2.3直线、平面垂直的判定及其性质课件.ppt

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1、 第一课时第一课时直线与平面垂直的概念和判定直线与平面垂直的概念和判定 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定问题提出问题提出 1.1.前面我们全面分析了直线与平面平前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究们有必要进一步研究.2.2.直线与直线存在有垂直关系，直直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？从理论上加以认识？知识探究（一）：知识探究（一）：直线

2、与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 思考思考1 1：田径场地面上竖立的旗杆与：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？你还能列举一些类似的实例吗？思考思考2 2：将一本书打开直立在桌面上，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？系如何？思考思考3 3：如图，在阳光下观察直立于如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆地面的旗杆ABAB及它在地面的影子及它在地

3、面的影子BCBC，随着时间的变化，影子，随着时间的变化，影子BCBC的位置的位置在移动，在各时刻旗杆在移动，在各时刻旗杆ABAB所在直线所在直线与影子与影子BCBC所在直线的位置关系如何所在直线的位置关系如何？ABC思考思考4 4：上述旗杆与地面、书脊与桌上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为面的位置关系，称为直线与平面垂直线与平面垂直直.一般地，直线与平面垂直的基本一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？垂直？如果一条直线如果一条直线l与平面与平面内的任内的任意一条直线都垂直，意一条直线都垂直，我们就说我们就说直线直线l与平面与平面互

4、相互相垂直垂直.思考思考5 5：在在图形上图形上、符号上符号上怎样表示怎样表示直线与平面垂直？直线与平面垂直？l画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。如果直线如果直线l与平面与平面垂直，则直线垂直，则直线l叫做叫做平面平面的垂线的垂线，平面，平面叫做叫做直直线线l的垂面的垂面，它们的交点叫做，它们的交点叫做垂足垂足.lA A垂线垂线垂面垂面垂足垂足1、过一点可作多少条平面过一点可作多少条平面的垂线？的垂线？2、过一点可作多少个直线过一点可作多少个直线l的垂面？的垂面？知识探究（二）：知识探究（二）：直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 思考思考1 1：对于一条

5、直线和一个平面，如果对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？决什么问题？如何操作？思考思考2 2：我们需要寻求一个简单可行的办我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直法来判定直线与平面垂直.2、如果直线如果直线l与平面与平面内的内的两条直线两条直线垂直，垂直，能保证能保证l 吗？吗？1、如果直线如果直线l与平面与平面内的内的一条直线一条直线垂直，垂直，能保证能保证l吗？吗？思考思考3 3：如图，将一块三角形纸片如图，将一块三角形纸片ABCABC沿折痕沿折痕ADAD折起，把翻折后的纸片竖起折起，把翻折后的纸片

6、竖起放置在桌面上，使放置在桌面上，使BDBD、DCDC与桌面接触，与桌面接触，观察折痕观察折痕ADAD与桌面的位置关系与桌面的位置关系.ABCDABCD思考思考4 4：由上可知当折痕：由上可知当折痕ADAD垂直平面垂直平面内的两条相交直线时，折痕内的两条相交直线时，折痕ADAD与平与平面垂直面垂直.由此我们是否能得出直线与由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法？平面垂直的判定方法？A AB BC CD DA AB BC CD D如何调整折痕如何调整折痕ADAD的位置，才能使翻折后的位置，才能使翻折后直线直线ADAD与桌面所在的平面垂直？与桌面所在的平面垂直？定理：定理：一条直线一条直线与与

7、一个平面内的两条一个平面内的两条相交直线相交直线都垂直，都垂直，则该则该直线直线与此与此平面平面垂直垂直.alPb直线直线与与平面垂直的判定定理平面垂直的判定定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言“线线垂直，则线面垂直线线垂直，则线面垂直”思考思考5 5：如果一条直线垂直于一个如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？线与这个平面垂直吗？理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知 .求证：求证：abnm例例2 2 在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，ABBCABBC，PA=ABPA=AB，

