大学物理量子物理2薛定谔方程ppt课件.ppt

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1、2005年秋季学期年秋季学期 第第2章章 薛定谔方程薛定谔方程陈信义编陈信义编 1目目 录录2.1 薛定谔方程和力学量算符薛定谔方程和力学量算符2.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子2.4 一维谐振子一维谐振子2.3 量子隧穿效应量子隧穿效应22.1薛定谔方程和力学量算符薛定谔方程和力学量算符 19261926年年，在在一一次次学学术术讨讨论论会会上上年年轻轻的的薛薛定定谔谔介介绍绍德德布布罗罗意意关关于于粒粒子子波波动动性性假假说说的的论论文文，在在薛薛定定谔谔讲讲完完后后，物物理理学学家家德德拜拜（P.DebeyP.Debey）评评论论说说：认认真真地地讨讨论论波波动动，必须有波

2、动方程。必须有波动方程。几几个个星星期期后后，薛薛定定谔谔又又作作了了一一次次报报告告。开开头头就就兴兴奋奋地地说说：你你们们要要的的波波动动方方程程，我我找找到到了了！这这个个方方程程，就就是著名的薛定谔方程。是著名的薛定谔方程。薛薛定定谔谔方方程程是是量量子子力力学学的的基基本本动动力力学学方方程程，它它在在量量子子力力学学中中的的作作用用和和牛牛顿顿方方程程在在经经典典力力学学中中的的作作用用是是一一样的。样的。同同牛牛顿顿方方程程一一样样，薛薛定定谔谔方方程程也也不不能能由由其其它它的的基基本本原原理理推推导导得得到到，而而只只能能是是一一个个基基本本的的假假设设，其其正正确确性性也只

3、能靠实验来检验。也只能靠实验来检验。3一、自由粒子薛定谔方程一、自由粒子薛定谔方程自由粒子波函数（一维）自由粒子波函数（一维）微商，得到方程微商，得到方程4 对对波波函函数数的的运运算算、变变换换或操作。或操作。：算符：算符 代表用代表用 乘波函数乘波函数：对波函数取复共轭：对波函数取复共轭：算符：算符 代表对波函数关于代表对波函数关于 求导求导：算符：算符 代表对波函数关于代表对波函数关于 求导求导算符是通过对波函数的作用关系来定义的算符是通过对波函数的作用关系来定义的例如例如算符算符(operator)5 对于非相对论性自由粒子：对于非相对论性自由粒子：算符对应关系：算符对应关系：作用于波

4、函数，得作用于波函数，得自由粒子薛定谔方程自由粒子薛定谔方程 算符和力学量的对应关系：算符和力学量的对应关系：6 设粒子在势场设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为中运动，能量关系为二、薛定谔方程二、薛定谔方程 算符对应关系：算符对应关系：作用于波函数，得作用于波函数，得薛定谔方程薛定谔方程7三维：三维：引入拉普拉斯算符：引入拉普拉斯算符：薛定谔方程：薛定谔方程：8若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。l是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理l方程中含有虚数方程中含有虚数 i它它的的解解 是是复复函函

5、数数，复复数数不不能能直直接接测测量量。而而 的模方代表概率密度，可测量。的模方代表概率密度，可测量。l是是量量子子力力学学的的基基本本方方程程，描描述述非非相相对对论论性性粒粒 子波函数随时间演化规律。子波函数随时间演化规律。9三、力学量算符的引入三、力学量算符的引入量子力学假设：量子力学假设：力学量用算符表达。力学量用算符表达。1 1、坐标算符、坐标算符其中其中 代表任意波函数。代表任意波函数。坐标算符假定为坐标算符假定为2 2、动量算符、动量算符 算符和动量的对应关系：算符和动量的对应关系：坐标算符假定为坐标算符假定为10【例例】动量算符对自由粒子波函数的作用动量算符对自由粒子波函数的作

