5.位场处理与解释技术(电法).ppt

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1、位场数据处理与解释位场数据处理与解释 电法勘探数值模拟电法勘探数值模拟 中国石油大学（华东）中国石油大学（华东）唐杰唐杰场域问题求解的发展 图解法图解法 百年历史，现已很少用百年历史，现已很少用模拟法模拟法 实验模拟，昂贵，重大问题可能使用实验模拟，昂贵，重大问题可能使用解析法解析法 电磁场课程学习的，分离变量法、保角变换、镜像法、逆问题电磁场课程学习的，分离变量法、保角变换、镜像法、逆问题法。，对简单场域，单一介质、规则场域适用，物理含义清楚法。，对简单场域，单一介质、规则场域适用，物理含义清楚数值解法数值解法 现代计算方法，复杂场域、多介质、各向异性介质，几乎现代计算方法，复杂场域、多介质

2、、各向异性介质，几乎所有场域问题所有场域问题场域问题求解数值解法的种类有限差分法有限差分法 （Finite Difference Methods FDMFinite Difference Methods FDM）有限元素法（有限元素法（Finite Elements Methods FEMFinite Elements Methods FEM）体积分方程法体积分方程法 (Volume Integral Equation Methods VIEM)(Volume Integral Equation Methods VIEM)边界元素法边界元素法(Boundary Elements Methods

3、 BEM)(Boundary Elements Methods BEM)混合法混合法 (Hybrid Methods)(Hybrid Methods)4.数值解法的种类8.1 狄拉克狄拉克函数函数第第8 章章 电法勘探中场的基本关系式电法勘探中场的基本关系式8.1.1 函数的定义函数的定义有：有：因为：因为：可以粗糙的理解为满足下列条件的一个较通常意义更广的可以粗糙的理解为满足下列条件的一个较通常意义更广的“函数函数”：及：及：注意不能取注意不能取（0）为有限常数）为有限常数及：及：对于一个有限的研究域，关于对于一个有限的研究域，关于函数有：函数有：当当x0=(x10，x20)在在D外，由外，

4、由(815)式知式知在在D及其边界上恒为零，这时及其边界上恒为零，这时(817)式式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0=(x10，x20)在在D内时，内时，这时这时在在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故从而由从而由(814)式可知式可知(817)式中第三等式成立，对于奇点式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界的情在区域边界的情况，令况，令B(x 0,)是以是以x0为圆心、为圆心、为半径的开圆为半径的开圆(在一维情况是开区间，三维情况下在一维情况是开

5、区间，三维情况下是不含球面的球体，是不含球面的球体，n维情况下为维情况下为n维开球维开球)，注意到，注意到在在B(x 0,)的外部和边界上为的外部和边界上为零零式中式中DnB表示表示D域和域和B圆重合的部分，即图圆重合的部分，即图81中阴影部分，另外有中阴影部分，另外有因为因为在在x0附近光滑，故当附近光滑，故当趋于零时，趋于零时，DnB域趋于半圆，这样，由以上两式有域趋于半圆，这样，由以上两式有8.1.2 函数的性质及其傅氏变换函数的性质及其傅氏变换由由8.1.7式有：式有：线性性：线性性：筛选性：筛选性：由于：由于：可知：可知：褶积：褶积：于是：于是：傅氏变换：傅氏变换：余弦变换：余弦变换

6、：8.2.1 基本关系式的导出基本关系式的导出8.2 稳定电流场的基本关系式稳定电流场的基本关系式所以所以8.2.5式可以写成：式可以写成：直流电法的基本微分方程直流电法的基本微分方程在无源空间：在无源空间：普遍性边界条件：普遍性边界条件：第一类边界条件，或称为狄里希莱条件。第一类边界条件，或称为狄里希莱条件。第二类边界条件，或称为偌依曼条件。第二类边界条件，或称为偌依曼条件。混合边界条件：混合边界条件：在实际应用中发现在离点源某一距离之外由式在实际应用中发现在离点源某一距离之外由式(8211)条件计算所得的条件计算所得的值低于解析计算值，而用由式值低于解析计算值，而用由式(8212)条件计算

