数（SISO）和能控（观测）性的关系第三章第三章 线性控制系统的能控性与能观测性线性控制系统的能控性与能观测性2023/1/212023/1/211 1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程能控性和能观测性基本概念：能控性和能观测性基本概念：状态空间描述的两段性：20世纪

2、60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。状态方程：描述了输入引起的状态变化 输入能够控制状态（控制问题）输出方程：描述了状态变化引起的输出改变 状态能否由输出反映（估计问题）背景背景：2023/1/212023/1/212 2病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程直观概念直观概念:系统的结构图如下显然，只能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。能控性能控性能控性能控性：指外输入u(t)对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能

3、力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能不受u(t)的控制。受u(t)控制的状态为能控状态，不受u(t)控制的状态为不能控状态2023/1/212023/1/213 3病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。能观测性：能观测性：能观测性：能观测性：有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t)反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态直观

4、概念直观概念:系统结构图如下显然输出 中只有 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的，是不可观测的。2023/1/212023/1/214 4病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一节第一节 线性连续定常系统的线性连续定常系统的能控性能控性1.状态能控性严格定义2.状态能控性判别准则（3种）2023/1/212023/1/215 5病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、状态能控性定义一、状态能控性定义一、状态能控性定义一、

5、状态能控性定义如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到任一终端状态 ，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能控的。不失一般性，常选择终止状态为状态空间原点。即：2023/1/212023/1/216 6病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、状态能控性判别准则二、状态能控性判别准则二、状态能控性判别准则二、状态能控性判别准则1 1、判据一（能控性判别矩阵）、判据一（能控性判别矩阵）定理定理1 1：对于线性连续定常系统：

6、状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：满秩即：证明证明：证明目标：对系统的任意的初始状态 ，能否找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零 。则系统状态能控。2023/1/212023/1/217 7病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程已知：线性定常非齐次状态方程的解为：（2）整理（1）式有：将 代入上式：（1）由凯莱哈密顿定理 有：（3）2023/1/212023/1/218 8病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（4）将（3）式代入

7、（2）式得：（5）令：（6）将（5）式代入（4）式得：2023/1/212023/1/219 9病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由以上可以看出式(6)中各参数维数如下：说明说明：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质式(6)是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：由于x(t0)任意，所以，必须有：证毕证毕 2023/1/212023/1/211010病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例 判别

8、如下系统的能控性 解解：1）构造能控性判别矩阵：故系统状态完全可控2）求能控性判别矩阵的秩2023/1/212023/1/211111病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例 判别如下线性连续定常系统的能控性 解解：故系统状态不完全能控。2023/1/212023/1/211212病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 2、判据二（标准型法）、判据二（标准型法）前提条件前提条件：线性变换不改变系统的能控性。则有则有：其中：证明证明：对于变换后的方

9、程 ，其能控性判别阵为：2023/1/212023/1/211313病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由于P为非奇异满秩阵，则 也为满秩阵。根据矩阵和一个满秩的乘积其秩不变的性质有：证毕证毕 定理定理2 2：设线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能控的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：中，不包含元素全为0的行。2023/1/212023/1/211414病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程说明说明：定理2说明设2阶系统

10、的对角线标准型为：则根据定理1有：要使系统能控，则必有：由于 互异，故：说明：对角线标准型形式下，各变量间没有耦合关系，从说明：对角线标准型形式下，各变量间没有耦合关系，从而影响每一个状态的唯一途径是通过输入。而影响每一个状态的唯一途径是通过输入。B B中的某一行元中的某一行元素全为素全为0 0，就意味着此输入对状态没有影响。，就意味着此输入对状态没有影响。推广到n阶系统就有定理2（注：系统有重根，但仍能变成对角线标准型，则定理2不成立。例如，当上面说明中 时，此时Qc的行列式为0，Qc为奇异阵。）2023/1/212023/1/211515病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相

11、对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1）例例：考察如下系统的能控性：状态完全能控3）状态完全能控状态不完全能控X2 状态不能控2）2023/1/212023/1/211616病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程中，阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零。定理定理3 3：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：2023/1/212023/1/211717病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环

