函数的连续性(课件).ppt

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1、四、函数的连续性四、函数的连续性1.函数的增量函数的增量(一一)、连续的定义、连续的定义2.连续的定义连续的定义例例1 1证证由定义由定义2.9知知3.单侧连续单侧连续性质性质2.14例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若若f(x)在在定义域内连续定义域内连续,则称则称f(x)为连续函数为连续函数.定理定理2.3:基本初等函数在定义域内都是连续的基本初等函数在定义域内都是连续的.f(x)在在(a,b)内连续内连续:(二二)、函数的间断点及类型、函数的间断点及类型1x

2、=2例例4 41.第一类间断点第一类间断点1)跳跃间断点跳跃间断点2)可去间断点可去间断点注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例5 52.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只能是不要以为函数的间断点只能是个别的几个点个别的几个点.狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。内每一点处都间断，且都是第二类间断点。在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.12/16例

3、例8 8解解(三三)、连续函数的性质、连续函数的性质例如例如,结论结论:一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.复合函数的连续性复合函数的连续性(四四)、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1 (有界性定理有界性定理)设设f(x)在在a,b上上连续连续,则则f(x)在在a,b上有界上有界.连续但无界连续但无界例如例如,定义定义:定理定理2 (最大最大、最小值定理最小值定理)设设f(x)在在a,b上上连续连续,则则f(x)在在a,b上可取到最大值上可取到最大值,最小值最小值.注意注

4、意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.Th3 (介值定理介值定理)MCmab几何解释几何解释:定义定义:推论推论(零点存在定理零点存在定理)几何解释几何解释:注意注意(1)若若f(x)在在a,b上单调上单调,则只有唯一零点则只有唯一零点.(2)若若a,b改为改为(a,b)结论未必成立结论未必成立.在在(1,2)连续连续,但但Th2.6不成立不成立.-1例例1 1证证由零点定理由零点定理,例例2 2证证由零点定理由零点定理,证证:在在0,1连续连续,由由零点定理零点定理(五五)、小结小结1.函数在一

5、点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性.四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数练练 习习 题题思考题思考题但反之不成立但反之不成立.例例但但练练 习习 题题练习题答案练习题答案