6、用粒子的动量粒子的动量作用结果：作用结果：等于粒子的动量乘波函数。等于粒子的动量乘波函数。自由粒子波函数是动量算符的自由粒子波函数是动量算符的“本征态本征态”。描述的粒子的动量，结果一定等于动量描述的粒子的动量，结果一定等于动量 。测量由测量由自由粒子波函数自由粒子波函数 物理上的理解：物理上的理解：动量是动量算符的动量是动量算符的“本征值本征值”。113、哈密顿、哈密顿（Hamilton）量量若若U不显含时间，则不显含时间，则H 称为能量算符。称为能量算符。用哈密顿量，薛定谔方程可写成用哈密顿量，薛定谔方程可写成 势势函函数数U不不显显含含时时间间的的情情况况很很重重要要。这这时时，薛定谔方

7、程可分离变量求解。薛定谔方程可分离变量求解。12l哈哈密密顿顿量量决决定定了了微微观观粒粒子子波波函函数数随随时时间间的的演演化化，外外界界对对粒粒子子的的作作用用，包包括括不不能能用用力力来来表表达达的的微微观观相相互互作作用用，一一般般都都可可以以用用哈哈密密顿顿量量中中的的势函数势函数U(x,t)来概括。来概括。l而而在在经经典典力力学学中中，改改变变宏宏观观粒粒子子运运动动状状态态的的原因是作用在粒子上的力。原因是作用在粒子上的力。l只讨论势函数只讨论势函数U与时间无关的情况。与时间无关的情况。13 算算符符只只是是抽抽象象的的数数学学记记号号，其其本本身身并并不不象象经典力学中力学量

8、那样代表物理量的取值。经典力学中力学量那样代表物理量的取值。算算符符和和相相应应力力学学量量的的取取值值之之间间，是是通通过过本本征方程联系起来的。征方程联系起来的。四、力学量算符的本征方程四、力学量算符的本征方程 力学量算符力学量算符 的的本征方程，本征方程，指下述类型方程指下述类型方程 如如果果粒粒子子处处于于本本征征态态 ，则则粒粒子子的的与与 对对应的力学量的取值，一定等于本征值应的力学量的取值，一定等于本征值 。本征值本征值 本征波函数（态）本征波函数（态）14本征值的集合本征值的集合 本征值谱；本征值谱；l坐标算符坐标算符 的本征方程及其解的本征方程及其解本征波函数的集合本征波函数

9、的集合 本征函数系。本征函数系。本征值谱本征值谱：本征函数系本征函数系：如果粒子处于态如果粒子处于态 ，其坐标一定为，其坐标一定为 。（连续谱连续谱）15l动量算符动量算符 的本征方程及其解的本征方程及其解 本征函数系：本征函数系：如果粒子处于态如果粒子处于态 ，其动量一定为，其动量一定为 。本征值谱：本征值谱：（连续谱连续谱）l哈密顿量哈密顿量 的本征方程及其解的本征方程及其解 给给定定U(x)的的具具体体形形式式，求求解解微微分分方方程程；顾顾及及本征波函数的自然条件。本征波函数的自然条件。16五、不含时薛定谔方程（能量本征方程）五、不含时薛定谔方程（能量本征方程）除以除以 ，得，得若势函

10、数若势函数U不显含不显含t，为求解薛定谔方程，为求解薛定谔方程,设设代入薛定谔方程，得代入薛定谔方程，得=E(常数常数)上式可分为以下两个方程：上式可分为以下两个方程：17（1）（2）方程（方程（1）的解为）的解为方程（方程（2）：式中式中E具有能量量纲，具有能量量纲，C 可以是复数。可以是复数。（简谐振动）（简谐振动）或称或称能量本征方程。能量本征方程。不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程18数学上：数学上：E 不论取何值，方程都有解。不论取何值，方程都有解。物物理理上上：E 只只有有取取一一些些特特定定值值，方方程程的的解解才才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。能满足波函数的条件（单值、

