3.1 表示力学量的算符.ppt

《3.1 表示力学量的算符.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.1 表示力学量的算符.ppt（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第 三三 章章量子力学中的力学量量子力学中的力学量The Dynamical variable in Quantum Mechanics引言引言引言引言Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics 经经典典力力学学中中物物质质运运动动的的状状态态总总用用坐坐标标、动动量量、角角动动量量、自自旋旋、动动能能、势势能能、转转动动能能等等力力学学量量以以决决定定论论的的方方式式描描述述。而而量量子子力力学学的的第第一一个个惊惊人人之之举举就就是是引引入入了了波波函函数数这这样样一一个个基基本本概概念念，以以概概率率的的特特征征全全面面地

2、地描描述述了了微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态。但但波波函函数数并并不不能能作作为为量量子子力力学学中中的的力力学学量量。于于是是，又又引引入入了了一一个个重重要要的的基基本本概概念念-算算符符，用用它它表表示示量量子子力力学学中中的的力力学学量量。算算符符与与波波函函数数作作为为量量子子力力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。学的核心概念相辅相成、贯穿始终。这这部部分分是是量量子子力力学学的的重重要要基基础础理理论论之之一一，也也是是我我们们学习中的重点。学习中的重点。主要内容主要内容主要内容主要内容Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Me

3、chanicsn3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符 operator for dynamical variable n3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符 momentum operator and angular momentum operator n3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 The motion of electrons in Coulomb field n3.4 氢原子氢原子 Hydrogen atom n3.5 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性 Orthonormality for eigenfunction of Hermit

4、ean operators n3.6 力学量算符与力学量的关系力学量算符与力学量的关系 Relationship between Operator and dynamical variable n3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系 Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle n3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律 The dynamical variable with respect to time.The conservation

5、 laws 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics(1)(1)算符的定义算符的定义算符是指算符是指对一函数作用得到另一函数的运算符号对一函数作用得到另一函数的运算符号 称为算符称为算符Ex.(2)(2)算符的相等算符的相等 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续1)1)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics(3)(3)算符的相加算

6、符的相加(4)(4)算符的相乘算符的相乘 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续2)2)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics(5)(5)线性算符线性算符注注意意(6)算符的本征算符的本征方程方程 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续3)3)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics如果算符如果算符 作用在函数作用在函数 上，等于一常数上，等于一常数 乘以乘以

7、 即即 此称为算符此称为算符 的本征方程的本征方程 称为其本征值，称为其本征值，为属于为属于 的本征函数。的本征函数。(7)构造力学量算符的规则构造力学量算符的规则 若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示由经典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 而得出。而得出。Ex.3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续4)4)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics以

8、上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量于动量表象，表示力学量F F 的算符是将经典表示中的算符是将经典表示中的坐标变量的坐标变量 换成坐标算符换成坐标算符对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题将另外讨论。的力学量，其算符如何构造的问题将另外讨论。即即 必须注意的问题必须注意的问题必须注意的问题必须注意的问题 有有了了表表示示力力学学量量算算符符的的规规则则后后，那那么么算算符符和和它它表示的力学量之间的关系如何？表示的力学量之间的关系如何？3.1 3.1

9、 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续5)5)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics(8)力学量算符与力学量测量值的关系力学量算符与力学量测量值的关系 在在第第二二章章讨讨论论哈哈密密顿顿算算符符 的的本本征征值值问问题题时时已已看看到到，当当体体系系处处在在 的的本本征征态态时时，体体系系有有确确定定的的能能量量，该该能能量量值值就就是是 在在此此本本征征态态中中的的本本征征值值。当当体体系系处处在在任任一一态态中中时时，测测量量体体系系的的能能量量无无确确定定值值，而而是是有有一一系系

10、列列可可能能值值，这这些些可可能能值值均均为为 的的本本征征值值。这这表表明明 的的本本征征值值是是体体系系能能量量的的可可测测值值，将将该该结结论论推推广广到到一一般般力力学量算符，提出一个学量算符，提出一个基本假定：基本假定：如如果果算算符符 表表示示力力学学量量 ，那那么么当当体体系系处处于于 的的本本征征态态中中时时，力力学学量量 有有确确定定值值，这这个个值值就就是是 在在该该本征态中的本征值。本征态中的本征值。3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续6)6)Chapter 3.The Dynamical variable in Qu

11、antum Mechanics(9)厄米算符及其性质厄米算符及其性质 厄米算符的定义厄米算符的定义若对于若对于任意任意两函数两函数 和和 ，算符，算符 满足等式满足等式则称则称 为为厄米算符厄米算符 厄米算符的性质：厄米算符的性质：厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数设设 为厄米算符为厄米算符，其本征方程本征方程Prove:（实数）3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续7)7)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符

12、表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续8)8)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符(续续续续9)9)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics(10)量子力学中表示力学量的算符都是线性量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符厄米算符 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符 Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mec

13、hanics(1)(1)动量算符动量算符动量算符的厄密性动量算符的厄密性使用波函数在无穷远使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件处趋于零的边界条件动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1 1)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics动量算符的本征方程及求解动量算符的本征方程及求解本征方程：本征方程：按分离变量法，按分离变量法，令令归一化常数归一化常数 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续2 2)Chapter 3

14、.The Dynamical variable in Quantum Mechanics归一化系数的确定一化系数的确定连续的本征函数一般是不能归一化的连续的本征函数一般是不能归一化的因此对于连续谱的本征函数一般归一化为因此对于连续谱的本征函数一般归一化为 函数函数函数的性质函数的性质 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续3 3)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics为了确定为了确定C的数值，计算积分的数值，计算积分取取这正是自由粒子的这正是自由粒子的 de Broglie 波的空波的空 间部分波函数。间部