7、所得值高于解析值。因此提条件计算所得值高于解析值。因此提出了混合边界条件：对于点源和均匀介质的情况，其电位有下面的一般形式出了混合边界条件：对于点源和均匀介质的情况，其电位有下面的一般形式式中式中为点源到计算点的径向矢量和外法线矢量之间的夹角。所以上式改写为为点源到计算点的径向矢量和外法线矢量之间的夹角。所以上式改写为8.2.2 点源二维地电问题点源二维地电问题对两边进行傅氏变换：对两边进行傅氏变换：可得：可得：将三维问题变成了二维问题将三维问题变成了二维问题或：或：对对(8215)式两边进行傅氏变换考虑到左部式两边进行傅氏变换考虑到左部前面几项由于积分和微分是对不同变量进行，因而可以互换顺序

8、，后一项利用傅前面几项由于积分和微分是对不同变量进行，因而可以互换顺序，后一项利用傅氏变换的微分定理，可得氏变换的微分定理，可得对对(8215)式右端进行傅氏变换，考虑到式右端进行傅氏变换，考虑到最后可得最后可得设：设：两边对于两边对于y做傅氏变换得：做傅氏变换得：由（由（8.2.21）式得：）式得：（8.2.21）代入（代入（8.2.22）得：）得：或：或：在在(x，y，z)空间均匀介质中点源的电位随距离成反比变化，即空间均匀介质中点源的电位随距离成反比变化，即k0为零阶修正贝塞尔函数，为零阶修正贝塞尔函数，k1为一阶修正贝塞尔函数，为一阶修正贝塞尔函数，为矢径和边界处法线为矢径和边界处法线

9、之间的夹角，之间的夹角，取取=0，即为第二类边界条件，即为第二类边界条件8.3 电磁场基本方程电磁场基本方程麦克斯韦方程：麦克斯韦方程：8.3.1 大地电磁测深大地电磁测深式式8.3.16是因为导电介质内部体电荷密度实际上是不存在的，这里时间因子都包含在是因为导电介质内部体电荷密度实际上是不存在的，这里时间因子都包含在场场E和和H之中，随时间变化的电场和磁场相互激励、相互转化，并以波的形式在介质之中，随时间变化的电场和磁场相互激励、相互转化，并以波的形式在介质中传播。当然传播特性将与介质的电性参数有关。中传播。当然传播特性将与介质的电性参数有关。设介质是二维的，取设介质是二维的，取x轴垂直构造

10、走向，轴垂直构造走向，y轴平行构造走向，轴平行构造走向，z轴仍然垂直向下。这轴仍然垂直向下。这时由于电阻率时由于电阻率(或导电率或导电率)沿沿y轴无变化，相应的电磁场沿轴无变化，相应的电磁场沿y轴也应是稳定的。即有轴也应是稳定的。即有计算区域及边界条件计算区域及边界条件8.4 电法勘探电场的积分表达式电法勘探电场的积分表达式841 泊松积分泊松积分 大家知道，在各种形式的直流电法勘探中，构成视电阻率异常的畸变电场实际大家知道，在各种形式的直流电法勘探中，构成视电阻率异常的畸变电场实际上是由地下电性不均匀界面上的积累电荷形成的。从物理学中早已知道，当电流上是由地下电性不均匀界面上的积累电荷形成的

11、。从物理学中早已知道，当电流流过不同电阻串介质的分界面时，在分界面上要产生电荷的积累，这个现象有时流过不同电阻串介质的分界面时，在分界面上要产生电荷的积累，这个现象有时也称为麦克斯韦也称为麦克斯韦维纳效应。维纳效应。现考虑不均匀介质中存在一个稳定电流源的情况，介质中任一点的电场强度有现考虑不均匀介质中存在一个稳定电流源的情况，介质中任一点的电场强度有下面关系下面关系上式说明在介质中电阻率不为常数的地方，存在着电荷的分布；若介质中电阻宰为常上式说明在介质中电阻率不为常数的地方，存在着电荷的分布；若介质中电阻宰为常数时，数时，为零，电荷密度为零，电荷密度g也为零。也为零。在电法勘探中，主要考虑电性

