信号与系统12645.ppt

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1、信号处理原理信号处理原理清华大学计算机系列教材清华大学计算机系列教材 徐明星、郑方徐明星、郑方 编著编著联系方式：联系方式：xumxxumx,cn信号的概念、描述、分类信号处理的目的、步骤典型信号介绍信号的基本运算信号的分解内容提要1基本概念基本概念信号是反映（或载有）信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。信号的概念信号的概念自然和物理信号例如：语音、图象、地震信号、生理信号等人工产生的信号例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体内容。信号描述方法信号描述方法数学描述使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量

2、的函数或序列的形式。因此，常可将“信号”与“函数”和“序列”等同起来 波形描述按照函数随自变量的变化关系，把信号的波形画出来。信号的分类信号的分类确定信号与随机信号要点：区分方法：给定的自变量的值，是否可以唯一确定信号的取值。任意给定一个自变量的值，如果可以唯一确定其信号和取值，则该信号是确定信号，否则，如果取值是不确定的随机值，则是随机信号。周期信号与非周期信号要点：关系式是否成立？周期信号的周期（正值）：最小T值非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号。时间连续信号

3、与时间离散信号信号的自变量是否在所讨论的整个连续区间内都有定义？定义域连续？NONO时间离散信号YESYES时间连续信号模拟信号、抽样信号与数字信号通常被称为通常被称为“序列序列”模拟信号模拟信号的定义域和值域都有是连续的；抽样信号抽样信号的定义域离散而值域连续；数字信号数字信号在定义域和值域都是离散的。计算机特别适合于处理数字信号因果信号与非因果信号如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为因果信号。表示信号在过去时间内不可能发生（取值为零）！若信号仅仅在过去（时间零点之前）有非零值，则称为反反因果信号。实值信号与复值信号如果信号的取值是实数，则称为实值信号，简称实信号。如果信号的取值是复数，

4、则称为复值信号，简称复信号。复信号是为了研究方便而引入的不是不是因果信号，就是非非因果信号，信号在时间零点之前有非零值。能量信号与功率信号定义信号的能量为：定义信号的能量为：离散时间信号离散时间信号离散时间信号离散时间信号连续时间信号连续时间信号连续时间信号连续时间信号定义信号的功率为：定义信号的功率为：离散时间信号离散时间信号离散时间信号离散时间信号连续时间信号连续时间信号连续时间信号连续时间信号如果信号的能量是有限的，则称为能量有限信号，简称能量信号。如果信号的功率是有限的，则称为功率有限信号，简称功率信号。信号处理及其目的信号处理及其目的信号处理对信号进行提取、变换、分析和综合等处理过程

5、的统称。信号处理的目的去伪存真特征抽取编码解码去除信号中冗余的和次要的成分。把信号变成易于进行分析和识别的形式。把信号变成易于传输、交换与存储的形式（编码），或从编码信号中恢复出原始信号（解码）。数字信号处理的步骤数字信号处理的步骤模数转换ADC数字信号处理DSP数模转换DAC自变量(时间)和幅值同时离散化变换域分析、数字滤波、识别、合成数字信号还原为模拟信号保证信息不丢失的理论基础是：采样定理典型信号典型信号指数信号：微分或积分后还是指数信号参数参数 符号正号负号信号增强A信号衰减CD绝对值大小变化速度快D变化速度慢C0直流信号B-1-0.50.512.557.51012.515BCDA正余

6、弦号：说明：(1)K为振幅(2)为角频率(3)为初相位正弦信号余弦信号正弦正弦余弦余弦复指数信号：欧欧欧欧拉拉拉拉公公公公式式式式复指数信号与正余弦信号之间的关系指数因子s是复数一个复指数信号可以分解成为实、虚两部分。其一个复指数信号可以分解成为实、虚两部分。其中，实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。中，实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。指数因子实部s表征了正弦与余弦函数振幅随时间变化的情况：若s0，正弦、余弦信号是增幅振荡；若s0：右移b1：压缩0：不需反褶2/的分量。这样，常把=0.2/这段频率范围称为矩形信号的频带宽度，简称带宽。3傅里叶变换傅里叶变换周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱

7、谱线的间隔为为非周期信号可以看成是周期T T1 1趋于无限大的周期信号非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线长度趋于零。周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的长度为为解决方法FT变换非周期信号的傅里叶变换FTFT：IFTIFT：变换核FT/IFTFT/IFT的性质的性质唯一性：如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。可逆性：如果 ，则必有 ，反之亦然。FT存在的充分条件：时域信号绝对可积。FS与与FT比较比较信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成幅度频谱密度函数相位频谱密度函数典型非周期信号的典型非周期信号的FT单边指数信号：偶双边指数信号：(实偶函数)矩形脉冲信

8、号：其频谱是实函数脉高为脉高为E E，脉宽为脉宽为 幅度谱相位谱矩形脉冲信号FT的特点：FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积FT的过零点位置为频域的能量集中在第一个过零点区间带宽只与脉宽有关，与脉高E 无关。带宽为符号函数：不满足绝对可积条件，但存在不满足绝对可积条件，但存在FTFT。可借助可借助可借助可借助双边指数衰减函数来求符号函数的双边指数衰减函数来求符号函数的双边指数衰减函数来求符号函数的双边指数衰减函数来求符号函数的FTFTFTFT。符号函数与双边指数函数的乘积信号f1的频谱F1积分并化简，可得符号函数的频谱为幅度谱相位谱冲激信号：冲激函数的频谱等于常数，即在整个频率范围内

9、频谱是均匀分布的。显然，在时域中变化异常剧烈的冲激函数中包含了幅度相等的所有频率分布。因此，这种频谱常被称为均匀谱，或白色谱。FT定义冲激函数的抽样性质上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。当脉宽逐渐变窄时，其频谱必然展宽。可以想象，若0，而E=1，这时矩形脉冲就变成了(t)，其相应频谱 F()必定等于常数1。单位冲激信号与直流信号的频谱单位冲激信号与直流信号的频谱由FT对称性冲激函数的频谱为常数，什么样的函数其频谱为冲激函数呢？直流信号的傅里叶频谱是位于零点的冲激函数频谱零点处的冲激函数来自信号的直流分量阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT。FT的线性性原点处的冲激来自u(t)中的直流分量F

10、T的性质的性质线性性齐次性叠加性反褶和共扼性FT是线性运算奇偶虚实性偶 偶奇 奇实偶 实偶实奇 虚奇实（=实偶+实奇）实偶+虚奇=偶+j奇=实偶*EXP(实奇)实信号的FT：偶共扼对称虚信号的FT：奇共扼对称实信号和虚信号的FT幅度谱函数是偶函数，幅度谱偶对称实函数的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数!对称性（对偶性）FT与IFT的变换核函数是共轭对称的在计算机程序设计实现上，IFT可以通过FT来完成。其中，FF*()表示按自变量进行FT，结果仍是t的函数。f f(t t)是偶函数是偶函数f f(t t)是奇函数是奇函数证明：将变量t与互换，可以得到等号右边是对函数F(t)的傅里叶变换！尺度变换特

11、性时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩a0a1)等效于在频域中扩张；反之，信号在时域中扩展(a1)则等效于在频域中压缩。对于a=-1，则说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶。信号波形压缩a倍，则信号随时间的变化会加快a倍，所以它所包含的频率分量也要增加a倍，即频谱被展宽a倍。同时，根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然要减小a倍。等效脉宽等效带宽对任意形状的对任意形状的f(t)f(t)和和F(F()假设假设t t，时，时，f(t)f(t)0 0，F(F()00f(t)与与F(w w)所覆盖的面积等于所覆盖的面积等于F(w w)与与2 2p pf(t)在零点的数值在零点的数