12、境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程说明说明：定理3说明设2阶系统的约当标准型为：根据定理1：要使系统能控，则必有：即：推广到n阶系统就有定理3。2023/1/212023/1/211818病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推论推论1 1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。如果 行线性无关，则状态能控含义：含义：对于：2023/1/212023/1/211919

13、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程状态完全能控状态完全能控 例例：考察如下系统的状态能控性：推论推论2 2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系统状态必不能控。此时，如果某个特征值对应的约当块最后一行所对应的B中的行，有一行为0，则此行对应状态必不能控，如果这些行都不为0，则此时这些行必线性相关，所以状态不能控。2023/1/212023/1/212020病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程状态完全能控B中2、4行线性无关状态不完全能

14、控X2 状态不能控状态不完全能控B中2、4行线性相关2023/1/212023/1/212121病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对于单输入系统，此时A不变，B变成如下：此时系统的能控性判别阵为：此时，Qc的1、3行线性相关，故状态不完全能控2023/1/212023/1/212222病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理4 4：SISO线性系统 ，则其状态完全能控且能观测的充分必要条件是：传递函数 的分子分母间没有零、极点对消。3 3、判

15、据三、判据三（S S平面分析法）平面分析法）说明说明：关于SISO情形，在传递函数和能控能观测性关系中讲。对于MIMO系统，以上定理不再成立。对于MIMO系统，即使有零极点对消，系统仍有可能能控且能观测。定理定理5 5：SI线性系统 ，则其状态完全能控的充分必要条件是：函数 的分子分母间没有零、极点对消。2023/1/212023/1/212323病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程状态完全能控 例例：考察如下的MIMO系统的能控性：有零极点相约 解解：2023/1/212023/1/212424病原体侵入机体，消弱机体

16、防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 本节小结本节小结：1、线性定常系统状态能控性的概念2、线性定常系统的状态能控性判据 判据1：能控性判别矩阵法，能控性判别阵满秩 判据2：标准型法（对角线标准型、约当标准型）判据3：S平面分析法，传递函数无零极点相约2023/1/212023/1/212525病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二节第二节 线性连续定常系统的线性连续定常系统的状态能观测性状态能观测性1.状态能观测性定义(估计问题)2.状态能观测性判别准则（3种）202

17、3/1/212023/1/212626病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、能观测性定义一、能观测性定义一、能观测性定义一、能观测性定义如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，即能观测状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能观测的。1、能观测性是研究输出反映状态向量的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0说明说明：

18、2023/1/212023/1/212727病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3、能观测性规定为初始状态的确定。任意状态可在输入作用下由状态转移矩阵得到。2、需要定义观测时间。目的是为了唯一地求出n个状态变量，多量出几组输出。2023/1/212023/1/212828病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、能观测性判别准则二、能观测性判别准则二、能观测性判别准则二、能观测性判别准则1 1、判据一（能观测性判别矩阵）、判据一（能观测性判别矩阵）证

19、明证明：略（证明思路同能控性，用CH定理）定理定理1 1：对于线性连续定常系统：状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：满秩即：2023/1/212023/1/212929病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例 判别如下系统的能观测性 解解：1）构造能观测性判别矩阵：2023/1/212023/1/213030病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 故系统不是状态完全能观测的 例例 判别如下系统的能观测性：故此系统是状态完全能观测的 解

20、解：构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：2023/1/212023/1/213131病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 2、判据二（标准型法）、判据二（标准型法）前提条件前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性则有则有：其中：证明证明：对于变换后的方程 ，其能观测性判别阵为：2023/1/212023/1/213232病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由于P为非奇异满秩阵，根据矩阵和一个满秩的乘积其秩不变的性质有：证毕证毕 2023/1/2

21、12023/1/213333病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理2 2：设线性系统 具有两两相异的特征值 则其状态完全能观测的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角线标准型 中，不包含元素全为0的列。2023/1/212023/1/213434病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程说明说明：定理2说明设2阶系统的对角线标准型为：则根据定理1有：要使系统能观测，则必有：说明：对角线标准型形式下，各变量间没有耦合关系，从说明：对角线标准型形