12、分区均匀的导电介质，这时，除了电性界面以外，处在电法勘探中，主要考虑电性分区均匀的导电介质，这时，除了电性界面以外，处处处 等零，体电荷密度变为面电荷密度，为简单计，该两种电荷密度本书均用等零，体电荷密度变为面电荷密度，为简单计，该两种电荷密度本书均用g表示，表示，读者要注意在不同地方具有不同的意义。在电性界面上积累电荷密度的数值和界面两读者要注意在不同地方具有不同的意义。在电性界面上积累电荷密度的数值和界面两侧介质的电阻率有关，还与界面的几何形状和电源的位置等有关。侧介质的电阻率有关，还与界面的几何形状和电源的位置等有关。有限差分方法时域有限差分法(FDTD,Finite-Differenc

13、e Time-Domain)是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应号称目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中关键的三大要素差分格式解的稳定性吸收边界条件FDTD的特点广泛的应用性节约运算和存储空间适合并行计算计算程序的通用性简单直观，容易掌握1.基本思想基本思想微分方程微分方程差分方程差分方程有限差有限差商商3.10 有限差分法有限差分法差分格式差分格式前差分前差分后差分后差分中心差分中心差分有限差分法有限差分法54 任何阶

14、差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如例如n 阶前差分为阶前差分为 55二阶差商多取中心式，即二阶差商多取中心式，即当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。56差分原理差分原理以上是一元函数的差分与差商。多元函数以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,)的差分与差商也可以类推。的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为如一阶向前差商为（1-12）（1-13）57差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差逼近误差。由函数的

15、由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度差商的精度。2 2逼近误差逼近误差58逼近误差逼近误差一阶向后差商也具有一阶精度。一阶向后差商也具有一阶精度。（1-16）59逼近误差逼近误差将将与与的的Taylor展开式相减可得展开式相减可得可见一阶中心差商具有可见一阶中心差商具有二阶精度二阶精度。（1-17）60逼近误差逼近误差将将与与的的Taylor展开式相加可得展开式相加可得这说这说明二明二阶阶中心差商的精度也中心差商的精度也为为二二阶

16、阶（1-18）61逼近误差逼近误差设有函数设有函数f(x)，自变量，自变量x的增量为的增量为，若取，若取对应的函数值为对应的函数值为，则，则f(x)在在xi处的处的n阶差分可表达为阶差分可表达为式中式中cj为给为给定系数，定系数，J1和和J2是两个正整数。是两个正整数。（1-19）（1-20）当当J1=0时，称为向前差分；时，称为向前差分；当当J2=0时，称为向后差分；时，称为向后差分；当当J1=J2且且 时，称为中心差分时，称为中心差分。62逼近误差逼近误差表表2表表1nj01234aj1-1121-213-13-3141-46-41nj-4-3-2-10aj1-1121-213-13-31

17、41-46-41其中表其中表1和表和表2的的m=1，即此二表对应差商的精度是一阶的；，即此二表对应差商的精度是一阶的；63逼近误差逼近误差nJ012345Aj1-34-122-54-13-518-2414-343-1426-2411-2表表3nJ-5-4-3-2-10Aj11-432-14-5233-1424-1854-211-2426-143表表4nj-2-1012aj1-10121-213-120-2141-46-41表表5表表3至表至表5的的m=2，即这些表对应差商的精度是二阶的；，即这些表对应差商的精度是二阶的；64逼近误差逼近误差 nJ-3-2-10123aj11-808-12-11

18、6-3016-131-8130-138-14-112-3956-3912-1表表6的的m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。，即此表对应差商的精度是四阶的。表表665在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图中的在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图中的，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox图图1-1 非均匀步长差分非均匀步长差分3非均匀步长非均匀步长一阶向后差商一阶向后差商一阶中心差商一阶中心差商（1-22）（1-23）66 均匀和非均匀网格实例均匀和非均匀网格实例167 均匀和非均匀网格实例均匀和非均匀网格实例268差分相应

19、于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以现以对流方程对流方程为例，列出对应的差分方程。为例，列出对应的差分方程。（2-1）69图图2-1 差分网格差分网格差分方程差分方程70若时间导数用一阶向前差商近似代替，即若时间导数用一阶向前差商近似代替，即空间导数用一阶中心差商近似代替，即空间导数用一阶中心差商近似代

20、替，即则在则在点的对流方程就可近似地写作点的对流方程就可近似地写作（2-2）（2-3）（2-4）71截断误差截断误差按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为数时的误差为 ,用空间中心差商代替空间导数时的误差为用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是这也可由这也可由Taylor展开得到。因为展开得到。因为（2-5）（2-6）72截断误差截断误差一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，一