11、有限、连续）。l满足方程的特定的满足方程的特定的E 值，称为值，称为能量本征值。能量本征值。l定态：定态：能量取确定值的状态，薛定谔方程的特解。能量取确定值的状态，薛定谔方程的特解。l E称称为为与与E对对应应的的本本征征波波函函数数。若若粒粒子子处处于于E，则粒子的能量为，则粒子的能量为E。19 对对于于不不同同的的势势能能函函数数和和能能量量区区间间，能能量量本本征征值值可可以以取取一一系系列列分分立立的的值值，也也可可以以取取连连续续值值。为了讨论方便，下面假设它取分立值为了讨论方便，下面假设它取分立值En，n=1,2,3,相应的本征波函数为相应的本征波函数为n，n=1,2,3,薛定谔方

12、程的一系列定态解为薛定谔方程的一系列定态解为通解可写成定态解叠加的形式通解可写成定态解叠加的形式 20式中式中Cn称为展开系数。称为展开系数。后后面面证证明明，给给定定初初始始时时刻刻的的状状态态(x,0)，Cn可按下式计算可按下式计算 若若势势函函数数不不显显含含时时间间，则则薛薛定定谔谔方方程程的的求求解解，可可通通过过解解能能量量本本征征方方程程（不不含含时时薛薛定定谔谔方方程程）来解决。来解决。因因此此，能能量量本本征征方方程程的的求求解解，在在量子力学中占有重要地位。量子力学中占有重要地位。21改写成改写成l一一类类是是本本征征值值问问题题，给给定定势势能能函函数数U(x)，求求粒粒

13、子的能量子的能量E和相应的本征波函数和相应的本征波函数n(x)；求解两类问题：求解两类问题：l另另一一类类是是散散射射问问题题，假假设设粒粒子子以以能能量量E射射向向势势垒垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。，计算粒子穿透势垒的概率。222.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子U=0EUUU(x)x0 无限深方势阱无限深方势阱，为什么？，为什么？a金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x0a23能量本征方程：能量本征方程：解方程，求出能量本征值谱解方程，求出能量本征值谱 、本征波函数集合本征波函数集合 。无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成为给定

14、的初始时刻的状态。为给定的初始时刻的状态。24一、势阱中粒子的能量一、势阱中粒子的能量令令 ，方程写成，方程写成 粒子被束缚在势阱内粒子被束缚在势阱内(束缚态束缚态)1、阱外、阱外2、阱内、阱内25通解：通解：“单单值值、有有限限”已已经满足，下面看经满足，下面看连续条件。连续条件。3、用连续条件定特解、用连续条件定特解 A，B为为待待定定常常数数，由由波波函函数数应应满满足足的的“单单值、有限、连续值、有限、连续”条件决定。条件决定。k取特定值取特定值E取特定值取特定值26一维无限深势阱能量的本征值：一维无限深势阱能量的本征值：【思考】【思考】为什么不取为什么不取？其其中中n称称为为量量子子

15、数数，n=1代代表表基基态态，取取其其它它值值代代表表激激发发态态。这这表表明明，一一维维无无限限深深方方势势阱阱中中运运动动粒粒子子的的能能量量是是量量子子化化的的。能能量量本本征征值值也也称称为为能能级级，在在一一定定条条件件下下粒粒子子的的状状态态可可以以从从一一个个能能级级 变变 化化 到到 另另 一一 个个 能能 级级，这这 种种 变变 化化 叫叫 跃跃 迁迁（transition）。27l最低能量（基态能量）最低能量（基态能量）零点能零点能l能级间隔能级间隔宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。28二、势阱中粒子的波函数二、势阱中粒子的波函

16、数定态：定态：29l势阱中粒子的势阱中粒子的概率密度概率密度l势阱中粒子的德布罗意波势阱中粒子的德布罗意波 能能量量为为En的的定定态态n，对对应应波波长长为为n的的德德布布罗意波的驻波。罗意波的驻波。l在在定定态态n(x,t)或或能能量量本本征征态态n(x)上上测测量量粒粒子的能量，结果一定是能量本征值子的能量，结果一定是能量本征值En。30 n很大时，很大时，势势阱内粒子概率阱内粒子概率分布趋于均匀分布趋于均匀量子量子 经典经典|2 n|En|2 n|束缚态束缚态(bound state)E1E2E3E4En n0 x势阱内粒子概率分势阱内粒子概率分布与经典情况不同布与经典情况不同玻尔对应

