线性代数-矩阵的特征值与特征向量ppt课件.ppt

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1、第一节矩阵的特征值与特征向量第五章第五章1.1.概念的引入概念的引入2.2.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法3.3.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质4.4.矩阵的对角化矩阵的对角化5.5.小结小结6.6.思考与练习思考与练习7.7.背景材料背景材料介绍性实例介绍性实例动力系统与斑点猫头鹰动力系统与斑点猫头鹰-2-1990 1990年年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上问题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话果采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒

2、猫头鹰将濒临灭绝的危险。临灭绝的危险。数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究研究,并建立了种群模型形如并建立了种群模型形如的差分方程。的差分方程。这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.虽然讨论的是离散动力系统虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量但特征值和特征向量出现的背景要广泛的多出现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统还被用来研究连续动力系统,为工程设计提供关键知识为工程设计提供关键

3、知识.另外还出现在物理、化学另外还出现在物理、化学等领域。等领域。1.1.相似关系相似关系定义定义:-3-性质性质:(反身性反身性)(对称性对称性)(传递性传递性)记作记作(1(1)(2(2)(3)(3)一、特征值与特征向量的定义一、特征值与特征向量的定义引入引入.假设假设即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵，使得：，使得：定义定义.-5-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数，确实有点奇妙！注意注意.特征向量特征向量特征值问题仅对方阵而言。特征值问题仅对方阵而言。若存在若存在设设则称则称为为的特征值的特征值,为为的属于特征值的属于特征值 的特征向量。的

4、特征向量。-6-二阶方阵特征值的几何意义二阶方阵特征值的几何意义 二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。的方向上的放大量。把方程把方程例如例如,中的中的看成输入变量看成输入变量,看成输出变量看成输出变量,则这个矩阵方程就代表了一种线性变换则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.特征值为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为由由知横轴方向部分变换到负方向知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。纵轴方向尺度不变。-7-所以所以u是对应于特征值是对应于特征值-4-4的特征向量。的特征向量。易证给定的向量是否是矩阵的特征向量易证给

5、定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判也易证判断给出的数是否是特征值。断给出的数是否是特征值。例例1.1.设设 判断判断 是否是是否是 的特征向量？的特征向量？解：解：容易验证容易验证 v不是不是A A的特征向量的特征向量.(.(也可从图看出也可从图看出)例例2.2.-8-设设阶方阵阶方阵满足：满足：求求的特征值的特征值.解：解：注注2.2.-9-注注1.1.可类似证明可类似证明,的特征值只能是零。的特征值只能是零。则则(1)若若则则(2)若若的特征值只能是的特征值只能是1或或-1。(1)设设是是的特征值的特征值,为任一多项式为任一多项式,则则是是的特征值。的特征值。(2)设设是是的特征值的特

6、征值,必为必为的特征值。的特征值。(3)设设是是的特征值的特征值,且且非奇异非奇异,则则为为的特征值。的特征值。-10-二、特征值、特征向量的求法二、特征值、特征向量的求法(1 1)定义定义.(2 2)的非零解的非零解.是是即特征向量即特征向量称称为为A的特征方程的特征方程,其根为其根为A的的特征值特征值.-11-特征值与特征向量的求法：特征值与特征向量的求法：即对应于特征值即对应于特征值的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量.例例3.3.求矩阵求矩阵-12-的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解解:(1)(1)求求的特征值：的特征值：的特征方程为

7、的特征方程为-13-(2)(2)求求的特征向量：的特征向量：当当-14-当当同解方程组为同解方程组为得基础解系为得基础解系为即为即为时的线性无关的特征向量时的线性无关的特征向量.同解方程组为同解方程组为-15-得基础解系为：得基础解系为：即为即为时的线性无关的特征向量。时的线性无关的特征向量。同理得对应于同理得对应于时的线性无关的特征向量为：时的线性无关的特征向量为：例例4.4.-16-求矩阵求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解解:(1)(1)求求的特征值：的特征值：的特征方程为的特征方程为-17-(2)(2)求求的特征向量：的特征向量：当当

8、同解方程组为：同解方程组为：对应的线性无关的特征向量为：对应的线性无关的特征向量为：-18-当当同解方程组为同解方程组为对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质-19-证证:-20-于是于是,(2)从而，从而，A与与B的特征值也相同的特征值也相同.-21-注注1.1.注注2.2.用处在于已知用处在于已知n-1个特征值个特征值,求最后一个特征值。求最后一个特征值。-22-定义定义.-23-四、矩阵的对角化四、矩阵的对角化定义定义.定理定理1.1.证证:即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵使得使得由特征值与特征向量的引入知由特征值与特征向量的

9、引入知,假设假设-24-定理定理2.2.推论推论.-25-定义定义.设设是是的特征值的特征值,对应的线性无关对应的线性无关若令若令的特征向量分别为的特征向量分别为线性无关线性无关,且有且有称称为将矩阵为将矩阵对角化的变换矩阵。对角化的变换矩阵。它的每一列是它的每一列是的特征向量。的特征向量。-26-例例5.5.（对于例（对于例3 3中的矩阵中的矩阵)判别是否可对角化判别是否可对角化,若可以若可以,求出变换矩阵求出变换矩阵.解解:由例由例3 3知知,-27-所以，所以，A可对角化。可对角化。且且变换矩阵为变换矩阵为-28-解解:例例6.6.（对于例（对于例4 4中的矩阵中的矩阵)判别是否可对角化