21、个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。从而形成一个完整的初值问题。对流方程的对流方程的初值问题初值问题为为这里这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：初始条件是一种定解条件。如果是初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）73截断误差截断误差FTCS格式格式（2-9）F

22、TFS格式格式（2-10）（2-11）FTBS格式格式74 (a)FTCS (b)FTFS (c)FTBS图图2-2 差分格式差分格式75FTCS格式的截断误差为格式的截断误差为FTFS和和FTBS格式的截断误差为格式的截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对种格式对都有一阶精度。都有一阶精度。76一般说来，若微分方程为一般说来，若微分方程为其中其中D是微分算子，是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程是已知函数，而对应的差分方程为为其中其中 是差分算子，则截断误差为是差分算子，则截断误差为这里这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方

23、程的解微分方程的解 。（2-14）（2-15）（2-16）如果当如果当、时，差分方程的截断误差的某种范数时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，即也趋近于零，即则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当如果当、时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。这样的差分方程不能用来逼近微分方程。（2-17）77若微分

24、问题的定解条件为若微分问题的定解条件为其中其中B是微分算子，是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为其中其中是差分算子，则截断误差为是差分算子，则截断误差为（2-18）（2-19）（2-20）5.实例实例3.10 有限差分法有限差分法图图 3.10.23.10 有限差分法有限差分法3.10 有限差分法有限差分法3.10 有限差分法有限差分法4444444443.10 有限差分法有限差分法3.10 有限差分法有限差分法值值.3.10 有限差分法有限差分法3.10 有限差分法有限差分法以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。

25、以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。设边值问题是设边值问题是(1)决定离散点的分布方式。决定离散点的分布方式。按按正正方方网网格格划划分分，网网格格边边长长（步步长长）h，网网格格线线的的交交点点称称结结点。点。设设结结点点O上上的的电电位位为为(xo,yo)=o,结结点点1，2，3，4上上的的电电位位为为 1，2，3，4。任一点任一点x的电位的电位考虑考虑1，3两点两点x1=xo+h,x3=xo-h边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数点函数f(s)的值赋予各边界结点。的值赋予各边界结点。3差分方程的

26、解法差分方程的解法设将场域划分如图设将场域划分如图.边边 界界 上上 的的 值值 分分 别别 为为f1,f16。在在各各内内点点上上作作出出差差分分，泊泊松松方方程程变变成成下下列列差差分分方方程程组组解出关于解出关于 1，2.9的代数联立方程组，即可求出各点的的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。函数值。算法算法简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。（2）按一固定顺序）按一固定顺序(从左到右，从下到上从左到右，从下到上)依次利用依次利用计算内点计算内点o点的新值。即点的

27、新值。即o点的新值就是围绕该点的点的新值就是围绕该点的4个点的个点的电位的平均值。电位的平均值。如（如（j，k）点在第）点在第n1次迭代时按下式计算：次迭代时按下式计算：当当所所有有的的内内点点都都计计算算完完后后，用用他他们们的的新新值值代代替替旧旧值值，完完成成一一次次迭迭代代。再再进进行行下下一一次次迭迭代代。直直到到每每一一点点计计算算得得到到的的新新值值与旧值之差小于指定的范围。与旧值之差小于指定的范围。这这种种方方法法的的特特点点是是用用前前一一次次迭迭代代的的得得到到的的结结点点电电位位作作为为下下一次迭代时的初值。一次迭代时的初值。简单迭代法收敛慢。简单迭代法收敛慢。超松弛法的

28、改进：超松弛法的改进：（1）即计算（即计算（j，k）点时，左边点（）点时，左边点（j-1,k）和下面点（）和下面点（j，k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。（2）将上式写成增量的形式，）将上式写成增量的形式，引进加速收敛因子引进加速收敛因子，在在12之间。之间。迭代方法：超松弛法迭代方法：超松弛法加速解的收敛。加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。时，迭代过程将发散。最最佳佳收收敛敛因因子子 0的的取取值值随随问问题题而而异异。对对第第一一类类边边值值问问题题，正正方方形形场场域域，网网格格按按正正方方形形划划分分，每每边边结结点

