71(曲面及其方程).ppt

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1、第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念(surface)二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面(surface of revolution)(cylindrical surface)(quadratic surface)第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1水桶的表面、水桶的表面、曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义曲面方程的定义曲面的实例曲面的实例(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2)不不在曲面在曲面S上的点的坐标都

2、上的点的坐标都不不满足方程满足方程;如果曲面如果曲面S有下述关系有下述关系:那么那么,就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形.曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念台灯的罩子面等台灯的罩子面等.与三元与三元方程方程2 曲面的参数方程为曲面的参数方程为凡三元方程都表示空间一曲面凡三元方程都表示空间一曲面是一个三元方程是一个三元方程,注注但不表示任何曲面但不表示任何曲面.错错,如如曲面及其方程曲面及其方程3以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解所求方程为所求方程为球心在原点的球面方程球心在原点的球面方程例例特殊特殊是是球

3、面上任一点球面上任一点,曲面及其方程曲面及其方程4解解所求方程所求方程是是曲面上任一点曲面上任一点,例例的的全体所组成的曲面方程全体所组成的曲面方程.曲面及其方程曲面及其方程5 研究空间曲面有研究空间曲面有(1)已知曲面已知曲面,(2)已知方程已知方程,两个基本问题两个基本问题(讨论旋转曲面讨论旋转曲面)(讨论柱面讨论柱面,二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究图形研究图形.曲面及其方程曲面及其方程6二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.此曲线称此曲线称称为称为旋转曲面旋转曲面.旋转一周所成的曲面旋转一周所成的曲

4、面,母线母线.为方便为方便,平面取作坐标面平面取作坐标面,旋转轴取旋转轴取作坐标轴作坐标轴.曲面及其方程曲面及其方程(surface of revolution)常把曲线所在常把曲线所在以一条以一条平面曲线平面曲线母线母线轴轴7旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将得方程得方程代入代入曲面及其方程曲面及其方程8旋转曲面方程旋转曲面方程.旋转一周的旋转一周的即为即为同理同理,旋转曲面方程旋转曲面方程为为旋转一周的旋转一周的绕绕z轴轴绕绕y轴轴曲面及其方程曲面及其方程9 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之总之,位于坐标面上的曲线位于坐标面上的曲线C,绕

5、其上的绕其上的一个一个 坐标轴转动坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以所成的旋转曲面方程可以这样得到这样得到:而用另两个变量的平方和的平方根而用另两个变量的平方和的平方根(加正、加正、负号负号)替代曲线方程中另一个变量即可替代曲线方程中另一个变量即可.曲面及其方程曲面及其方程10解解 圆锥面方程圆锥面方程所得旋转曲面称为所得旋转曲面称为圆锥面圆锥面.两直线的交点称为两直线的交点称为圆锥面的圆锥面的顶点顶点,例例 两直线的夹角两直线的夹角圆锥面的圆锥面的半顶角半顶角.称为称为试试建立顶点在坐标原点建立顶点在坐标原点O,旋旋半顶角为半顶角为 的的圆锥面的方程圆锥面的方程.转轴为转轴为z轴轴,面上面上

6、直线方程为直线方程为曲面及其方程曲面及其方程直线直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周11圆锥面方程圆锥面方程 即即 圆锥面方程圆锥面方程(用得较多用得较多)绕绕y轴轴旋转所得曲面方程及图形旋转所得曲面方程及图形.即即曲面及其方程曲面及其方程面上面上直线方程为直线方程为12 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程.旋旋转转双双曲曲面面例例双曲线双曲线(1)分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴;绕绕x轴轴旋转旋转绕绕z轴轴旋转旋转曲面及其方程曲面及其方程13旋旋转转椭椭球球面面 旋转抛物面旋转抛物面(2)绕绕y

7、轴和轴和z轴轴;(3)绕绕z轴轴.曲面及其方程曲面及其方程14定义定义三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L称为柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.曲面及其方程曲面及其方程(cylindrical surface)所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线L 柱面柱面.准线准线母母线线15因此因此,该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上圆为准线面上圆为准线,例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.在在xOy面面上上,解解现在现在空间直角坐标系空间直角坐标系中讨论问题中讨论问题.母线平行于母线平行于z轴

8、的轴的柱面柱面.曲面及其方程曲面及其方程表一个表一个圆圆C.过点过点作平行作平行z轴的直线轴的直线L,设点设点 在圆在圆C上上,对任意对任意z,点点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C,平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标的坐标都满足此方程都满足此方程,在在空间空间,就是就是圆柱面方程圆柱面方程.此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面.16平面平面表示母线平行于表示母线平行于z表示母线平行于表示母线平行于z轴轴曲面及其方程曲面及其方程抛物柱面抛物柱面柱柱面面举举例例 其准线是其准线是xOy面面上的抛物线上的抛物线轴的柱面轴的柱面,的柱面的柱面,其

9、准线是其准线是xOy面上面上的直线的直线17从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆椭圆柱面柱面双曲双曲柱面柱面 抛物抛物柱面柱面 直角坐标系中表示母线平行于直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面轴的柱面,在空间在空间线为线为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准其准曲面及其方程曲面及其方程母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y轴轴18四、二次曲面四、二次曲面 1.二次曲面的定义二次曲面的定义 相应地平面被称为相应地平面被称为三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为球面、球面、二次曲面二次曲面.如如:双曲

10、柱面等双曲柱面等)某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、圆柱面、抛物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.曲面及其方程曲面及其方程19 研究的方法是采用研究的方法是采用截痕法截痕法.以下用以下用截痕法截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面从而了解曲面即用坐标面和即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线考察其交线(即截痕即截痕)的形状的形状,然后加以综合然后加以综合,的全貌的全貌.曲面及其方程曲面及其方程202.椭球面椭球面(ellipsoid)曲面及其方程曲面及其方程由方程可知由方程可知即即这说明椭球面包含在由

11、平面这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内围成的长方体内.21曲面及其方程曲面及其方程先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：去截这个曲面去截这个曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是这些截痕都是这些截痕都是椭圆椭圆.再用平行于再用平行于xOy面面的平面的平面这些截痕也都是这些截痕也都是椭圆椭圆.22椭圆截面的大小椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化随平面位置的变化而变化.曲面及其方程曲面及其方程与平面与平面 椭圆椭圆.同理同理,的截痕也是的截痕也是23曲面及其方程曲面及其方程椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：3.抛物面抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆

12、抛物面24（与与 同号）同号）双曲抛物面双曲抛物面设设图形如下：图形如下：有两个异号的平方项有两个异号的平方项,另一变量另一变量方程方程 z=xy表示表示什么曲面？什么曲面？马鞍面马鞍面特点是特点是:是一次项是一次项,无常数项无常数项.(马鞍面马鞍面)曲面及其方程曲面及其方程254.双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面特点是特点是:平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号.曲面及其方程曲面及其方程 炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面单叶双曲面的形状的形状.26类似地类似地,亦表示亦表示想一想想一想单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面.方程方程以

13、上两方程的图形是与以上两方程的图形是与此图形此图形 一样吗一样吗?曲面及其方程曲面及其方程27双叶双曲面双叶双曲面 或或 特点是特点是:平方项有一个取平方项有一个取正号正号,另两个取负号另两个取负号.它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面.注注曲面及其方程曲面及其方程28 类似地类似地,或或亦表示亦表示以上两方程的图形是与以上两方程的图形是与此图形此图形双叶双曲面双叶双曲面 或或方程方程双叶双曲面双叶双曲面.一样吗一样吗曲面及其方程曲面及其方程29思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？30思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程31