10、判别是否可对角化,若可以若可以,求出变换矩阵求出变换矩阵.由例由例4 4知知,-29-所以所以A可对角化可对角化,且变换矩阵为且变换矩阵为且且-30-例例7.7.三阶方阵三阶方阵满足：满足：求求已知向量已知向量:解：解：由题设知由题设知,所以对应的特征向量为所以对应的特征向量为且线性无关，且线性无关，所以所以A可对角化可对角化,故相似于对角阵故相似于对角阵.令令-31-则有则有故故-32-注：注：这是常用的求方阵幂的方法这是常用的求方阵幂的方法.-33-34-特征值与特征向量的应用特征值与特征向量的应用例如例如,求解常系数线性方程组的初值问题：求解常系数线性方程组的初值问题：其中，其中，解：解

11、：步骤步骤(1)(1)求求A A的特征值的特征值 1 1，-2;-2;(2)(2)特征向量特征向量;(3)(3)写出解写出解,从而在平面上画出轨迹从而在平面上画出轨迹.离散动力系统离散动力系统连续动力系统连续动力系统-35-36-本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义;求法求法求法求法;性质性质性质性质;矩阵的对角化。矩阵的对角化。矩阵的对角化。矩阵的对角化。1.1.-37-解：解：分析：分析：

12、若若3 3阶矩阵阶矩阵A使得使得所以，所以，A的全部特征值为的全部特征值为0,3,-10,3,-1。则则A的全部特征值为的全部特征值为_._.综合题综合题.考查矩阵特征值概念及行列式的简单性质。考查矩阵特征值概念及行列式的简单性质。-38-因为因为A与与B相似相似,而相似矩阵有相同的特征值而相似矩阵有相同的特征值,2.2.已知已知3 3阶矩阵阶矩阵A与与B相似相似,A的特征值为的特征值为1,1/2,1/3,则则行列式行列式解：解：又因为又因为A的特征值为的特征值为1,1/2,1/3,1,1/2,1/3,所以所以B的特征值为的特征值为1,1/2,1/31,1/2,1/3。的特征值为的特征值为1,

13、2,31,2,3。的特征值为的特征值为2,3,42,3,4。3.3.-39-解：解：(1)(1)求求的特征值：的特征值：的全部特征值与对应的的全部特征值与对应的求矩阵求矩阵线性无关的特征向量。线性无关的特征向量。-40-(2)(2)求求的特征向量：的特征向量：同解方程组为：同解方程组为：-41-即为属于即为属于时的线性无关的特征向量。时的线性无关的特征向量。同解方程组为同解方程组为:-42-即为属于即为属于时的线性无关的特征向量。时的线性无关的特征向量。凯莱（凯莱（Arthur Cayley,18211895)英国纯粹数学的近代学派带头人。英国纯粹数学的近代学派带头人。18211821年年8

14、8月月1616日生于萨里郡里士满，日生于萨里郡里士满，18951895年年1 1月月2626日卒于剑桥。日卒于剑桥。1839 1839年入剑桥大学三一学院学习，年入剑桥大学三一学院学习，18421842年毕业，后在三一学院任聘年毕业，后在三一学院任聘3 3年，开始了毕生从年，开始了毕生从事的数学研究。因未继续受聘事的数学研究。因未继续受聘,又不愿担任圣职（这又不愿担任圣职（这是当时继续在剑桥的数学生涯的一个必要条件），于是当时继续在剑桥的数学生涯的一个必要条件），于 18461846年入林肯法律协会学习并于年入林肯法律协会学习并于18491849年成为律师，以年成为律师，以后后1414年他以律

15、师为职业，同时继续数学研究。因大学年他以律师为职业，同时继续数学研究。因大学法规的变化，法规的变化，18631863年被任为剑桥大学纯粹数学的第一年被任为剑桥大学纯粹数学的第一个萨德勒教授，直至逝世。个萨德勒教授，直至逝世。-43-凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来并发表了一先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来并发表了一系列文章。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特系列文章。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱最主要的贡献

16、是与西尔维斯特一起，创立了凯莱最主要的贡献是与西尔维斯特一起，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基础。他是矩阵论的创立者。他对几何学的统一研究也础。他是矩阵论的创立者。他对几何学的统一研究也作了重要的贡献。他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、作了重要的贡献。他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学会的会长。皇家天文学会的会长。凯莱是极丰产的数学家，在数学、理论力学、天凯莱是极丰产的数学家，在数学、理论力学、天文学方面发表了近千篇论文，他的数学论文几乎涉及文学方面发表了近千篇论文，他的数学论文几乎涉及纯粹数学的所有领域，收集在共有纯粹数学的所有领域，收集在共有1414卷的卷的凯莱数学凯莱数学论文集论文集中，并著有中，并著有椭圆函数专论椭圆函数专论一书。一书。-44-