12、值F(0)与与2 2p pf(0)。设设f(0)与与F(0)分别等于各自对应曲线的最大值，则定义信号的分别等于各自对应曲线的最大值，则定义信号的时移特性频移特性不影响幅度谱，只在相位不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位谱上叠加一个线性相位与尺度变换结合与尺度变换结合与尺度变换结合与尺度变换结合频谱搬移频谱搬移时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。微分特性积分特性时域微分频域微分时域积分频域积分卷积定理时域卷积定理频域卷积定理时域相关性定理若函数f2(t)是实偶函数，则函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一

13、对傅里叶变换对。自相关的傅里叶变换相关性定理与卷积定理一致。帕斯瓦尔定理周期信号的周期信号的FT正弦信号的FT余弦信号的FT正弦和余弦信号FT的频谱图一般周期信号的FT设周期为设周期为T T1 1的周期信号在第一个周期内的函数为的周期信号在第一个周期内的函数为f f0 0(t)(t)则则冲激函数的搬移特性信号的四则运算周期为T1的冲激函数串周期单位冲激序列的FT冲激串的FSFT的对称性FT的线性性(周期为T1)于是冲激函数筛选特性FTf0(t)利用FT变换的卷积定理，得结果是离散的冲激函数序列组成的频谱把周期函数把周期函数f(t)f(t)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数两边取傅里叶变换已知于是

14、对比对比周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换连续信号量化编码抽样抽样信号数字信号抽样过程方框图抽样过程方框图抽样脉冲抽样脉冲f(t)fs(t)p(t)由上图可见，连续信号经抽样作用变成抽样信号以后，往往需要再经量化、编码变成数字信号。这种数字信号经传输，然后进行上述过程的逆变换就可恢复出原连续信号。基于上述原理所构成的数字通信系统在很多性能上都要比模拟通信系统优越。4抽样定理抽样定理抽样信号的抽样信号的FT信号理想抽样前后频谱的变化原始信号及其频谱原始信号及其频谱原始信号及其频谱原始信号及其频谱冲激序列及其频谱冲激序列及其频谱冲激序列及其频谱冲激序列及其频谱抽样信号及其频谱抽样信号及其

15、频谱抽样信号及其频谱抽样信号及其频谱抽样间隔发生变化时域离散时域离散时域离散时域离散频域周期频域周期频域周期频域周期按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数（时域离散频域周期），是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期2/Ts所进行的周期延拓。结论：要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足：（1）信号是频带受限的信号是频带受限的；（2）采样率至少是信号最高频率的两倍采样率至少是信号最高频率的两倍。间间间间 矩矩矩矩抽样定理抽样定理几个概念奈奎斯特频率是信号频率的上限奈奎斯特频率是信号频率的上限奈奎斯特频率是信号频率的上限奈奎斯特频率是信号频率的上限从抽样

16、信号恢复原始信号的方法理论上工程上将抽样信号通过截止频率为将抽样信号通过截止频率为将抽样信号通过截止频率为将抽样信号通过截止频率为 、放大倍数为放大倍数为放大倍数为放大倍数为TsTsTsTs的的的的低通低通低通低通滤波器滤波器滤波器滤波器。5LT与与ZT实际碰到的信号总是因果信号实际碰到的信号总是因果信号正变换积分下限从零开始绝对可积条件的要求限制了某些增长信号（如绝对可积条件的要求限制了某些增长信号（如eat）FT的存在的存在阶跃信号、周期信号的变换式中出现冲激函数阶跃信号、周期信号的变换式中出现冲激函数引入衰减因子与f(t)相乘令则上式被称为 拉普拉斯变换 式拉普拉斯变换LT定义拉普拉斯反

17、变换ILT定义拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法，常称为s域分析。原函数若考虑零点处的冲激，则象函数复数拉普拉斯变换拉普拉斯变换衰减因子引入的意义（作用）从数学观点看这是将函数f(t)乘以因子以使之能满足绝对可积的条件从物理意义看这是将频率由变换为复频率s，只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。（因为复数（因为复数s s可以同时提供两种信息）可以同时提供两种信息）双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换LT与ILT定义与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系与单边与单边与单边与单边LTLTLTLT的关系的关系的关系的关