22、式下，各变量间没有耦合关系，从而反映每一个状态的唯一途径是通过输出。而反映每一个状态的唯一途径是通过输出。C C中包含全为中包含全为0 0的列，就意味着此输出不能反映状态。的列，就意味着此输出不能反映状态。由于 互异，故：推广到n阶系统就有定理2（注：系统有重根，但仍能变成对角线标准型，则定理2不成立。例如，当上面说明中 时，此时Qo的行列式为0，Qo为奇异阵。）2023/1/212023/1/213535病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例：考察如下系统的能观测性：2023/1/212023/1/213636病原

23、体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程中，阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。定理定理3 3：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的约当标准型2023/1/212023/1/213737病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程说明说明：定理3说明设2阶系统的约当标准型为：则根据定理1有：要使系统能观测，则必有：即：推广到n阶系统就有定理3：2023/1/2

24、12023/1/213838病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推论推论1 1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。例如：例如：如果 列线性无关，则系统状态完全能观测。2023/1/212023/1/213939病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推论推论2 2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统，系统状态必不能观测。此时

25、，如果某个特征值对应的约当块首列对应的C中的列，有一列为0，则此列对应状态必不能观；如果这些列都不为0，则此时这些列必列线性相关，所以状态不能观。例例：考察如下系统的能观测性：状态能观测2023/1/212023/1/214040病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程状态不完全能观测第一个约当块首列对应的C中列为0状态不完全能观测（MO系统）2个约当块首列对应的C中列为列线性相关看同一个特征值对应2个以上的约当块的情况：2023/1/212023/1/214141病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性

26、，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程状态不完全能观测（SO系统）验证：此时能观测性判别阵Qo为1、3列列线性相关，故Qo为降秩阵，其秩必小于4，故状态不完全能观测2023/1/212023/1/214242病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理5 5：SO线性系统 ，。则其状态完全能观测的充分必要条件是：函数 的分子分母间没有零、极点对消。定理定理4 4：SISO线性系统 ，。则其状态完全能控和能观测的充分必要条件是：传递函数 分子分母间没有零极点对消。3 3、判据三、判据三（S S平面分析法）平面分

27、析法）说明说明：关于SISO情形，在传递函数和能控能观测性关系中讲。对于MIMO系统，以上定理不再成立。对于MIMO系统，即使有零极点对消，系统仍有可能能控且能观测。2023/1/212023/1/214343病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例：已知系统状态空间描述如下，试判断其能控性与能观测性 解解：系统状态空间描述的矩阵形式为：2023/1/212023/1/214444病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故系统为状态完全能观测 故系统

28、不是状态完全能控2023/1/212023/1/214545病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 本节小结本节小结：1、线性定常系统状态能观测性的概念2、线性定常系统的状态能观测性判据 判据1：能观测性判别矩阵法，能观测性判别阵满秩 判据2：标准型法（对角线标准型、约当标准型）判据3：S平面分析法，传递函数(SISO)无零极点相约2023/1/212023/1/214646病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第三节第三节 对偶原理对偶原理1.线性定

29、常系统的对偶关系2.对偶原理2023/1/212023/1/214747病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、线性定常系统的对偶关系一、线性定常系统的对偶关系一、线性定常系统的对偶关系一、线性定常系统的对偶关系线性定常系统1、2如下：如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的：有的教材定义成这种形式：2023/1/212023/1/214848病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1 1、线性定常系统对偶关系示意图、线性定常系统对偶关系示意图：输入r

30、维，输出m维输入m维，输出r维2023/1/212023/1/214949病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 2、互为对偶关系的系统之间的性质：、互为对偶关系的系统之间的性质：1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。2023/1/212023/1/215050病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性；的能观测性等价于 的能控性。二、线性定常系统

31、的对偶原理二、线性定常系统的对偶原理二、线性定常系统的对偶原理二、线性定常系统的对偶原理若 能控，则能控性矩阵 满秩。即 证明证明：的能观测性矩阵为：2023/1/212023/1/215151病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程所以 能观测。说明说明：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。反之亦然。证毕证毕 2023/1/212023/1/215252病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的

