第八分离变数法ppt课件.ppt

《第八分离变数法ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八分离变数法ppt课件.ppt（54页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第八章第八章 分离变数法分离变数法1.齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法2.非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程3.非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理4.泊松方程泊松方程5.小结小结(自学自学)本课程本课程 重点重点11.齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法物理问题物理问题:一根长为一根长为 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫 外力作用下的振动外力作用下的振动定解问题定解问题:一一:引引入入2由力学的知识由力学的知识,两端固定弦的振动会形成驻波两端固定弦的振动会形成驻波:二二.基本思想基本思想：三三.四四.把

2、偏微分方程分解成几个常微分方程，其中某把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中某 些常微分方程带有附加条件，从而构成本征值问题。些常微分方程带有附加条件，从而构成本征值问题。本章中，只考虑本征函数为三角函数的情况。本章中，只考虑本征函数为三角函数的情况。3三三.分离变数法求解的基本步骤分离变数法求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的常微分方程和附加条件形式的常微分方程和附加条件X(x)：本征值问题T(t)：4第二步：求本征值和本征函数第二步：求本征值和本征函数 X X(x x)，以，以及及 T T(t t)的表达式的表达式

3、本征值和本征函数T(t)的表达式5这些驻波常称为两端固定弦的本征振动这些驻波常称为两端固定弦的本征振动。这些点是驻波的波节位置，波长为这些点是驻波的波节位置，波长为第三步：得出分离变数形式的本征解第三步：得出分离变数形式的本征解6第四步第四步:根据叠加原理求出一般解根据叠加原理求出一般解7第五步第五步:利用初始条件求叠加系数利用初始条件求叠加系数,代入得定解问题的解代入得定解问题的解利用初始条件得利用初始条件得:8四四.分离变数法的适用范围：分离变数法的适用范围：具有齐次线性泛定方程和齐次边界条件的定解问题。具有齐次线性泛定方程和齐次边界条件的定解问题。A 两端均为第一类齐次边界条件两端均为第

4、一类齐次边界条件B.两端均为第二类齐次边界条件两端均为第二类齐次边界条件C.一段为第一类齐次边界条件一段为第一类齐次边界条件,一端第二类一端第二类齐次边界条件齐次边界条件9例例2.2.第二类其次边界条件的定解问题第二类其次边界条件的定解问题两端自由的杆的纵振动的定解问题为两端自由的杆的纵振动的定解问题为10由限定条件有由限定条件有本征值本征值本征函数本征函数11合并合并0 0，0 0的结果的结果将本征值代入将本征值代入T T的方程，得的方程，得本征解为本征解为12例例3.3.一端为第一类一端为第一类齐次齐次边界条件，另一端为第二类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件边界条件细杆导热，初始

5、时刻：一端温度为细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度度，保持不变，另一端温度为为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。对应的定解问题为对应的定解问题为13设试探解设试探解代入整理后得代入整理后得求解本征值问题：求解本征值问题：代入限制条件：代入限制条件：14要想非零解，必须要想非零解，必须相应本征函数：相应本征函数：15本征解为：本征解为：满足泛定方程和边界条件的一般解为满足泛定方程和边界条件的一般解为根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族根据初始条件确定叠加系数，注意此处的基本函数族16对解的分析对解的分析(1)(1)基本函数族与边界

6、条件有关基本函数族与边界条件有关(2)(2)从解可知，从解可知，t0t0时，发散，因果关系：初始条件可推出以后时，发散，因果关系：初始条件可推出以后时刻，但不能反推出以前时刻。时刻，但不能反推出以前时刻。例三例三.非齐次边界条件情况非齐次边界条件情况对非齐次情况，让尽可能多的边界条件齐次化。对非齐次情况，让尽可能多的边界条件齐次化。根据：叠加原理根据：叠加原理1 1：热传导问题二维矩形区域一边热传导问题二维矩形区域一边y=by=b处处于较高温度处处于较高温度U U，其余三边其余三边x=0,x=a,y=0 x=0,x=a,y=0处于较低温度处于较低温度U0U0，稳定温度分布，求定，稳定温度分布，

7、求定解问题解问题17由于是稳定场，不含初始条件，泛定方程是由于是稳定场，不含初始条件，泛定方程是Laplace方程方程定解定解问题问题18方法一：方法一：设设u(x,y)=v(x,y)+w(x,y)v,w分别满足分别满足泛定方程与齐次边界条件一起作变量分离，用泛定方程与齐次边界条件一起作变量分离，用前面同样的方法求本征值本征函数本前面同样的方法求本征值本征函数本征解线性组合得一般，再由另外的边界条征解线性组合得一般，再由另外的边界条件确定组合系数。件确定组合系数。19方法二：方法二：考虑到边界条件中有三个都是等于同一值，平移温标考虑到边界条件中有三个都是等于同一值，平移温标则有则有(1)(1)