15、分波函数。动动量量本本征征值值构成连续谱构成连续谱 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续4 4)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics 若粒子处在边长为若粒子处在边长为 的立方体内运动，则可的立方体内运动，则可用所谓箱归一化方法确定常数用所谓箱归一化方法确定常数C。当粒子被限制在边长为当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征的立方体内时，本征函数函数 满足周期性边界条件满足周期性边界条件xyzo 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续5 5)Chapter 3.The Dynamica

16、l variable in Quantum Mechanics本征值本征值 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续6 6)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics由归一化条件由归一化条件 这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱，粒子动量的本征界条件后，连续谱变成了分立谱，粒子动量的本征态为束缚态态为束缚态。归一化本征函数归一化本征函数 自由粒子波函数自由粒子波函数 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续7 7)C

17、hapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics结结 果果 讨讨 论论 从从这这里里可可以以看看出出，只只有有在在分分立立谱谱情情况况下下，波波函函数数才才能归一化为一；在连续谱情况下，归一化为能归一化为一；在连续谱情况下，归一化为 函数。函数。在在自自由由粒粒子子波波函函数数 所所描描写写的的状状态态中中，粒粒子子动动量量有有确确定定值值，该该确确定定值值就就是是动动量量算算符符在在这这个个态态中中的的本本征值。征值。由由 可以看可以看出，相邻两本征值的间隔出，相邻两本征值的间隔 与与 成反比。成反比。当当 足够大时，本征值间隔可任意小

18、；当足够大时，本征值间隔可任意小；当 时，时，即离散谱，即离散谱连续谱连续谱 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续8 8)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics轨道角动量算符的定义轨道角动量算符的定义球球 坐坐 标 xzr y(2)(2)角动量算符角动量算符 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续9 9)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics利用直角坐标与球坐标之间的变换关系，求各偏导数利用直角坐标与球坐标之间的变换关

19、系，求各偏导数 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1010)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics由上面结果得由上面结果得则角动量算符则角动量算符 在球坐标中的表达式为：在球坐标中的表达式为：3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1111)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics角动量平方算符角动量平方算符本征方程本征方程 为保证其厄密性，要求波函数应满足周期性条件为保证其厄密性，要求波函数应满足周期性条件在球坐标系中

20、在球坐标系中即即 的本征值问题的本征值问题 本征值本征值:3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1212)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics 可可见见，微微观观系系统统的的角角动动量量在在z z方方向向的的分分量量只只能能取取分分离离值值(零零或或 的的整整数数倍倍)。由由于于z z方方向向是是任任意意取取定定的的，所所以以角动量在空间任意方向的投影是量子化的角动量在空间任意方向的投影是量子化的角动量在空间任意方向的投影是量子化的角动量在空间任意方向的投影是量子化的。其中其中 称为磁量子数称为磁量子数本

21、征函数本征函数 由归一化条件由归一化条件 归一化本征函数归一化本征函数 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1313)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics正交性：正交性：本征方程本征方程:在球坐标系中在球坐标系中 令令 将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：的本征值问题的本征值问题 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1414)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics

22、 此此为为球球面面方方程程（球球谐谐函函数数方方程程）。其其中中 是是 属属于于本本征征值值 的的本本征征函函数数。利利用用分分离离变变量量法法及及微微分方程的幂级数解法，求球面方程在分方程的幂级数解法，求球面方程在区区域域内内的的有有限限单单值值函函数数解解（其其求求解解方方法法在在数数学学物物理理方方法中已有详细的讲述）法中已有详细的讲述），可得，可得 的本征值的本征值磁量子数磁量子数角量子数角量子数 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1515)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics 的本征值的本征

23、值:可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值球球谐谐函函数数 是是 属属于于本本征征值值 的的本本征征函函数数，是是缔缔合合勒勒让让德德多多项项式式，满满足足正正交交 -模方条件：模方条件：是是 属于本征值属于本征值 的本征函数，的本征函数，正交模方条件正交模方条件 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1616)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics由由 的正交归一化条件的正交归一化条件求得归一化因子求得归一化因子:注注 意意（a a）球球谐谐函函数数系系 是是 与

24、与 有有共共同同的的本本征征函数系函数系（2 2）简并情况）简并情况 在求解在求解 本征方程的过程中，出现角量子数本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数和磁量子数 。3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1717)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum MechanicsEx:简并度为简并度为1 即即 属于本征值属于本征值 的线性独立本征函数的线性独立本征函数 共有共有 个。因此个。因此,的本征值的本征值 是是 度简并的度简并的。的本征值的本征值 仅由角量子数仅由角量子数 确定，而本征确定，而本征函数函数 却由却由 和和

25、确定。对于一个确定。对于一个 值，值，可取可取 ，这样就有，这样就有 个个 值相同而值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值值不同的本征函数与同一个本征值 对应。对应。简并度为简并度为3 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续1818)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics确定了角动量的大小确定了角动量的大小 本征值：本征值：角动量的矢量模型角动量的矢量模型角动量角动量：角动量的分量角动量的分量 （的的本征值本征值）：）：因此我们可以把角动量看因此我们可以把角动量看成是具有一定长度并以成是具有一定长度并以一一定的夹角绕轴进动的矢量定的夹角绕轴进动的矢量。角动量的空间取向量子化角动量的空间取向量子化Z 0+1 m=+2-1-2 l=2 夹角的余弦夹角的余弦确定了角动量的方向确定了角动量的方向 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符(续续续续2 2)Chapter 3.The Dynamical variable in Quantum Mechanics