18、系因果信号的单边因果信号的单边因果信号的单边因果信号的单边LTLTLTLT与双边与双边与双边与双边LTLTLTLT是一样的。是一样的。是一样的。是一样的。LT的性质的性质线性性时域平移单边单边单边单边LTLT双边双边双边双边LTLT复频域平移尺度变换单边单边单边单边LTLT双边双边双边双边LTLT当时域反褶时，LBf(-t)=F(-s)共轭特性若f(t)是实函数，则时域微分单边单边单边单边LTLT双边双边双边双边LTLT时域积分单边单边单边单边LTLT双边双边双边双边LTLT复频域微分其中初值和终值定理使用条件：信号是因果信号，且在时不包含冲激或高阶奇异函数。计算方法：注意事项：如果通过该定理

19、求出的初值和终值与实际不符，则计算结果肯定有误。但即使初值与终值这两点与实际符合了，也不能保证所求的LT是正确的。典型信号的典型信号的LT周期信号的LT第一周期的LT抽样信号的LT周期单位冲激序列的LT连续信号冲激抽样后的单边LT由由LT求求FT由LT求FT的基本公式应用条件由双边LT求FT：可以由单边LT求FT：信号不是因果的信号是因果的不行要根据收敛坐标定求解拉普拉斯变换的收敛域，大纲不作要求Z变换定义变换定义Z变换是离散信号与系统的理论研究中的一种重要的数学工具它把离散系统的数学模型差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。设连续因果信号设连续因果信号x(t)x(t)经均匀抽样

20、，则抽样信号经均匀抽样，则抽样信号x xs s(t)(t)的表达式为的表达式为取拉氏变换取拉氏变换变换积分与求和的次序，并利用冲激函数的抽样特性，可得变换积分与求和的次序，并利用冲激函数的抽样特性，可得引入新的复变量引入新的复变量z z=e esTsT，通常令通常令T=1T=1，则则ZT变换定义序列 x(n)的ZT复变函数 X(z)的IZT 称 x(n)与X(z)为一对变换对。简记为：x(n)X(z)z-1的幂级数代表时延单边ZT双边ZTZ变换收敛域变换收敛域收敛域ROC定义使给定序列x(n)的Z变换 X(z)中求和级数收敛的z的集合。收敛的充要条件是判别判别判别判别 收敛的方法收敛的方法收敛

21、的方法收敛的方法比值法比值法比值法比值法根值法根值法根值法根值法特定序列特定序列的的ROC有限长序列序列x(n)在nn2(其中n1n2)时为零ROC至少是序列的左右端点只会影响其在零点和无穷点的收敛情况有限项的级数右边序列序列x(n)在nn2时为零(如果n2为-1，则序列是反因果序列)若满足则左边序列的收敛域为左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分端点只影响无穷端点只影响无穷远处的收敛情况远处的收敛情况双边序列序列在整个区间都有定义。看成左边序列和右边序列的组合若若R Rx1x1和和R Rx2x2存在且存在且R Rx2x2 R Rx1x1，则双边序列的则双边序列的ROCROC为为 否则，否则

22、，ROCROC为空集，即双边序列不存在为空集，即双边序列不存在Z Z变换。变换。补充说明求ROC所求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际的收敛域可能会更大。实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。与与ROC有关的结论有关的结论Z Z变换极点与其变换极点与其变换极点与其变换极点与其ROCROC的关系的关系的关系的关系常见序列及其常见序列及其ZT单位冲激序列ROC：单位阶跃序列矩形脉冲序列序列的单边ZT用双边ZT表示为Zx(n)=ZBx(n)u(n)序列是因果序列的充要条件是 x(n)=x(n)u(n)序列是反因果序列的充要条