29、点数数p1，则，则一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位而顶盖电位 4100。求槽内电位分布。求槽内电位分布。例例3.解：解：二维场第一类边值问题。二维场第一类边值问题。将将二二维维场场域域划划分分成成正正方方形形网格，步距网格，步距ha/4。场场域域内内任任一一点点电电位位 应应满满足足二二维维拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的差差分计算格式。分计算格式。采用超松弛迭代方法。迭代公式采用超松弛迭代方法。迭代公式按按可算得可算得 1.17,所有内点从零值初始值开所有内点从零值初始值开始迭代求解。始迭代求解。本题第一类边值，结

30、点与本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。前的初值如图。迭代次数迭代次数N分别分别为为1，2，3，4时时各网格内点的数各网格内点的数值解如图。值解如图。若若规规定定各各网网格格内内点点相相邻邻两两次次迭迭代代值值的的绝绝对对误误差差应应小小于于105，得到各内点的电位数值解如图。此时，得到各内点的电位数值解如图。此时N13。从从结结果果看看电电位位分分布布关关于于y轴轴有有对对称称性性。实实际际计计算算可可只只一一半半区区域域，而而将将网网格格划划分分得得更更细。以得到更理想到数值解。细。以得到更理想到数值解。101有限差分通常采用的步骤采用一定的

31、网格划分方式离散化场域对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解FDTD就是按照这个步骤，结合自身的特点进行!一一.数值稳定性条件数值稳定性条件问题的提出时间步长t，空间步长x,y,z必须满足一定的关系，否则就使得数值表现不稳定，表现为：随着计算步数的增加，计算场量的数值会无限的增大，这种增大不是由于误差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造成的。所以t,x,y,z必须满足一定的关系以保证稳定性数值稳定性的条件当当 x=y=z的时候，即：空间步的时候，即：空间步长相等的时候长相等的时候:数值稳定

32、的条件：数值稳定的条件：而一般取：而一般取：当当 x,x,y,y,z z不相等时：不相等时：C C：为光速，自由空间中：为光速，自由空间中：是根据电磁原理用数学推导出来的，这里只给出结论，即是根据电磁原理用数学推导出来的，这里只给出结论，即保证数值稳定的条件如下：保证数值稳定的条件如下：产生原因FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须考虑适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到理想情况（我们实验只需考虑这种特殊情况）3-D方形网格：取波沿对角线传播 (数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。2-D方形网格:也是沿对角线传播，

33、（也是数值稳定的极限状态）1-D网格 (数值稳定的极限状态)数值色散二.边界条件问题的提出在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放的，电磁场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能模拟有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。使传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。130算法的复杂度和可并行性时间复杂度与网格个数成正比空间复杂度自由空间中也是与网格个数成正比并行的可行性串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况下，可以同时计算多个点的场值

34、每一步计算只与附近的点有数据依赖关系有限差分法是从电场或电磁场所满足的微分方程的边界条件出发，将微分方程转有限差分法是从电场或电磁场所满足的微分方程的边界条件出发，将微分方程转变为差分方程，其步骤是：变为差分方程，其步骤是：首先将研究区域按一定方式（如长方形单元）离散化，然后在每个单元内没位、首先将研究区域按一定方式（如长方形单元）离散化，然后在每个单元内没位、场呈线性变化，电性为均匀，因为微分方程中的微分就可以用差分来代替，于是场呈线性变化，电性为均匀，因为微分方程中的微分就可以用差分来代替，于是就可以建立一组线性方程组。求解该方程组，即得相应的位、场分布。就可以建立一组线性方程组。求解该方

35、程组，即得相应的位、场分布。10.电法勘探数值模拟的有限差分法电法勘探数值模拟的有限差分法10.1 面积离散的点源二维有限差分法面积离散的点源二维有限差分法10.1.1 对应的差分方程对应的差分方程对于（对于（10.1.1）沿）沿Aij积分得：积分得：格林函数：格林函数：（10.1.1）的第二项为：）的第二项为：最后整理得：最后整理得：式中：式中：10.1.2 边界条件的处理边界条件的处理（1）地面节点）地面节点（2）地面上左右角点）地面上左右角点边界条件：边界条件：对左角点有：对左角点有：式中：式中：对右角点有：对右角点有：对底边节点对底边节点对底边左右角点对底边左右角点左边界节点左边界节点