8、D D为为PBPB的中点，的中点，求证：求证：ADPC.ADPC.PABCDE例例3 3 侧棱与底面垂直的棱柱称为侧棱与底面垂直的棱柱称为直直棱柱棱柱.在直四棱柱在直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，当底面四边形当底面四边形ABCDABCD满足什么条件时，满足什么条件时，有有A A1 1CBCB1 1D D1 1，说明你的理由，说明你的理由.AA1BCDB1C1D1ACBDACBDD.D.小结作业小结作业 P67 P67 练习：练习：1.1.P74P74习题习题2.32.3 B B组：组：2 2，4.4.第二课时第二课时 直线和平面所成的角直线和平

9、面所成的角 2.3.1 2.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定问题提出问题提出1 1.直线和平面垂直的定义和判定定理分直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？别是什么？定义：定义：如果一条直线与平面内的任意一如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平条直线都垂直，则称这条直线与这个平面面互相互相垂直垂直.定理：定理：一条直线一条直线与与一个平面内的两条一个平面内的两条相交直线都垂直，相交直线都垂直，则该则该直线直线与此与此平面平面垂直垂直.2.2.当直线与平面相交时，对于直当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一线与平面垂直的情形，我们已作

10、了一些相关研究，对于直线与平面不垂直些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析的情形，我们需要从理论上作些分析.（一）：（一）：平面的斜线平面的斜线 1 1、当直线与平面相交时，它们可能垂当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，直，也可能不垂直，如果一条直线和一如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做个平面相交但不垂直，这条直线叫做这这个平面的斜线个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线和平面的交点叫做斜足斜足.lP斜线斜线斜足斜足思考思考：过一点作过一点作一个平面的斜线一个平面的斜线有多少条？有多少条？2 2、过斜线上过斜线上斜足外斜足外一点向平面引垂一

11、点向平面引垂线线POPO，连结垂足，连结垂足O O和斜足和斜足A A的直线的直线AOAO叫叫做这条斜线在这个平面上的做这条斜线在这个平面上的射影射影.lPAO思考：思考：斜线斜线l在平面在平面内的射影有几条内的射影有几条？垂线斜线射影射影3 3、两两条平行直线、相交直线、条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？影可能是哪些图形？4 4、如图，过如图，过平面平面外外一点一点P P引平面引平面的两条斜线段的两条斜线段PAPA、PBPB，斜足为，斜足为A A、B B，再过点，再过点P P引平面引平面的垂线，垂足的垂线，垂足为为O O，如果，如果PA

12、PAPBPB，那么，那么OAOA与与OBOB的大的大小关系如何？反之成立吗？小关系如何？反之成立吗？OPAB5 5、如图，过如图，过平面平面内内一点一点P P引平面引平面的两条斜线的两条斜线PAPA、PBPB，这两条斜线，这两条斜线段在平面段在平面内的射影分别为内的射影分别为PCPC、PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC与与PDPD的大小关的大小关系确定吗？系确定吗？CPABD 不确定，由直不确定，由直线和这个平面所成线和这个平面所成的角确定。的角确定。（二）：（二）：直线和平面所成的角直线和平面所成的角 1 1、平面的一条斜线与这个平面总存在一平面的一条斜线与这个平面总存

13、在一个相对倾斜度，我们设想用一个个相对倾斜度，我们设想用一个平面角平面角来反映这个来反映这个倾斜度倾斜度，并且这个角的大小，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？那么角的顶点宜选在何处？l2 2、如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，A A为斜足，为斜足，ACAC为平面为平面内的任意一条直内的任意一条直线，能否用线，能否用BACBAC反映斜线反映斜线ABAB与平面与平面的相对倾斜度？为什么？的相对倾斜度？为什么？CAB3 3、反映斜线与平面相对倾斜度的反映斜线与平面相对倾斜度的平面平面角的顶点为斜足角的顶点