32、病理生理过程 本节小结本节小结：1、线性定常系统的对偶关系线性定常系统的对偶关系1）传递函数阵互为转置2）特征方程相同 2、对偶原理对偶原理沟通了能控性（控制问题）和能观测性（估计问题）2023/1/212023/1/215353病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第四节第四节 SISOSISO系统状态空间表系统状态空间表达式的能控和能观标准型达式的能控和能观标准型1.能控标准型（第一、第二能控标准型）2.能观标准型（第一、第二能观标准型）2023/1/212023/1/215454病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏

33、机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程标准型：标准型：标准型：标准型：在一组特定的基底下，状态空间表达式所具有的某种特定形式。能控标准型：状态反馈系统设计能观测标准型：状态观测器的设计前提：线性非奇异变换，不改变系统能控性和能观测性 n维线性定常系统 如果状态完全能控，必有：一、能控标准型一、能控标准型一、能控标准型一、能控标准型上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所谓能控标准型，就是指系统在上述基底下所具有的标准形式。要使列向量取法唯一，则r=1。故能控标准型仅讨论SI系统。对于MI

34、系统，由于线性无关的列向量取法不唯一，导致其能控标准型不是唯一的。2023/1/212023/1/215555病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1 1、第一能控标准型、第一能控标准型选取原则选取原则：直接以能控判别矩阵的列向量为基底。其中：定理定理1 1：如果单输入线性定常系统：状态能控，将状态方程化为第一能控标准型：则存在线性非奇异变换：2023/1/212023/1/215656病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推导过程推导过程：由凯莱哈密

35、顿定理有：代入有：写成矩阵形式：2023/1/212023/1/215757病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程所以：由于：所以：欲使上式成立，必须有：而：2023/1/212023/1/215858病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理1 1说明说明：2）只有状态完全能控时，才能写成能控标准型。所以，在求系统的能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。3）将系统化为能控标准型的非奇异变换矩阵，就是能控性判别矩阵Qcb

36、,Ab,A2b,An-1b1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数 例例 试将下列状态空间表达式变换为第一能控标准形。2023/1/212023/1/215959病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 解解：1）判断系统能控性2）计算特征多项式3）化为第一能控标准型2023/1/212023/1/216060病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 2、第二能控标准型（常用能控标准型式）、第二能控标准型（常用能控标准型式）其中：定理定理2 2：如果

37、单输入线性定常系统：状态完全能控，将状态方程化为第二能控标准型：则存在线性非奇异变换：选取原则选取原则：以能控判别阵列向量的组合为基底，化A为友矩阵2023/1/212023/1/216161病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程非奇异变换阵为：是 相乘的结果2023/1/212023/1/216262病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推导目的：要得出如果令：目标：则要推导出：2023/1/212023/1/216363病原体侵入机体，消弱机体防御

38、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推导过程：由 列向量的线性组合组成，此时这些向量仍然是列线性无关的。将以上矩阵展开如下：其中：（1）2023/1/212023/1/216464病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据式（1）有：所以，写成矩阵形式，就是我们在推导目标中所说的：2023/1/212023/1/216565病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2023/1/212023/1/216666病

39、原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程所以故由 ，可得 欲使上式成立，必须有：由推导过程的（1）式知道：而：2023/1/212023/1/216767病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理2 2说明说明：2）只有系统是状态完全能控时，才能写成第二能控标准型。在求系统的第二能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。3）当传递函数阵没有零极点相约时，和 是系统传递函数分母和分子多项式系数。直接得到第二能控标准型。1）其中 是

40、系统的不变量，即特征多项式的系数2023/1/212023/1/216868病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例：设线性定常系统用下式描述 式中：试将状态方程化为第二能控标准型。注意：非特别标明，能控标准型指的是第二能控标准型。解解：1）判断系统能控性2023/1/212023/1/216969病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2）计算特征多项式3）计算变换阵，并化为第二能控标准型2023/1/212023/1/217070病原体侵入机体，

41、消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例：写出以下传递函数的第二能控标准型。解解：无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。所以：第二能控标准型为：2023/1/212023/1/217171病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、能观测标准型二、能观测标准型二、能观测标准型二、能观测标准型 n维线性定常系统 如果状态完全能观测，必有：上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可取n个线性无关的行向量行向量或其某种组合某种组合构成状态空间的一