17、原理玻尔对应原理31 任任何何满满足足适适当当边边界界条条件件和和连连续续性性要要求的波函数求的波函数 ，均可用这个函数系作展开，均可用这个函数系作展开 三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合l正交、归一化条件正交、归一化条件（自己验证自己验证）：l完备性：完备性：展开系数按下式计算展开系数按下式计算（付氏级数付氏级数）32证明：证明：33 平平衡衡位位置置附附近近的的微微振振动动可可近近似似认认为为是是简简谐谐振振动动。例例如如，原原子子核核内内质质子子和和中中子子的的振振动动、原原子子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。和分子的振动、固体晶格离子的

18、振动等。2.3 一维简谐振子一维简谐振子 选选平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点和和势势能能零零点点，简简谐谐振振子能量本征方程为子能量本征方程为本征态是束缚态：本征态是束缚态：341、简谐振子的能量简谐振子的能量 n=0,1,2,采用级数解法。结果如下：采用级数解法。结果如下：35(1)量子化，等间距：量子化，等间距：符合不确定度关系符合不确定度关系(3)有选择定则：有选择定则：(2)有零点能：有零点能：所以，室温下分子可视为刚性。所以，室温下分子可视为刚性。能级跃迁要满足能级跃迁要满足(4)当当n 时，时，符合符合玻尔对应原理。玻尔对应原理。量子化量子化连续连续（宏观振子能量相应（宏观振

19、子能量相应n 1025，E 10-33J）分子振动分子振动 E （10 2 10 1 eV）kT(室温室温)，362、简谐振子的本征波函数、简谐振子的本征波函数Hn是是厄密厄密（Hermite）多项式，多项式，最高阶是最高阶是 373、概率密度、概率密度波函数波函数概率密度概率密度n=0 xn=0 xn=1xn=1xn=2xn=2x38xn很大很大EnE1E2E00U(x)概率密度的特点：概率密度的特点：(1)概率在概率在E U 区仍有分布区仍有分布 量子效应量子效应39例如基态位置概率分布在例如基态位置概率分布在 x=0 处最大，处最大，(3)当当n 时，时，经典振子经典振子在在x=0处概率

20、最小。处概率最小。符合符合玻尔对应原理。玻尔对应原理。量子概率分布量子概率分布xn很大很大0n=1n=2n=3U(x)(2)n小时，概率分布与经典谐振子完全不同小时，概率分布与经典谐振子完全不同 经典概率分布，经典概率分布，40简谐振子简谐振子 n=11 时的概率密度分布：时的概率密度分布：经典简谐振子在原点速度最大，停留时间短，经典简谐振子在原点速度最大，停留时间短，振子在两端速度为零，振子在两端速度为零，粒子出现的概率小；粒子出现的概率小；出现的概率最大。出现的概率最大。虚线是经虚线是经典结果典结果41 可可以以验验证证，简简谐谐振振子子的的能能量量本本征征函函数数系系也也是是完备的，也满

21、足正交、归一化条件：完备的，也满足正交、归一化条件：任任何何满满足足适适当当边边界界条条件件和和连连续续性性要要求求的的波波函函数数 ，均可用这个函数系作展开，均可用这个函数系作展开 简谐振子本征函数系是很好的量子计算基底。简谐振子本征函数系是很好的量子计算基底。42【例】【例】设体系的初始状态为设体系的初始状态为其其中中 0和和 2分分别别是是频频率率为为的的n=1和和2的的简简谐谐振振子能量本征态。子能量本征态。（2）求）求t 时刻体系的状态时刻体系的状态(x,t)。（1）(x,0)是是定定态态吗吗？在在(x,0)上上测测量量体体系系的的能能量量，能能测测到到哪哪些些值值？测测到到这这些些