8、设设代入得代入得20(2)(2)求解本征值问题，得求解本征值问题，得本征值本征值本征函数本征函数(3)(3)本征值代入本征值代入Y Y的方程，得的方程，得本征解本征解(4)(4)叠加叠加 代入剩余的边界条件代入剩余的边界条件2122232.2.极坐标系中的分离变数法极坐标系中的分离变数法见书例见书例4 4：匀强电场中置入：匀强电场中置入导体圆柱，静电平衡，导导体圆柱，静电平衡，导体邻近的静电场不再均匀，体邻近的静电场不再均匀，但无限远处仍为匀强电场。但无限远处仍为匀强电场。(三维二维三维二维)取极坐标系取极坐标系如图，柱外空间无如图，柱外空间无(自由自由)电电荷，电势荷，电势u u的分布的分布

9、 导体表面为等势面，且设为零导体表面为等势面，且设为零24边界为圆形，若直接用分离变数法，对边界条件有边界为圆形，若直接用分离变数法，对边界条件有不能由此得到分离的条件。不能由此得到分离的条件。从对称性出发，选用极坐标系，从对称性出发，选用极坐标系，LaplaceLaplace方程为方程为边界条件为边界条件为注意到无限远处，仍为匀强电场，取注意到无限远处，仍为匀强电场，取x x轴方向为匀强电场的方轴方向为匀强电场的方向，有向，有25试探解试探解代入泛定方程代入泛定方程得得由于有（自然周期条件）由于有（自然周期条件）26自然周期条件与方程一起构成本征值问题。自然周期条件与方程一起构成本征值问题。

10、从自然周期条件得，小于从自然周期条件得，小于0 0，零解，零解本征函数本征函数即即27本征值代入本征值代入R R的方程得的方程得这是欧拉型常微分方程，作代换这是欧拉型常微分方程，作代换?得得这里，这里，R R是是t t的函数，解为的函数，解为本征解本征解28叠加，得一般解为叠加，得一般解为考虑条件，得考虑条件，得由于傅氏级数等于由于傅氏级数等于0 0，意味着所有傅氏系数为，意味着所有傅氏系数为0 029即即再考虑趋于无穷时的条件有再考虑趋于无穷时的条件有故有故有比较系数得比较系数得30定解问题的解为定解问题的解为解的物理意义解的物理意义第二项：原来静电场的电势分布。第二项：原来静电场的电势分布

11、。第三项：静电平衡时感应电荷的影响。第三项：静电平衡时感应电荷的影响。第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未第一项：均匀带电柱体周围静电场的电势分布，在本问题中未说明导体柱是否带电，故有此项。说明导体柱是否带电，故有此项。312.非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程傅立叶级数法傅立叶级数法冲量定理法冲量定理法直接求解非齐次方程的定解问题直接求解非齐次方程的定解问题把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解问题后求解问题后求解适用适用齐次的边界条件齐次的边界条件下的非齐次振动和输运问题下的非齐次振动和输运问题32一一.傅立叶级

12、数法傅立叶级数法 由于齐次边界条件由于齐次边界条件,分离变数法得到的解具有傅立叶级数表示形式分离变数法得到的解具有傅立叶级数表示形式:其中关于其中关于X的部分为傅里叶级数的基本函数族，由边界条件决定，的部分为傅里叶级数的基本函数族，由边界条件决定，其系数为其系数为t的函数的函数.将此试探解代入非齐次泛定方程，尝试分离出关于将此试探解代入非齐次泛定方程，尝试分离出关于t的方程的方程,结合结合初值条件初值条件,求出关于求出关于t的解的解,最后带入试探解可得方程的解最后带入试探解可得方程的解.这种方法就称为傅立叶级数法这种方法就称为傅立叶级数法1.引入引入33例如求解定解问题例如求解定解问题第一步第