14、为斜足，角的一边在角的一边在斜线上斜线上，另一边另一边在平面内的哪个位在平面内的哪个位置最合适？为什么？置最合适？为什么？PAB4 4、我们把平面的一条斜线和它在平面上我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的的射影所成的锐角锐角，叫做这条斜线和这，叫做这条斜线和这个平面所成的角个平面所成的角.在实际应用或解题中，在实际应用或解题中，怎样去求这个角？怎样去求这个角？PAB（1 1）一条直线与平面垂直时，规定一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为它们所成的角为9090；（2 2）一条直线和平面平行或在平面一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为内时，规定它们所成的角为0 0.（3

15、3）直线与平面所成的角的取值范直线与平面所成的角的取值范围是什么？围是什么？5 5、如图，如图，BADBAD为斜线为斜线ABAB与平面与平面所所成的角，成的角，ACAC为平面为平面内的一条直线，内的一条直线，那么那么BADBAD与与BACBAC的大小关系如何？的大小关系如何？DCABBAC BADBAC BAD6 6、两条平行直线与同一个平面所两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？的角的大小关系如何？7 7、过平面过平面外一点外一点P P引平面引平面的斜线，的斜线，斜

16、足为斜足为A A，若斜线，若斜线PAPA与平面与平面所成的所成的角为角为5050，那么点，那么点A A在平面在平面内的运内的运动轨迹是什么图形？动轨迹是什么图形？PAO理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中.（1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角；（2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO（2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1

17、CDCD所成的角所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO例例2 2 如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，B B为斜足，为斜足，AOAO平面平面，垂足为，垂足为O O，直，直线线BCBC在平面在平面内，已知内，已知ABC=60ABC=60，OBC=45OBC=45，求斜线，求斜线ABAB和平面和平面所成所成的角的角.ABCOD作业作业:P67 P67 练习：练习：2.2.P74P74习题习题2.3A2.3A组：组：9.9.我们已经学习过直线与平面的垂直关系，我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答下列几个问题：请大家回答下列几个问题：(1)、直线与平面垂直的

18、定义、直线与平面垂直的定义.(2)、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的判定定理.(3)、有关概念：平面的、有关概念：平面的垂线、垂线、斜线、斜斜线、斜线在平面上的射影线在平面上的射影.一、一、知识拓展知识拓展 PlAO结论结论1：斜线上任意一点在平面的射影一定在斜线上任意一点在平面的射影一定在 该斜线的射影上。该斜线的射影上。结论结论2：当直线与平面垂直时，直线在平面内当直线与平面垂直时，直线在平面内 的射影是一个点。的射影是一个点。二、猜想与发现二、猜想与发现 根根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在面内的

19、任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？平面的一条斜线垂直呢？lm 结结论：论：平面内的一条直线如果和平面的平面内的一条直线如果和平面的一一条条斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直.平面内的一条直线具备什么条件，才能和平面的一条平面内的一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？垂直呢？PAO三、证明三、证明 现在我们把实验发现的结论表达成命题的形式现在我们把实验发

20、现的结论表达成命题的形式.已知已知:如图如图,PA、PO分别是平面分别是平面的垂线和斜线的垂线和斜线,AO是是PO在平面在平面上的射影上的射影,在在内内，a AO 求证求证:PO 分析：这是证明两条直线互相垂直的问题分析：这是证明两条直线互相垂直的问题.在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？证明：证明：PAPOa三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.四、剖析定理四、剖析定理pppAAAAOOOOaaaap(2)

21、直线是平面直线是平面内垂直于的任意一条直线内垂直于的任意一条直线,和斜线和斜线的位置关系有几种的位置关系有几种?反映三垂线定理的图形有几种可反映三垂线定理的图形有几种可能能的的情况情况?并画出图并画出图形形.(2)因为是平面因为是平面内的任意一条直线内的任意一条直线,所以与斜线的所以与斜线的位置关系有两种情况位置关系有两种情况:一是不过斜足的异面垂直；一是过一是不过斜足的异面垂直；一是过斜足的相交垂直斜足的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况反映三垂线定理的图形有四种情况(如图如图).答案答案:(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立三垂线定理对任意位置的平面都成立.因为定理中并没有因为定理