23、件是 x(n)=x(n)u(-n-1)单边阶跃序列的用途单位斜变序列 nu(n)单位指数序列 anu(n)单边正余弦序列要尽可能利用常见ZT对和ZT基本性质求解一般序列的ZT6ZT的性质的性质线性性ROC时域平移性双边ZT单边ZT左移右移左移右移ZT的性质的性质时域扩展性扩展因子a1-1相当于在原序列每两点之间插入a-1个零相当于原序列先反褶，再每两点之间插入-a-1个零如果序列是偶对称的，则如果序列是奇对称的，则如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点（或极点）z0 那么它必含有另外一个与z0 互为倒数的零点（或极点）1/z0时域共轭性如果一个序列是实序列，则如果一个实序列的ZT含

24、有一个零点（或极点）z0，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点（或极点）z0*Z域尺度变换（或序列指数加权）可以用复指数序列调制序列的相位特性。Z域微分（或序列线性加权）ROC唯一可能的变化是加上或去掉零或无穷。初值定理X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则终值定理X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则只有在极限存在时才能用，此时X(z)的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上则只能位于z=1，且是一阶极点）。时域卷积定理卷积的卷积的ZTZT的的ROCROC至少是原序列至少是原序列ZTZT的的ROCROC的交集。的交集。当出现零极点相抵时，当出现零极点相抵时，ROCROC可能会扩大。可能会扩大

25、。Z域卷积定理设C1和C2收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线的收敛域为帕斯瓦尔定理逆逆Z变换的求解变换的求解部分分式展开法把X(z)展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加，即可得到x(n)。通常展开的对象是X(z)/z，而不是X(z)。幂级数展开法把X(z)按z-1展成幂级数（通常是使用长除法），那么其系数组成的序列x(n)即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。留数法T(z)在某个s阶极点处的留数的求法：先将T(z)中含有该极点的所有因式全部去掉，然后对z进行s-1次微分，再除以(s-1)!，最后求出表达式在该极点处的函数值，即为所求。其中，pm为围线包围的X

26、(z)zn-1的极点设p是T(z)=X(z)zn-1的s阶极点，则T(z)在该极点处的留数为：7离散时间系统离散时间系统定义离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入x(n)通常称为激励，输出y(n)称为响应。输入输出的对应关系可简记为x(n)y(n)。系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。信号作为待传输消息的表现形式，可以看作运载消息的工具，而系统则是为为传送信号或对信号进行加工处理而构成而构成的某种组合。研究系统所关心的问题是：对于给定信号形式与研究系统所关心的问题是：对于给定信号形式与传输、处理的要求，系统能否与其匹配？它应具传输、处理的要求，系统能否与其匹

27、配？它应具有怎样的功能和特性？有怎样的功能和特性？线性离散时间系统对任意一组常数ck(1 k K)，系统满足下列条件否则，为非线性离散时间系统。时不变离散时间系统在相同样起始条件下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。否则，为时变离散时间系统。如果系统既是线性的，又是时不变的，则称为线性时不变系统，如果系统既是线性的，又是时不变的，则称为线性时不变系统，简记为简记为LTILTI系统。系统。系统分类系统分类LTI离散时间系统离散时间系统LTI离散时间系统的表示有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、相加、乘系数单位延时、相加、乘系数单位延时、相加、乘系数单位延时、相加、乘系数。一般用差分方程

28、差分方程来描述。其一般形式是：离散系统的响应离散系统的响应单位冲激响应：离散系统对单位冲激序列 的零状态响应记作记作h h(n n)，即即单位阶跃响应：离散系统对单位阶跃序列 的零状态响应系统响应零状态响应零输入响应系统处于零状态时对应的响应。没有激励时系统的响应。用ZT法求解离散时间系统响应的基本步骤（1）求激励的ZT（2）对表示离散系统的差分方程两边施加ZT（3）把激励的ZT代入，求出响应的ZT（4）求（3）的IZT，即可得到系统的响应离散系统的传递函数离散系统的传递函数逆系统：如果一个系统的传递函数是H(z)，那么称传递函数为1/H(z)的系统为原系统的逆系统。逆系统对信号的运算是原系统