42、组基底。所谓能观测标准型，就是系统在上述基底下所具有的标准形式。要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。对于MO系统，由于线性无关的行向量取法不唯一，导致其能观测标准型不是唯一的。2023/1/212023/1/217272病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1 1、第一能观测标准型、第一能观测标准型（对偶于第一能控标准型）选取原则选取原则：直接以能观测判别阵的逆为基底定理定理3 3：如果单输出线性定常系统：状态完全能观，则存在线性非奇异变换：将状态方程化为第一能观测标准型：其中：2023/1/212

43、023/1/217373病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程结论：变换阵和对偶系统化为第一能控标准型 的变换阵互为转置逆非奇异变换阵为：2023/1/212023/1/217474病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理定理3 3说明说明：2）只有系统是状态完全能观测时，才能写成能观测标准型。所以，在求系统的能观测标准型时，首先要判断系统的能观测性，不能观测则不能写成能观测标准型。3）将系统化为第一能观测标准型的非奇异变换矩阵，就是能观测性判别矩阵

44、Qo的逆。1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数 4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异矩阵互为转置逆。2023/1/212023/1/217575病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 2、第二能观测标准型（常用能观测标准型）、第二能观测标准型（常用能观测标准型）定理4：如果单输出线性定常系统：状态能观测,将状态方程化为第二能观测标准型：则存在线性非奇异变换：以能观测判别矩阵行向量的组合为基底，对偶于第二能控标准型其中：2023/1/212023/1/217676病原体侵入机体，消弱机体防御机能

45、，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程非奇异变换阵为：将 代入上式，即可得到 。结论：变换阵和对偶系统化为第二能控标准型 的变换阵互为转置逆。2023/1/212023/1/217777病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理4说明：2）只有系统状态完全能观时，才能写成能观测标准型3）当传递函数阵没有零极点相约时，和 分别是系统传递函数阵分母和分子多项式的系数。1）其中 是系统的不变量，即特征多项式的系数 4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异变换阵互为转置逆。2

46、023/1/212023/1/217878病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例：设线性定常系统用下式描述 式中：试将状态方程化为第二能观测标准型。注意：非特别标明，能观测标准型指第二能观测标准型 解解：1）判断系统能观测性2023/1/212023/1/217979病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3）计算变换阵，并化为第二能观测标准型2）计算特征多项式2023/1/212023/1/218080病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内

47、环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 例例：写出以下传递函数的第二能观测标准型。解解：无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。所以：第二能观测标准型为：2023/1/212023/1/218181病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 本节小结本节小结：1、SI系统的能控标准型1）化标准型的条件：状态完全能控2）标准型的形式：第一、第二能控标准型2、SO系统的能观测标准型注意：1）传递函数没有零极点对消，直接写出第二能控（观）标准型2）非特殊指定，标准型指的是第二能控（观）标准型3

48、）化标准型的变换阵1）化标准型的条件：状态完全能观测2）标准型的形式：第一、第二能观测标准型3）化标准型的变换阵2023/1/212023/1/218282病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第五节第五节 线性系统的结构分解线性系统的结构分解1.能控性分解2.能观测性分解3.能控能观测性分解2023/1/212023/1/218383病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程分解目的：分解目的：分解目的：分解目的：除了对角线和约当标准型可能明显识别外，其

49、它能控、能观测、不能控和不能观测部分不能显性地表示出来。1）最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述的特性2）状态反馈的基础：能控部分极点可任意配置。3）状态重构的前提：不能观测部分设计降维状态观测器。一、按照能控性分解一、按照能控性分解一、按照能控性分解一、按照能控性分解目的目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分，为实现做准备定理定理1 1：如果线性定常系统：状态不完全能控，它的能控性判别矩阵的秩：2023/1/212023/1/218484病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程则存在非奇异变换：将状态空间描述变换为

50、：其中：非奇异变换阵非奇异变换阵：前n1列为Qc中n1个线性无关的列，其余列保证Rc非奇异任选矩阵形式为：2023/1/212023/1/218585病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程能控性分解示意图：能控性分解示意图：其中 是n1维能控部分：其中 是n-n1维不能控部分：u不能直接控制 ，然而 未来信息中又不含 的信息。能控部分能控部分不能控部分不能控部分2023/1/212023/1/218686病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程请判断其能