22、中并没有水平平面的限制水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系,与平面的位置无关与平面的位置无关.(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面本定理的证明过程是对水平位置的平面而进行的而进行的.那那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由.五、定理的应用五、定理的应用归纳：归纳：应用三垂线定理的思维过程是应用三垂线定理的思维过程是“一定一定”定平面及平面内的一条直线定平面及平面内的一条直线“二找二找”找这个平

23、面的垂线、斜线及找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；斜线在这个平面上的射影；“三证三证”证明平面内的一条直线与射影垂直。证明平面内的一条直线与射影垂直。三垂三垂线逆定线逆定理：理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜一条斜线垂线垂直，那么它也和这条斜直，那么它也和这条斜线线的射影的射影垂垂直直.例例 侧棱与底面垂直的棱柱称为侧棱与底面垂直的棱柱称为直直棱柱棱柱.在直四棱柱在直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，当底面四边形当底面四边形ABCDABCD满足什么条件时，满足什么条件时，有有A A1 1

24、CBCB1 1D D1 1，说明你的理由，说明你的理由.AA1BCDB1C1D1ACBDACBD六、小结六、小结（1）本节课的教学可概括为四个字：）本节课的教学可概括为四个字：即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题.（2）叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证）叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂线面垂直法直法.（3）此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平）此定理是空间两条

25、直线垂直的判定定理，与平面的位置无关面的位置无关.运用定理的步骤是：运用定理的步骤是：“一定、二找、一定、二找、三证明三证明”.用用剖、剖、证、证、猜、猜、返回返回2.3.2 2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 第一课时第一课时二面角的有关概念二面角的有关概念 问题提出问题提出 1.1.空间两个平面有平行、相交两空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一平面相交，我们应从理论上有进一步的认识步的认识.2.2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，在铁

26、路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？点认识这种现象？公路公路（一）：一）：二面角的有关概念二面角的有关概念 1 1、直、直线上的一点将直线分割成两部线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做分，每一部分都叫做射线射线.平平面上的一条直线将平面分割成面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分两部分，每一部分叫叫半平面。

27、半平面。半平面半平面半平面半平面射线射线射线射线2 2、将、将一条直线沿直线上一点折起，得一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一到的平面图形是一个角；将个角；将一个平面一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为间图形称为二面角二面角，你能画一个二面，你能画一个二面角的直观图吗？角的直观图吗？3 3、在、在平面几何中，我们把角定平面几何中，我们把角定义为义为“从一点出发的两条射线所从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角组成的图形叫做角”，按照这种，按照这种定义方式，二面角的定义如何？定义方式，二面角的定义如何？从从一条直线出发的两个半平面所一条直线出

28、发的两个半平面所组成的图形叫做二组成的图形叫做二面角。面角。ll二面角定义：二面角定义：相关概念：相关概念：一一个二面角是由一条直线和两个半平个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线面组成，其中直线l叫做叫做二面角的棱二面角的棱，两个半平面两个半平面、都叫做都叫做二面角二面角的面的面。l棱棱面面二面角的表示二面角的表示二二面角通常面角通常记作记作 “二面角二面角-l-”.或或“二面角二面角-ABAB-”或或“二面角二面角P-P-l-Q-Q”lABl4、两个相交平面共组成几个二面角？、两个相交平面共组成几个二面角？（二）：二）：二面角的平面角二面角的平面角 思考思考:把门打开，门和墙构成二

29、面角；把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？二面角，这些二面角的区别在哪里？思考思考2:2:我们设想用一个平面角来反映我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？角的那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？两边在如何分布？l思考思考3:3:在二面角在二面角-l-的棱上取一的棱上取一点点O O，过点，过点O O分别在二面角的两个面内分别在二面角的两个面内任作两条射线