29、对信号的运算的逆。传递函数或系统函数：表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值结论1：系统的零状态响应等于激励与单位冲激响应之间的卷积证明：证明：所以因为任意信号可用冲激信号的组合来表示传递函数H(z)与单位冲激响应h(n)是一对ZT对结论2：证明：证明：因为所以于是系统的单位阶跃响应等于其单位冲激响应的部分和结论3：证明：证明：因为积分关系所以两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积，传递函数是串联子系统传递函数的乘积两个系统并联后新系统的单位冲激响应是并联子系统单位冲激响应的和，传递函数是并联子系统传递函数的和H1(z)H2(z)H1(z)H1(z)H1(z)

30、H2(z)H1(z)+H1(z)系统串联系统并联离散系统的特性离散系统的特性关于离散系统稳定性和因果性的结论离散系统是稳定的充要条件：单位冲激响应绝对可积。只要输入有界输出必定有界输出变化不领先于输入变化证明：设对任意的有界输入有即输出也是有界的，所以系统稳定。假设系统的单位冲激响应不是绝对可积的，即即输入是有界的。于是若系统激励为显然即输出是无界的。这与系统是稳定的相矛盾。具有有理传递函数的离散LTI系统是因果的充要条件：ROC是传递函数最外面极点之外的某个圆外部的区域；传递函数分子多项式z的阶次不大于分母多项式z的阶次。具有有理传递函数的因果离散LTI系统是稳定的充要条件：传递函数的全部极

31、点都在单位圆内。若离散LTI系统具有有理传递函数，则结论可进一步推广稳定系统传递函数的ROC应包含单位圆在内。因果系统传递函数的ROC是某圆外区，包含无穷远点。系统特性与传递函数ROC的关系离散系统是因果的充要条件：单位冲激响应是因果序列。（可利用（可利用y(n)=x(n)*h(n)来来证明）证明）利用下式证明利用下式证明h(n)h(n)H(z)H(z)离散系统的频率响应离散系统的频率响应定义：定义：定义：定义：如果离散系统的系统函数为H(z)，则称 为离散系统的频率响应，简称频响，它反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响。通常是复值函数通常是复值函数通常是复值函数通常是复值函数幅频响应

32、幅频响应相频响应相频响应序列的离散时间傅里叶变换是在单位圆上的z变换（可参考抽样信号的傅里叶变换的特性）系统的频率响应是周期为系统的频率响应是周期为系统的频率响应是周期为系统的频率响应是周期为w w w ws s s s(序列的重复频率，当，当T=1T=1时，时，w ws s=2 2p p)的周期函数，并且的周期函数，并且的周期函数，并且的周期函数，并且关于关于关于关于w=0w=0w=0w=0和和和和w=w=w=w=w w w ws s s s/2/2/2/2是是是是共轭对称的。共轭对称的。共轭对称的。共轭对称的。系统频率响应在系统频率响应在0 0 区间的取值，反映了系统对激励信号中从直流区间

33、的取值，反映了系统对激励信号中从直流到频率到频率 s s/2/2之间各频率分量的响应情况。之间各频率分量的响应情况。当把频率为 的正弦序列施加到系统函数为H(z)的系统上时，系统的稳态响应是同频率的正弦序列，其幅度被扩大了 倍，相位被延迟了 。此结论对余弦序列同样适用。系统的频率响应是其单位冲激响应的离散时间系统的频率响应是其单位冲激响应的离散时间傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换低通系统低通系统带通系统带通系统高通系统高通系统带阻系统带阻系统全通系统全通系统幅频响应分类幅频响应分类离散系统按其离散系统按其幅频特性幅频特性在奈奎斯特区间内的在奈奎斯特区间内的走势走势可分为：可分为：低通、

34、高通、带通、带阻、全通。低通、高通、带通、带阻、全通。低通、高通、带通、带阻、全通。低通、高通、带通、带阻、全通。幅频响应值越大的频率成分，越容易通过系统；幅频响应值越小的频率成分越容易被系统滤除。频率响应几何确定法频率响应几何确定法传递函数频响零点向量差极点向量差在z平面原点处加入或去掉零极点,不会影响系统的幅频特性,只影响系统的相频特性如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动，如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动，转动一周就可以根据下式得到系统的频响。转动一周就可以根据下式得到系统的频响。8离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换CTFTCTFT不适宜于在数字