13、一步:根据初始条件把所求的解展开为傅立叶级数根据初始条件把所求的解展开为傅立叶级数问题为第二齐次边界条件，故设解为问题为第二齐次边界条件，故设解为(1)2.傅立叶级数法的步骤傅立叶级数法的步骤34比较系数得比较系数得 的二阶线性常微分方程的二阶线性常微分方程:第二步第二步:分离出关于分离出关于T的常微分方程并得出初始条件的常微分方程并得出初始条件35把把(1)代入初始条件代入初始条件:得到关于得到关于 初始条件初始条件:36结合初始条件和常微分方程可得通解结合初始条件和常微分方程可得通解:当当 时时当当 时时当当 时时第三步第三步:求出关于求出关于T的常微分方程的通解始条件的常微分方程的通解始

14、条件37所求的解为所求的解为:第四步第四步:叠加求出定解问题的解叠加求出定解问题的解38注意注意:1.关键是分离出关键是分离出 的常微分方程的常微分方程.2.傅立叶级数数法要求：非齐次泛定方程可以分傅立叶级数数法要求：非齐次泛定方程可以分 离，且有可分离的齐次边界条件离，且有可分离的齐次边界条件。3.试探解的级数形式由边界条件确定试探解的级数形式由边界条件确定.4.傅立叶级数法结合分离变数法可以解决齐次边傅立叶级数法结合分离变数法可以解决齐次边界条件的振动和输运问题界条件的振动和输运问题.39练习练习1.使用分离变量法求解定解问题使用分离变量法求解定解问题40二二.冲量定理法冲量定理法用冲量定

15、理法可以解决齐次边界条件的振动和输运问题用冲量定理法可以解决齐次边界条件的振动和输运问题:利用叠加原理，利用叠加原理，v,wv,w所满足的定解问题相对得到简化，以达到我们会求所满足的定解问题相对得到简化，以达到我们会求相应解的目的相应解的目的引入引入:如可以把问题如可以把问题:41转化为转化为:进而来求解进而来求解.关于关于 的解的解,可以用分离变数法求出可以用分离变数法求出,求出求出 ,则该问题则该问题解决解决.求出求出 的方法可用冲量定理法的方法可用冲量定理法42冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想:把连续力的作用视为瞬时力的作用的叠加。把连续力的作用视为瞬时力的作用的叠加。而任何一个

16、瞬时力的作用引起的振动的定解问题为而任何一个瞬时力的作用引起的振动的定解问题为该作用时间很短，来不及使各质点发生位移，只会引该作用时间很短，来不及使各质点发生位移，只会引起速度的改变，可由冲量定理得出，而在此以前无作起速度的改变，可由冲量定理得出，而在此以前无作用，弦仍处于静止状态。因此用，弦仍处于静止状态。因此43冲量对弦的作用可视为动量的改变冲量对弦的作用可视为动量的改变即即则则 时刻后的振动满足的定解问题为时刻后的振动满足的定解问题为 即即将瞬时力作用等价为初始条件将瞬时力作用等价为初始条件44取取则则v v满足的定解问题为满足的定解问题为即等价为即等价为将将 时刻记为时刻记为 时刻时刻

17、45由叠加原理知由叠加原理知这种方法源于冲量定理，故称这种方法源于冲量定理，故称“冲量定理法冲量定理法”：即即将瞬时力的作用转化为初始条件来将瞬时力的作用转化为初始条件来考虑。考虑。关于冲量定理法的数学验证（关于冲量定理法的数学验证（P209P209）自学。）自学。46 冲量定理法的步骤冲量定理法的步骤定解问题定解问题解解:用冲量定理法，有方程用冲量定理法，有方程 47v v的余弦级数展开式为的余弦级数展开式为利用分离变数法得到利用分离变数法得到T解解,把原来的把原来的t换为。换为。48比较系数得比较系数得其余的均为其余的均为0 0，因此，因此式中系数由初始条件确定式中系数由初始条件确定49积

18、分求解积分求解:50注意注意:冲量定理法的前提是初始时刻的值为零冲量定理法的前提是初始时刻的值为零 冲量定理法对齐次边界条件都成立冲量定理法对齐次边界条件都成立(第一、二、三边界条件第一、二、三边界条件)冲量定理法的步骤冲量定理法的步骤:一一:改写方程改写方程(齐次化齐次化,时间初始时刻变为时间初始时刻变为 时刻时刻)二二:求解此方程求解此方程(系数含系数含 ,时间替换为时间替换为 )三三:积分求解积分求解51对于输运定解问题对于输运定解问题:可假定可假定得到得到v v的定解问题为的定解问题为52由于是瞬时热源，可视为初始条件，即由于是瞬时热源，可视为初始条件，即v满足的定解问题满足的定解问题转化为转化为用同样的方法和步骤，求出所求定解问题的解。用同样的方法和步骤，求出所求定解问题的解。53作业作业 P215 P215：2,52,554