30、任作两条射线OAOA，OBOB，能否用，能否用AOBAOB来刻画二面角的张开程度？来刻画二面角的张开程度？lO OA AB B思考思考4:4:在上图中如何调整在上图中如何调整OAOA、OBOB的位的位置，使置，使AOBAOB被二面角被二面角-l-唯一确唯一确定？这个角的大小是否与顶点定？这个角的大小是否与顶点O O在棱在棱上的位置有关？上的位置有关？lO OA AB BlO OA AB B如图，在二如图，在二面面角角-l-的棱的棱l上任取一上任取一点点O O为为顶点，在两顶点，在两个半平面个半平面和和内内分别作垂直于棱的两条射分别作垂直于棱的两条射线线OAOA和和OBOB，这两条射这两条射线线

31、OA和和OB所所成成的角的角AOB叫叫做做二面角的平面角二面角的平面角.lO OA AB B 二二面角的大小可以用它的平面角来度面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少面角是多少度度.（1 1）平）平面角是直角的二面角叫做直二面角是直角的二面角叫做直二面角；面角；（2 2）二）二面角的两个面重合时，二面角的大小面角的两个面重合时，二面角的大小为零度；为零度；（3 3）二）二面角的两个面合成一个平面时，二面面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小角的大小为为180180一一般地，二面角的平面角的取值范般地，二面角的平面角的取值范

32、围为围为思考思考5:如如图，过二面角图，过二面角-l-一个面一个面内一点内一点A A，作另一个面的垂线，垂足，作另一个面的垂线，垂足为为B B，过点，过点B B作棱的垂线，垂足为作棱的垂线，垂足为O O，连结连结AOAO，则，则AOBAOB是二面角的平面角是二面角的平面角吗？为什么？吗？为什么？ABO Ol思思考考6:6:如图，平面如图，平面垂直于二面角的垂直于二面角的棱棱l，分别与面，分别与面、相交于相交于OAOA、OBOB，则，则AOBAOB是二面角的平面角吗？为是二面角的平面角吗？为什么？什么？lA AO OB B理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1

33、1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求二面角求二面角B B1 1-AC-B-AC-B大小的正切值大小的正切值.A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1O例例2 2 如图所示，河堤斜面与水平面如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为所成二面角为 ，堤面上有一条直，堤面上有一条直道道CDCD，它与堤角的水平线，它与堤角的水平线ABAB的夹角为的夹角为 ，沿这条直道从堤脚，沿这条直道从堤脚C C向上行走向上行走10m10m到到达达E E处，此时人升高了多少处，此时人升高了多少m m？A AB BC CD DE EOF F作业作业:P P7373习题习题2.3

34、A2.3 A组：组：4 4，7.7.第二课时第二课时平面与平面垂直平面与平面垂直2.3.2 2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定问题提出问题提出 1.1.二面角与二面角的平面角分二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？哪几个基本特征？(1)(1)顶点在棱上；顶点在棱上；(2)(2)边在两个面内；边在两个面内；(3)(3)边垂直于棱边垂直于棱.2.2.直线与直线，直线与平面可以直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂系？如何认识两个平面垂直？直？（一）：

35、一）：两个平面垂直的概念两个平面垂直的概念 思考思考1:1:空间两条直线垂直是怎样定空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义义的？直线与平面垂直是怎样定义的？的？思考思考2:2:什么叫直二面角？如果两个相什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？大小如何？一般地，两个平面相交，如果它们所一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角成的二面角是直二面角，就说这，就说这两个两个平面互相垂平面互相垂直直.在你的周围或空间几何体中，有哪些在你的周围或空间几何体