36、对右边界节点：对右边界节点：1013 容量矩阵的特点容量矩阵的特点容量矩阵容量矩阵10.1.3 容量矩阵的特点容量矩阵的特点可以证明容量矩阵是一个对称正定、稀疏带状和对角点优的距阵。即具有可以证明容量矩阵是一个对称正定、稀疏带状和对角点优的距阵。即具有且：且：矩阵的每行或每列，最多只有矩阵的每行或每列，最多只有5个元素不为零，且该不为零的元素均分布在对角线元个元素不为零，且该不为零的元素均分布在对角线元素两边带宽为素两边带宽为2M1的带中，其他元素均为零；的带中，其他元素均为零；10.2 节点离散形式节点离散形式混合边界条件：混合边界条件：利用（利用（8.2.20）式进行节点离散：）式进行节点

37、离散：10.2.1 差分方程差分方程第一项：第一项：第二项：第二项：第三项：第三项：第四项：第四项：（10.2.1）方程的左边）方程的左边（10.2.1）方程的右边项）方程的右边项可写成：可写成：10.2.2 边界条件的处理边界条件的处理（1）地面上的边界节点）地面上的边界节点满足偌依曼条件：满足偌依曼条件：所以：所以：（2）地面左右边角点）地面左右边角点应用混合边界条件应用混合边界条件（3）底部边界上的节点）底部边界上的节点（4）底部左右角点）底部左右角点（5）左边界节点）左边界节点（5）左边界节点）左边界节点10.2.3 容量矩阵的特点容量矩阵的特点10.3.1 网格单元与边界条件的选择网

38、格单元与边界条件的选择10.3 有关方法技术及应用效果有关方法技术及应用效果有限差分法是利用差分代替微分，用差分方程代替微分方程。因此，用来求取差分有限差分法是利用差分代替微分，用差分方程代替微分方程。因此，用来求取差分的各节点距的选样，将直接影响差分代替微分的精度。的各节点距的选样，将直接影响差分代替微分的精度。按理论上分析，节点距趋于零时差分就等于微分，所以我们总希望节点距小一些为按理论上分析，节点距趋于零时差分就等于微分，所以我们总希望节点距小一些为好；好；另外有限差分法要求在节点所形成的单元面积内的电性必须均匀，因此，对于复杂另外有限差分法要求在节点所形成的单元面积内的电性必须均匀，因

39、此，对于复杂的地电断面，为了保证精度，也希望用较小的单元去模拟它，使每个单元内才能保的地电断面，为了保证精度，也希望用较小的单元去模拟它，使每个单元内才能保证均匀的电性。证均匀的电性。但是，另一方面从计算量的角度考虑，单元越小，要保持网格区域大小不变的话，但是，另一方面从计算量的角度考虑，单元越小，要保持网格区域大小不变的话，只有增加内部节点的个数，必然增加线性方程组的阶数，这就增加了计算系数距阵只有增加内部节点的个数，必然增加线性方程组的阶数，这就增加了计算系数距阵的工作量和解方程的工作量。所以，真正兼顾到精度和计算量。的工作量和解方程的工作量。所以，真正兼顾到精度和计算量。网格区域大小直接

40、与边界条件的选择有关，所以在实际应用中采用中心密，边缘稀，网格区域大小直接与边界条件的选择有关，所以在实际应用中采用中心密，边缘稀，逐渐放大的网格，这样既保证对地电断面复杂地段置于中心密区能较好地模拟，又逐渐放大的网格，这样既保证对地电断面复杂地段置于中心密区能较好地模拟，又保证网格足够大，同时将测量装置置于中心密区可以较好地保证精度。保证网格足够大，同时将测量装置置于中心密区可以较好地保证精度。10.3.2 应用效果应用效果（2）实测资料处理结果）实测资料处理结果第第9 9章章 电法数值模拟的电法数值模拟的有有限单元方法限单元方法 有限元素法基本概念：有限元素法基本概念：元素元素(eleme

41、nt)(element)，节点，节点(node)(node)，连結元素，连結元素 有限元素法的基本思想有限元素法的基本思想:实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解无法順利求其解析解.有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素多简单的几何形状称之为元素.元素与与元素间以元素与与元素间以“节点节点”相连相连.由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式的物理方程式,並求得节点上的物理量並求得节

