积分学小结——二重积分、三重积分-线积分、面积分ppt课件.ppt

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1、基本积分表基本积分表是常数是常数)积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系其中其中理论上的联系理论上的联系1.1.定积分与不定积分的联系（定积分与不定积分的联系（牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式）2.2.二重积分与曲线积分的联系（二重积分与曲线积分的联系（格林公式格林公式）3.3.三重积分与曲面积分的联系（三重积分与曲面积分的联系（高斯公式高斯公式）X-X-型区域：型区域：o oa ax xb bx xy yy=y=1 1(x)(x)y=y=2 2(x)(x)特点：特点：平行于平行于y轴的

2、直线与区域边界交点不多于两个轴的直线与区域边界交点不多于两个.例例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解：解：将D看作X-型区域,则Y型型区域为：区域为：特点特点：平行于平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个轴的直线与区域边界交点不多于两个.x xy ycdx=x=y y1 1(y)(y)x=x=y y2 2(y)(y)例例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法2.将D看作Y-型区域,则解解积分区域如图积分区域如图（）极坐标系下（）极坐标系下例例3.3.求求其中其中D：x2+y2 1解解：一一般般,若若D的的表表达达式式中中含含有有x2+y2

3、时时，考考虑虑用用极坐标极坐标.0 xyx2+y2 1令令x=rcos,y=rsin,则则x2+y2 1的极的极坐标方程为坐标方程为r=1.由由(2)D*:0 r 1,0 2 另由另由几何意义几何意义：重积分的应用重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面积曲面积如图，如图，先一后二（穿线法）先一后二（穿线法）:三重积分的计算三重积分的计算其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面()柱面坐标柱面坐标()球面坐标球面坐标例例.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积

4、分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)定积分定积分曲线积分曲线积分二重积分二重积分计算计算计算计算Green公式公式各种积分之间的联系各种积分之间的联系二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化求曲线积分计算方法：计算方法：（一）如果积分曲线为：(二）如果曲线 L 的方程为则（三）如果曲线 L 的方程为则例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法L 的参数

5、方程为则（一）（二）L 的方程为则则（三）如果 L 的方程为则则例例.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、格林公式格林公式例例.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题关于第二类曲线积分的计算关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用若曲线封闭，首先考虑使用Gre

6、en公式公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用闭，然后再使用Green公式公式注意：注意：辅助线上的积分应容易计算，辅助线上的积分应容易计算，辅助线的方向与曲线的方向相一致。辅助线的方向与曲线的方向相一致。按第二类曲线积分的计算公式直接计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算 注意：起点和终点的坐标注意：起点和终点的坐标曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分定定义义计计算算联联系系 高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式主要内容主要内容（二）（二）曲面积分曲面积分曲面方程为：对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则例例解解注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的侧侧.一投影一投影,二代入二代入,三定号三定号对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一投影一投影,二代入二代入,三定号三定号一投影一投影,二代入二代入,三定号三定号例例 计算计算解解 积分曲面只有一部分，直接计算积分曲面只有一部分，直接计算投影区域：投影区域：的上侧的上侧其中其中 是是上半球面上半球面高高斯斯公式公式解解yax解：解：原原积分积分