36、中，有哪些实例反映出两个平面垂直？实例反映出两个平面垂直？图形与符号表图形与符号表示两个平面互示两个平面互相垂直相垂直思思考考3:3:如果平面如果平面平面平面，那么平，那么平面面内的任一条直线都与平面内的任一条直线都与平面垂直垂直吗？吗？（二）：二）：两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定 思考思考1:1:根据定义判断两个平面是否根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？垂直需要解决什么问题？思考思考2:2:如图，如图，AOBAOB为直二面角为直二面角-l-的平面角，那么直线的平面角，那么直线AOAO与与平面平面的位置关系如何？的位置关系如何？A AB BO Ol两个平面垂直的判定定理两个平

37、面垂直的判定定理 一一个平个平面过面过另一个平面的垂线，另一个平面的垂线，则这两个平面垂直则这两个平面垂直.文字语言文字语言图形语言符号语言符号语言“线面垂直，则面面垂直”l思思考考3:3:过一点过一点P P可以作多少个平面与可以作多少个平面与平面平面垂垂直？直？过过一条直线一条直线l可以作多少个平面与可以作多少个平面与平面平面垂直？垂直？Pll 例例1 1 如如图，图，ABAB是是O O的直径，的直径，PAPA，C C为圆周为圆周上不同于上不同于A A、B B的任意一的任意一点，点，求求证证：平：平面面PACPAC平面平面PBC.PBC.P PA AB BC CO O证明：设 O在平面在平面

38、内，由已知条件，内，由已知条件，例例2 2 如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面的底面为矩形，为矩形，PAPA底面底面ABCDABCD，PA=ADPA=AD，M M为为ABAB的中点，求证：平面的中点，求证：平面PMCPMC平面平面PCD.PCD.P PA AB BC CD DM ME EF F例例3 3 在四面体在四面体ABCDABCD中，已知中，已知ACBDACBD，BAC=CAD=45BAC=CAD=45，BAD=60BAD=60，求证：平面求证：平面ABCABC平面平面ACD.ACD.A AB BC CD DE E作业作业:P P7373习题习题2.3A2.3A组：组

39、：3 3，6.6.P P7474习题习题2.3B2.3B组：组：1.1.2.3.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质问题提出问题提出 1.1.直线与平面垂直的定义是什么直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？如何判定直线与平面垂直？2.2.直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？能得到哪些结论？（一）直线与平面垂直的性质定理一）直线与平面垂直的性质定理 思考思考1:1:如图，长方体如图，长方体ABCDABCD

40、A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱中，棱AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1，DDDD1 1所在直线所在直线与底面与底面ABCDABCD的位置关系如何？它们彼的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？此之间具有什么位置关系？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1思考思考2:2:如果直线如果直线a a，b b都垂直于同一条都垂直于同一条直线直线l，那么直线，那么直线a a，b b的位置关系如的位置关系如何？何？ab blab blab b l思考思考3:3:一个平面的垂线有多少条？这一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什

41、么位置关系？些直线彼此之间具有什么位置关系？思考思考4:4:如果直线如果直线a a，b b都垂直于平面都垂直于平面，由观察可知，由观察可知a/ba/b，从理论上如，从理论上如何证明这个结论？何证明这个结论？c cO Oab bb b1O Oab b直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理定理定理 垂直于同一个平面的两条直垂直于同一个平面的两条直线平行线平行 符符号号语言语言文字语言文字语言图形语言图形语言ab b思考思考1:1:设设a a，b b为直线，为直线，为平面，若为平面，若aa，b/ab/a，则，则b b与与的位置关系如的位置关系如何？为什么？何？为什么？a ab b（二）直线

42、与平面垂直的性质探究二）直线与平面垂直的性质探究 思考思考2:2:设设a a，b b为直线，为直线，为平面，若为平面，若aa，b/b/，则，则a a与与b b的位置关系如的位置关系如何？为什么？何？为什么？a ab bl思考思考3:3:设设l为直线，为直线，为平面，为平面，若若l，/，则，则l与与的位置关的位置关系如何？为什么？系如何？为什么？lab b思考思考4:4:设设l为直线，为直线，、为平面，为平面，若若l，l，则平面，则平面、的位置的位置关系如何？为什么？关系如何？为什么？l理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，已知如图，已知 于点于点A A，于点于点B B，求证：求证：.A AB B