42、点上的物理量.采用內插法求得元素內任意点的物理量采用內插法求得元素內任意点的物理量.如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用能严格解出，那么就可以运用微扰法求近似解微扰法求近似解近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等 变分法变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变分问题即是变分问题即是求泛函的极值问题求泛函的极值问题把定解问题转化为把定解问题转化为变分问题变分问题，再求变分问题的解，再求变分问题的

43、解变分法的优点变分法的优点:(2)变分法易于变分法易于实现数学的统一化实现数学的统一化因为一般而言，数学物理因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题方程的定解问题都可以转化为变分问题(1)变分法在物理上可以变分法在物理上可以归纳定律归纳定律因为几乎所有的自然定律都能用变分因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；原理的形式予以表达；(3)变分法变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思基本思想想是是把数学物理定解问题转化为变分问题把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一由直接解变分问题发展了一些近似解法，其

44、中最有用的是些近似解法，其中最有用的是里茨里茨（Ritz）法）法 由于里茨法中的试探由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；迅速发展了一种有限元法；(4)变分法的应用变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用用有限差分法有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，：有限差分法把定解问题转化为代

45、数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解然后通过电子计算机求定解问题的数值解模拟法模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值而在模型上实测解的数值 变分法变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论 变分法的基本概念变分法的基本概念变分法变分法变分问题变分问题变分法变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极

46、值的方法变分问题变分问题即是求泛函的极值问题即是求泛函的极值问题1.1 泛函泛函 变分法研究的对象是变分法研究的对象是泛函泛函，泛函是函数概念的推广，泛函是函数概念的推广 考虑著名的考虑著名的最速降线落径问题最速降线落径问题。如图。如图1 所示，所示，已知已知A和和B为不在为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到滑到B时，所需的时间时，所需的时间T最小最小 我们知道，此时质点的我们知道，此时质点的速度是速度是 因此从因此从 A滑到

47、滑到B所需的所需的时间为时间为即为即为式中式中代表代表对对求一求一阶导阶导数数我我们们称上述的称上述的为为的的泛函泛函，而称，而称为为可取的函数可取的函数类类，为为泛函泛函的的定定义义域域。简单简单地地说说，泛函就是函数的函数泛函就是函数的函数（不是复合函数（不是复合函数的那种含的那种含义义）一般来说，设一般来说，设C是是函数的集合函数的集合，B是是实数或复数的集合实数或复数的集合，如果对于如果对于C的任一元素的任一元素 在在B中都有一个元素中都有一个元素与之与之对应对应，则则称称为为的的泛函泛函，记为记为 必须注意，必须注意，泛函不同于通常讲的函数泛函不同于通常讲的函数决定通常函数值的因素决

48、定通常函数值的因素是自变量的是自变量的取值取值，而决定泛函的值的因素则是函数的，而决定泛函的值的因素则是函数的取形取形如上面例子中的如上面例子中的泛函泛函T的变化是由函数的变化是由函数 本身的本身的变变化（即从化（即从A到到B的不同曲的不同曲线线）值值，也不取决，也不取决所引起的它的值既不取决于某一个所引起的它的值既不取决于某一个于某一个于某一个 值值，而是取决于整个集合，而是取决于整个集合C中中与与的函数关系的函数关系定义定义:泛函泛函 泛函的核泛函的核 泛函通常以泛函通常以积分形式积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式（出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式（17.1.1）更为

49、一般而又典型的泛函定义为更为一般而又典型的泛函定义为(17.1.2)其中其中 称为称为泛函的核泛函的核1.2 泛函的极值泛函的极值变分法变分法对于不同的自变量函数对于不同的自变量函数，与此相应的泛函，与此相应的泛函 也有不同的数值找出一个确定的自变量函数也有不同的数值找出一个确定的自变量函数，使泛函，使泛函 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为泛函的极值泛函的极值引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函为泛函的极小值问题物理学中常见的有光学的极小值问题物理学中常见的

50、有光学中的中的费马费马(Fermat)原理原理，分析力学中的，分析力学中的哈密顿哈密顿(Hamiton)原原理理等，都是泛函的极值问题等，都是泛函的极值问题变分法变分法：所谓的变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法直接法，即，即直接分析所提出的直接分析所提出的问题问题；另一类叫另一类叫间接法间接法，即把，即把问题转化为求解微分方程问题转化为求解微分方程为讨论间接方法，为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分先介绍变分和泛函的变分1.3 变分变分 定义定义 变分变分 如果我们将泛函取极值