35、计不适宜于在数字计算机上进行计算。算机上进行计算。其主要原因为：信号覆盖了整个时间轴（时间受限信号除外）信号是时间连续的（定义域是连续的）信号的频谱覆盖了整个频谱轴（频带受限信号除外）信号的频谱是连续的时域要离散、有限！频谱要离散、有限！时域周期延拓时域截断时域抽样解决信号的离散化问题解决信号的离散化问题工程上无法处理时间无限信号工程上无法处理时间无限信号要使频率离散，就要使时域变成周期信号要使频率离散，就要使时域变成周期信号时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积通过窗函数对信号进行逐段截取连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现周期延拓后的周期函数具

36、有离散谱通过与抽样信号相乘得到经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。DFT的推导的推导处理后信号的连续时间傅里叶变换它是离散函数，仅在离散频率点f=k/NTs处存在冲激，强度为ak，其余各点为0。它是周期函数，周期为Nf0=1/Ts，每个周期内有N个不同的幅值。时域的离散时间间隔Ts(或周期To)与频域的周期fs(或离散时间间隔fo)互为倒数。时域是时域是周期的周期的时域是时域是离散的离散的DFT定义定义DFT的定义设h(nTs)是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,N-1，这N个点的宽度为N的DFT为：N点DFT的变换核IDFT定义定义IDFT的定义设H(k/NTs)是

37、连续频率函数H(f)的N个抽样值k=0,1,N-1，这N个点的宽度为N的IDFT为：N点IDFT的变换核变换核定义DFT定义定义正逆变换的核函数分别可以表示为 和DFT可以表示为核函数的正交性可以表示为IDFT可以表示为 周期性与对称性周期性与对称性 用途用途 周期性与对称性周期性与对称性 离散谱的性质离散谱的性质离散谱定义离散谱定义离散序列h(nTs)(0nN)的DFT离散谱为离散谱性质离散谱性质离散谱性质离散谱性质周期性序列的序列的N N点点DFTDFT离散谱是周期为离散谱是周期为N N的序列。的序列。幅度对称性如果离散序列x(nTs)(0nN)为实序列，则其N点DFT关于原点和N/2都有

38、共轭对称性 DFT的定义是针对任意的离散序列x(nTs)中的有限个离散抽样(0n=0;i-)des=(tmp&0 x1)1;return des;取出取出tmptmp的最后一位，的最后一位，放到放到desdes的指定位上。的指定位上。2 FOR(I=0，L=N/2，M=1;IR;I+)/逐级计算.L:级内群数 FOR(J=0;JL;J+)/逐群计算.M:群内单元数 FOR(K=0;KM;K+)/逐蝶形单元计算 POS=K+J*(M*2);POS=K+J*(M*2);TMP=DATAPOS+M*WK*L;TMP=DATAPOS+M*WK*L;DATAPOS+M=DATAPOS-TMP;DATAP

39、OS+M=DATAPOS-TMP;DATAPOS +=TMP;DATAPOS +=TMP;L/=2;L/=2;L/=2;L/=2;/群数减少一倍 M*=2;M*=2;M*=2;M*=2;/蝶形单元数增加一倍 FFT算法流程框架算法流程框架1 按下标二进制对输入进行整序符号说明N=2N=2N=2N=2R R R R是是是是FFTFFTFFTFFT的点数。的点数。的点数。的点数。I I I I表示当前级，表示当前级，表示当前级，表示当前级，J J J J表示当前群，表示当前群，表示当前群，表示当前群，K K K K表示当前蝶形单元。表示当前蝶形单元。表示当前蝶形单元。表示当前蝶形单元。L L L