43、C Cla例例2 2 如图，已知如图，已知 求证：求证：aA AB Bb bl（2 2）若）若 ，求证：，求证：MN MN 面面PCDPCD例例3 3 如图，已知如图，已知 矩形矩形ABCDABCD所所在平面，在平面，M M、N N分别是分别是ABAB、PCPC的中点的中点求证：求证：（1 1）P PA AB BC CD DMN NE E作业作业:P P7171练习：练习：1 1，2.2.（做书上）（做书上）2.3.4 2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质问题提出问题提出 1.1.平面与平面垂直的定义是什平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？么？如何判定平面与平面

44、垂直？2.2.平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问题；反解决了两个平面垂直的条件问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？得到哪些结论？（一）平面与平面垂直的性质定理一）平面与平面垂直的性质定理 思考思考1:1:如果平面如果平面与平面与平面互相垂直，互相垂直，直线直线l l在平面在平面内，那么直线内，那么直线l l与平面与平面的位置关系有哪几种可能？的位置关系有哪几种可能？l ll ll l（一）平面与平面垂直的性质定理一）平面与平面垂直的性质定理 思考思考2:2:黑板所在平面与地面所在平面黑板所在平面与地面

45、所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？垂直？若存在，怎样画线？思考思考3:3:如图，长方体如图，长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，平面中，平面A A1 1ADDADD1 1与平面与平面ABCDABCD垂直，其垂直，其交线为交线为ADAD，直线，直线A A1 1A A，D D1 1D D都在平面都在平面A A1 1ADDADD1 1内，且都与交线内，且都与交线ADAD垂直，这两垂直，这两条直线与平面条直线与平面ABCDABCD垂直吗？垂直吗？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1

46、1D D1 1思考思考4:4:一般地，一般地，,垂足为垂足为B B，那么直线，那么直线ABAB与平面与平面 的位置关系如何？为什么的位置关系如何？为什么？A AB BD DC CE E文文字字语言语言定理定理 两两个平个平面垂面垂直，直，则一则一个平面内垂个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直直交线的直线与另一个平面垂直.图形语言图形语言两两平面垂直的性质平面垂直的性质定理定理线线垂直，则线面垂直lm符号语言符号语言（二）平面与平面垂直的性质探究二）平面与平面垂直的性质探究 思考思考1:1:若若，过平面，过平面内一点内一点A A作平面作平面的垂线，垂足为的垂线，垂足为B B，那么点，那么点B

47、B在什么位在什么位置？置？B BA A思考思考2:2:上述分析表明：如果两个平面上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面个平面内内.B BA A思考思考3:3:对于三个平面对于三个平面、，如，如果果，那么，那么直线直线l l与平面与平面的位置关系如何？为的位置关系如何？为什么？什么？lab思考思考4:4:上述结论如何用文字语言表上述结论如何用文字语言表述述？如果两个相交平面都垂直于另一个平如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这面，那么这两个平面的交线

48、垂直于这个平面个平面.l理论迁移理论迁移amb例例2 2 如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是矩的底面是矩形，形，AB=2AB=2，侧面，侧面PABPAB是等边是等边三角形，且侧面三角形，且侧面PABPAB底面底面ABCD.ABCD.（1 1）证明：侧面）证明：侧面PABPAB侧面侧面PBCPBC；（2 2）求侧棱）求侧棱PCPC与底面与底面ABCDABCD所成的角所成的角.P PA AB BC CD DE作业作业:P P7373练习：练习：1 1，2.2.（做书上）（做书上）P P7373习题习题2.3A2.3A组：组：2.2.P P7474习题习题2.3B2.3B组：组：3.3.线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行面面垂直面面垂直判定判定定义定义判定判定性质性质性性质质性质性质判定判定判定判定定义定义