第二章 单自由度系统.ppt
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《第二章 单自由度系统.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第二章 单自由度系统.ppt(156页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第二章 单自由度系统主讲:王林鸿教授、博士机械与汽车工程学院第二章主要内容自由振动;自由振动;简谐强迫振动;简谐强迫振动;周期振动;周期振动;非周期振动。非周期振动。2.1引言单自由度系统:单自由度系统:只有一个自由度;只有一个自由度;可以用一个线性常微分方程描述;可以用一个线性常微分方程描述;可以把握振动系统的许多基本性质;可以把握振动系统的许多基本性质;是多自由度和连续体系统振动理论的基础。是多自由度和连续体系统振动理论的基础。典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方向振动时,可视为集中质量。如不计梁的质向振动时,可视为集中质
2、量。如不计梁的质量,则相当于一根无重弹簧,系统简化成弹量,则相当于一根无重弹簧,系统简化成弹簧簧-质量系统质量系统 单自由度系统示例2.2 无阻尼自由振动自由振动:自由振动:在初始激励或外加激励消失后的振动形态;在初始激励或外加激励消失后的振动形态;振动时无外界激励;振动时无外界激励;振动规律完全取决于系统本身的性质(固有特性)。振动规律完全取决于系统本身的性质(固有特性)。2.2.1运动微分方程列出图列出图2-22-2所示系统的运动微分方程所示系统的运动微分方程振动工程研究所建模步骤建立坐标系建立坐标系 原点为静平衡点原点为静平衡点 坐标正向为标示外力方向坐标正向为标示外力方向分离体法分离体
3、法设质量在坐标正方向有一位移设质量在坐标正方向有一位移对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力力平衡力平衡牛顿第二定律牛顿第二定律振动工程研究所由由繁繁入入简简方程分类单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程自由振动自由振动方程方程无外激励无外激励 偏离静平衡偏离静平衡 初始条件初始条件无阻尼自由振动方程无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点略去阻尼突出自由振动的特点振动工程研究所无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动方程方程初始条件初始条件(定解条件定解条件)注意注意 特点特点 二阶常系数齐次方程二阶常系数齐次方程振动工程研究所解的形式与试探解
4、微分方程解微分方程解=通解(通解(+特解)特解)(1)试探解的提出与代入)试探解的提出与代入(2)用初始条件定系数)用初始条件定系数数学理论数学理论实际经验实际经验运动微分方程固有频率固有频率根据牛顿第二定律:根据牛顿第二定律:初始条件:初始条件:弹簧力:弹簧力:质量只受弹簧力,故:质量只受弹簧力,故:左边内力、右边外力左边内力、右边外力整理成振动微分方程的常见形式:整理成振动微分方程的常见形式:固有频率固有:生来就有;固有:生来就有;内因:与外界无关,只与自身的质量和刚度有关。内因:与外界无关,只与自身的质量和刚度有关。至关重要至关重要敬而远之。敬而远之。运动微分方程的解运动微分方程为二阶常
5、系数线性常微分方程,它的通解为:运动微分方程为二阶常系数线性常微分方程,它的通解为:取决于初始条件取决于初始条件可见:单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。可见:单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。周期为:周期为:频率为:频率为:简谐振动机械能守恒机械能守恒得到运动微分方程的又一种方法得到运动微分方程的又一种方法由运动方程推导能量方程由运动方程推导能量方程简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒,振幅不变简谐运动能量守恒,振幅不变能量守恒能量守恒简谐运动微分方程简谐运动微分方程推导推导 注意:注意:上述上述结论与坐标系的选择无关,
6、但选择合适的坐标结论与坐标系的选择无关,但选择合适的坐标系有助于简化问题的求解。系有助于简化问题的求解。以下例说明。以下例说明。例例2.1 2.1 考虑汽车的垂直振动,并只考虑悬架质量,弹性元件考虑汽车的垂直振动,并只考虑悬架质量,弹性元件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2 23(3(a a)所示,忽所示,忽略阻尼。略阻尼。图 23弹簧原长位置弹簧原长位置静平衡位置静平衡位置原点选取不恰当的弊端原点选取不恰当的弊端 在振动分析中,通常只对系统的动力响应感兴趣,希望方程在振动分析中,通常只对系统的动力响应感兴趣,希望方程的解中只包括动力响应。的解中只包
7、括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。到这一点。由运动方程求能量方程由运动方程求能量方程标准自由振动方程标准自由振动方程原点选取恰当的好处原点选取恰当的好处动态响应动态响应坐标原点坐标原点=静平衡位置静平衡位置(必须的)(必须的)结论结论:对于线性振动系统,可将其受到的激励分为与时间无对于线性振动系统,可将其受到的激励分为与时间无关的静载荷和与时间有关的动载荷,分别计算系统的静力响应关的静载荷和与时间有关的动载荷,分别计算系统的静力响应和动力响应,系统的总响应为静力响应和动力响应之和。和动力响应,系统的
8、总响应为静力响应和动力响应之和。坐标原点选取坐标原点坐标原点=静平衡位置静平衡位置(必须的)(必须的)例例、一一个个轻轻质质弹弹簧簧竖竖直直悬悬挂挂,下下端端挂挂一一质质量量为为m的的物物体体。今今将将物体向下拉一段距离后再放开,证明物体将作简谐振动。物体向下拉一段距离后再放开,证明物体将作简谐振动。因此因此,此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。以平衡位置以平衡位置O为原点为原点弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置解:解:求平衡位置求平衡位置k坐标原点坐标原点动载荷与静载荷动载荷与静载荷(是否与时间有关)。动载荷与静载荷(是否与时间有关