22、值值的的概概率率是是多多大？测量值的平均值是多少？大？测量值的平均值是多少？43（1）在在状状态态(x,0)上上测测量量体体系系的的能能量量，能能测测到到的的值为值为测到测到E0的概率：的概率：1/3；测到；测到E2的概率：的概率：2/3；它；它们分别等于展开式中相应展开系数的模方。们分别等于展开式中相应展开系数的模方。测量值的平均值：测量值的平均值：不是定态。不是定态。44（2）求求45 定定理理：对对于于势势场场连连续续点点，或或势势场场不不是是无无限限大大的间断点，波函数的一阶导数连续。的间断点，波函数的一阶导数连续。xx0U(x)2.4 量子隧穿效应（量子隧穿效应（tunneling

23、effect）波函数连续波函数连续（概率连续概率连续）：波函数一阶导数连续：波函数一阶导数连续：46xx0U(x)证明：证明：47一、量子隧穿效应一、量子隧穿效应量子隧道效应量子隧道效应 3 设设一一质质量量为为m的的粒粒子子以以能能量量E从从左左边边沿沿x轴轴射射向向势势垒垒。我我们们只只讨讨论论E50nm时时,T0,隧隧道道效应基本消失效应基本消失,量子量子经典。经典。51二、量子隧道效应的应用二、量子隧道效应的应用隧道二极管，金属场致发射，核的隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，衰变，1、核的、核的 衰变衰变U Th+He2382344 是通过是通过 隧道效应出来的。隧道效应出来的。对

24、不同的核，算出的对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。衰变概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV 0核力势能核力势能库仑势能库仑势能522、扫描隧道显微镜、扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy）STM是一项技术上的重大发明，是一项技术上的重大发明，原理：原理：利用量子隧道效应利用量子隧道效应1986.Nob：鲁斯卡鲁斯卡（E.Ruska）1932发明电发明电 子显微镜子显微镜毕宁毕宁（G.Binning）罗尔罗尔（Rohrer）发明发明STM表面的微观结构表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。（不接触、不破坏样品）。用于观察用于观察53U

25、0U0U0A 常量常量 样品表面平均势样品表面平均势 垒高度（垒高度（eV）d 1nm（10A）。d 变变 i 变，反映表面情况。变，反映表面情况。ABdE隧道电流隧道电流 iABUd探针探针样品样品电子云重叠电子云重叠54 隧隧道道电电流流i，对对针针尖尖和和样样品品表表面面之之间间的的距距离离d非非常常敏敏感感。用用金金属属探探针针在在样样品品表表面面扫扫描描，通通过过隧隧道道电电流流的的变变化化就就能能记记录录下下样样品品表表面面的微观形貌和电子分布等信息。的微观形貌和电子分布等信息。扫扫描描隧隧道道显显微微镜镜在在表表面面物物理理、材材料料科科学学、化化学学和和生生物物等等很很多多领领

26、域域的的科科学学研研究究中中都都有有重要的应用。重要的应用。55隧道隧道电流电流反馈传感反馈传感器器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压 扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图56用用STM得到的神经细胞象得到的神经细胞象硅表面硅表面STM扫描图象扫描图象57 1991年年恩恩格格勒勒等等用用STM在在镍镍单单晶晶表表面面逐逐个个移移动动氙氙原子，拼成了字母原子，拼成了字母IBM，每个字母长每个字母长5纳米。纳米。移移动动分分子子实实验验的的成成功功，表表明明人人们们朝朝着着用用单单一一原原子子和和小小分分子子构构成成新新分分子子的的目目标标又又前前进进了了一一步步，其其内内在在意义目前尚无法估量。意义目前尚无法估量。58镶嵌了镶嵌了48个个Fe原子的原子的Cu表面的表面的STM照片照片Fe原子间距：原子间距：0.95 nm，圆圈平均半径：圆圈平均半径：7.13 nm48个个Fe原子形成原子形成“量子围栏量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。围栏中的电子形成驻波。59