40、L表示当前级内的群数，表示当前级内的群数，表示当前级内的群数，表示当前级内的群数，M M M M表示当前群内的蝶形单元数。表示当前群内的蝶形单元数。表示当前群内的蝶形单元数。表示当前群内的蝶形单元数。FFT算法复杂度分析算法复杂度分析FFT的复杂度分析设预先计算好一个蝶形单元的计算需要2次复数加法和1次复数乘法对任一次迭代：共有N/2个蝶形单元，因此需N次复数加法和N/2次复数乘法r次迭代的总计算量为复数加法次数复数乘法次数算法复杂度IDFTIDFT同样可用同样可用FFTFFT实现，算法复杂度实现，算法复杂度相同相同。二维二维DFT二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换2D-DFT空间中的矩阵向

41、量(或点)表示为 可以把g(m,n)看作是一幅二维数字图像，则g(m,n)是图像在坐标(m,n)处的亮度(灰度级)。若把g(m,n)视为一个二元函数（自变量为m和n），则它是数字图像在平面上的亮度分布函数。定义定义定义定义1 1 1 1：二维矩阵向量g(m,n)的2D-DFT定义定义定义定义2 2 2 2：二维矩阵谱向量G(p,q)的2D-IDFT二维二维FFT二维二维二维二维FFTFFT相当于对行和列分别进行一维相当于对行和列分别进行一维相当于对行和列分别进行一维相当于对行和列分别进行一维FFTFFT运算。运算。运算。运算。具体的实现办法是：先对各行逐一进行一维先对各行逐一进行一维先对各行逐

42、一进行一维先对各行逐一进行一维FFTFFT，然后再对变换后的新矩阵的各列逐一进行一维然后再对变换后的新矩阵的各列逐一进行一维然后再对变换后的新矩阵的各列逐一进行一维然后再对变换后的新矩阵的各列逐一进行一维FFTFFT。for(int i=0;iM;i+)FFT_1D(ROWi，N);for(int j=0;jN;j+)FFT_1D(COLj，M);数据第i行行变换后的数据第j列二维二维FFT2D-FFT实验实验实验数据实验数据实验数据为一图像数据文件，文件格式是纯文本格式纯文本格式。文件正文的第一行的值表示矩阵的大小，即N值。后面的N行是点阵图像，每行有N个数据。N最大为256。在图像点阵中，

43、.代表0（即没有点），o代表1（即有点）。9文件内容示例（9x9汉字大大）可视为一个可视为一个9 9X9X9的的二维矩阵向量二维矩阵向量施加施加施加施加FFTFFT，再直接再直接再直接再直接IFFTIFFT，显示还原后的显示还原后的显示还原后的显示还原后的N*NN*NN*NN*N汉字图像。汉字图像。汉字图像。汉字图像。施加施加施加施加FFTFFT，再压缩为再压缩为再压缩为再压缩为（N/2N/2N/2N/2）*（N/2N/2N/2N/2）的谱，然后的谱，然后的谱，然后的谱，然后IFFTIFFT，最后显示还原后的最后显示还原后的最后显示还原后的最后显示还原后的（N/2N/2N/2N/2）*（N/2

44、N/2N/2N/2）的汉字图像。的汉字图像。的汉字图像。的汉字图像。施加施加施加施加FFTFFT，再压缩为再压缩为再压缩为再压缩为（N/2N/2N/2N/2）*（N/2N/2N/2N/2）的谱，然后先补零再的谱，然后先补零再的谱，然后先补零再的谱，然后先补零再IFFTIFFT，最后显示还原后的最后显示还原后的最后显示还原后的最后显示还原后的N*NN*NN*NN*N的汉字图像。的汉字图像。的汉字图像。的汉字图像。实验内容实验内容实验注意事项实验注意事项 图像数据是以文本形式存放在文件中的，读入后要转化为数值（如转为0，o转为10），才能进行FFT变换。为了显示还原后的图像，需要将IFFT变换后的数据以文本形式入文件中。IFFT变换后的数据是复数，根据复数模的大小，将它们分别转成和o字符。这就要设定一个控制阈值，模大于阈值的复数对应o字符，模小于阈值的复数对应字符。控制阈值要通过实验确定。