14.09级Ch8.5.2Adams方法和一般线性多步法.ppt

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1、5.2 一般线性多步法一般线性多步法局部截断误差为局部截断误差为 Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式 一般一般l 步线性多步法为步线性多步法为 不全为零不全为零,否则为否则为l-1-1步法步法.其中其中 是独立常数，是独立常数，当当 时，是时，是显式方法显式方法.当当 时，是时，是隐式方法隐式方法.进行积分得出来的，进行积分得出来的，这样这样构造线性多步法的方法称为构造线性多步法的方法称为数值求积法数值求积法，它是构造线性多步法的一种途径，另外还有它是构造线性多步法的一种途径，另外还有Taylor法法.两种构造线性多步法的方法

2、：两种构造线性多步法的方法：1 1 数值积分法数值积分法显式显式AdamsAdams方法方法隐式隐式AdamsAdams方法方法其它方法其它方法 Simpson Simpson方法（二步法）方法（二步法）方程方程(1.1)在在上积分，即上积分，即由由Simpson求积公式，得求积公式，得用用 近似近似 ，得，得Simpson方法方法局部截断误差为局部截断误差为结论：结论：SimpsonSimpson方法是方法是四阶隐式四阶隐式方法方法.例例 Milne(米尔尼米尔尼)法法方程方程(1.1)在在 上积分，即上积分，即用过点用过点 的插值多项式近似的插值多项式近似得得 Milne方法方法局部截断误

3、差为局部截断误差为结论：结论：Milne方法是方法是四阶四阶显式线性多步法显式线性多步法.2 Taylor展开法（待定系数法）展开法（待定系数法）将将(5.12)(5.12)中的中的 写成写成点展开，点展开，并将所有项全在并将所有项全在在在 点展开点展开比较等式两边相同幂次前的系数比较等式两边相同幂次前的系数.则则即即若令若令 则有则有则该方法为则该方法为m步方法步方法.且主局部截断误差为且主局部截断误差为其中其中说明说明 （1）一般应用的线性多步法都是大于或等于一般应用的线性多步法都是大于或等于一阶一阶的的（2）构造构造p阶方法的方法：阶方法的方法：方法，这样的方法亦称为与微分方程方法，这样

4、的方法亦称为与微分方程（1.1）相容相容的方法的方法.中的中的m为为p.（隐式时（隐式时 ），使），使(5.16)选择参数选择参数例例5 推导最高阶的二步线性多步法推导最高阶的二步线性多步法解：解：二步显式多步法为二步显式多步法为二步隐式多步法为二步隐式多步法为四个可选参数四个可选参数五个可选参数五个可选参数解得解得且且因此得阶数最高的二步显式线性多步法为因此得阶数最高的二步显式线性多步法为其主局部截断误差为其主局部截断误差为 ，系数，系数 ，是，是三阶三阶方法方法.解得解得对应的二步隐式线性多步法为对应的二步隐式线性多步法为其主局部截断误差为其主局部截断误差为 ，系数，系数 ，是四阶方法，是

5、四阶方法.Simpson方法方法二步隐式多步法为二步隐式多步法为五个可选参数五个可选参数则则(5.12)确定的线性多步法至少为确定的线性多步法至少为2 2l-1-1阶的阶的.隐式类似隐式类似.但是线性但是线性应用应用.这是因为由这是因为由(5.16)得到的方程组的解的情况不定得到的方程组的解的情况不定.另外，常另外，常 注注（1 1）阶数）阶数m不是可以无限地高，它与步数不是可以无限地高，它与步数l 有关有关.从理论从理论上讲，可以构造上讲，可以构造2 2l-1-1阶的显式阶的显式 l 步多步法与步多步法与2 2l 阶的隐式阶的隐式 l 步多步步多步法法.因为若因为若(5.12)中中 ，则为显

6、式线性多步法，共有，则为显式线性多步法，共有2 2l个参个参量：量：，可由，可由(5.16)式得到关于这式得到关于这2 2l l个参个参变数的方程组，从而求解方程组，求得变数的方程组，从而求解方程组，求得 多步法与单步法有很大的不同，并不是所有的线性多步法都可以多步法与单步法有很大的不同，并不是所有的线性多步法都可以用四步用四步四阶四阶Adams显式公式、三步四阶显式公式、三步四阶Adams隐式公式、隐式公式、Milne(米米尔尼尔尼)公式、四阶公式、四阶Hamming（哈明）公式（哈明）公式也可由也可由Taylor展开得到展开得到.举例举例1 1 确定式中待定系数确定式中待定系数 ，使公式具

7、有四阶精度，使公式具有四阶精度.解解 由泰勒展开或由由泰勒展开或由(5.16)得得这里有这里有8个未知量，个未知量，5个方程，故有个方程，故有3个自由度。若令个自由度。若令求解该方程即得求解该方程即得四步四阶显式四步四阶显式Adams公式：公式：设设若（若（a）式中以）式中以 fk+1+1取代取代 fk-3-3 则得则得三步四阶三步四阶Adams隐式公式：隐式公式：若（若（a）式中令）式中令 ，则可类似导出，则可类似导出四阶四阶Milne（米尔尼）公式：（米尔尼）公式：举例举例2 Hamming公式的推导公式的推导令令通过通过Taylor展开，并考虑具有展开，并考虑具有4 阶精度，可得到阶精度

8、，可得到5个等式，从中解个等式，从中解其局部截断误差为其局部截断误差为或或主局部截断误差主局部截断误差生）公式生）公式(5.14),其稳定性较差，哈明用其稳定性较差，哈明用 的不同值进行试验，的不同值进行试验，出出6个未知量，则有个未知量，则有1个自由度，若取个自由度，若取 即得即得Simpson（辛甫（辛甫发现当发现当 时，公式的稳定性较好时，公式的稳定性较好.哈明公式为哈明公式为注注（2）预估校正改进方法预估校正改进方法 同预估校正改进同预估校正改进Adams方法一样，利用两个同阶的显式方方法一样，利用两个同阶的显式方 预估，四阶预估，四阶Milne显式方法显式方法校正校正,四阶四阶Ham

9、ming隐式方法隐式方法 改进改进法和隐式方法，即四阶法和隐式方法，即四阶Milne方法（显式）和四方法（显式）和四阶阶Hamming方法方法（隐式）可以合成以下预估校正改进方法（隐式）可以合成以下预估校正改进方法.理解构造理解构造线性多步法的两种途径：线性多步法的两种途径：数值积分法数值积分法Taylor方法（待定系数法）方法（待定系数法）作业作业 P.436 7(1)、(2),8 用梯形外推法求解用梯形外推法求解取取 h=0.1.步长为步长为h 时时,步长为步长为 外推外推 二阶隐式方法二阶隐式方法二阶隐式方法二阶隐式方法四阶四阶梯形外推法梯形外推法时时,用用Euler预估预估-校正校正-外推法求解外推法求解取取 h=0.1.步长为步长为h 时时,步长为步长为 外推外推 二阶显式方法二阶显式方法二阶显式方法二阶显式方法四阶四阶？Euler预估预估-校正校正-外推法外推法时时,