9、)。动力响应与静力响应(振动学与静力学)。动力响应与静力响应(振动学与静力学)。总响应为动力响应与静力响应两者之和。总响应为动力响应与静力响应两者之和。振动学只对动力响应感兴趣。振动学只对动力响应感兴趣。静力学关注的是总量,振动学关注的是增量;静力静力学关注的是总量,振动学关注的是增量;静力学研究的是稳定状态,振动学研究的是变化。学研究的是稳定状态,振动学研究的是变化。2.2.2求固有频率的方法1.由系统运动微分方程求得;由系统运动微分方程求得;2.静态位移法;静态位移法;3.能量法。能量法。1 1静态位移法静态位移法 用静力学的方法确定动用静力学的方法确定动力学系统的固有频率力学系统的固有频
10、率妙!妙!横梁与弹簧串联:横梁与弹簧串联:总变形量为分变形量之和总变形量为分变形量之和2.2.能量法能量法 系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也能求系统的固有频率。能求系统的固有频率。对于单自由度系统,用能量法求固有对于单自由度系统,用能量法求固有频率有两种方法:频率有两种方法:由能量守恒得运动方程由能量守恒得运动方程瑞利商瑞利商能量守恒是普遍规律,能量方法是普遍方法能量守恒是普遍规律,能量方法是普遍方法例例2.3 2.3 如图如图2-52-5所示系统,绳索一端接一质量,另一端绕过所示系统,绳索一端接一质量,另一端绕过一转动惯量为一转动惯
11、量为I I的滑轮与弹簧相接,弹簧的另一端固定。设绳的滑轮与弹簧相接,弹簧的另一端固定。设绳索无伸长,绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由索无伸长,绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统,求系统的固有频率。度系统,求系统的固有频率。图 2-5坐标有两种取法:坐标有两种取法:1 1、滑轮转角、滑轮转角2 2、质量位移、质量位移x x坐标取法:坐标取法:1 1、滑轮转角、滑轮转角利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段例题:例题:如图所示系统,绳索一端接一质量,另一端绕过一转动惯量为如图所示系统,绳索一端接一质量,另一端绕过一转动惯量为I I的
12、滑轮的滑轮与弹簧相接,弹簧的另一端固定。设绳索无伸长,绳索与滑轮之间无滑动。此与弹簧相接,弹簧的另一端固定。设绳索无伸长,绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统,求系统的固有频率。时系统可视为单自由度系统,求系统的固有频率。系统的势能为系统的势能为ox解:解:原点取在静平衡位置,弹簧的相对伸长为原点取在静平衡位置,弹簧的相对伸长为x x,滑轮,滑轮 沿顺时针方向转过一个角度沿顺时针方向转过一个角度 x/rx/r 系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能由由与书上的结果比较:注意势能的与书上的结果比较:注意势能的计算,可以不计重力势能计算
13、,可以不计重力势能 ,只,只相差一个常数,不影响计算结果相差一个常数,不影响计算结果坐标取法:坐标取法:2 2、质量位移、质量位移x x 两种坐标取法计算的两种坐标取法计算的该系统的固有频率该系统的固有频率的的结果结果是是一样的一样的。可见:可见:系统的固有频率与所选取的坐标系无关。系统的固有频率与所选取的坐标系无关。上题如果用静态位移法求解,将涉及未知的绳与上题如果用静态位移法求解,将涉及未知的绳与滑轮的靡擦力,因而无法计算静态位移。因此能量法滑轮的靡擦力,因而无法计算静态位移。因此能量法对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。讨论:讨论:2.2.3有
14、效质量离散系统建模约定:质量集中在惯性元件上,弹性元件无质离散系统建模约定:质量集中在惯性元件上,弹性元件无质量;量;实际上,没有无质量的弹性元件,当弹性元件质量所占比例实际上,没有无质量的弹性元件,当弹性元件质量所占比例较大时,不能忽略。较大时,不能忽略。能量等效方法求有效质量:把动能集总到惯性元件上。能量等效方法求有效质量:把动能集总到惯性元件上。弹性元件的质量是分布的,需要适当地假定速度分布规律:弹性元件的质量是分布的,需要适当地假定速度分布规律:速度分布与位移分布有相同的形式。速度分布与位移分布有相同的形式。动能意义上的质量为等效质量;势能意义上的刚度为等效刚动能意义上的质量为等效质量
15、;势能意义上的刚度为等效刚度。度。例例2.4 2.4 如图如图2 26 6所示系统,在考虑弹簧质量的条件下求系统所示系统,在考虑弹簧质量的条件下求系统的固有频率。的固有频率。把弹簧分布质量集总到惯把弹簧分布质量集总到惯性元件上性元件上方法:方法:动能等效动能等效附加质量附加质量等效质量等效质量 通常称系统在动能意义下的质量为系统的通常称系统在动能意义下的质量为系统的等效质量等效质量。注意它并不一。注意它并不一定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。同样可以定义定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。同样可以定义等效刚等效刚度度,它是指在势能意义下的刚度。,它是指在势能意义下的刚度。图
16、27把两个弹簧刚度集总成一把两个弹簧刚度集总成一个弹簧个弹簧方法:方法:势能等效势能等效2.3 阻尼自由振动振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产生阻尼的原因是多种多样的,有些阻尼的机理至今尚不清楚。生阻尼的原因是多种多样的,有些阻尼的机理至今尚不清楚。由于线性系统本身就是对实际问题的近似,因而对阻尼往往由于线性系统本身就是对实际问题的近似,因而对阻尼往往也作线性化处理。也作线性化处理。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼在理论分析
17、中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼。在线性振动理论中规定,由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大在线性振动理论中规定,由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小与相对速度成正比,方向与速度方向相反。阻尼系数小与相对速度成正比,方向与速度方向相反。阻尼系数c c为为常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件之一。之一。单自由度系统阻尼自由振动的模型如图单自由度系统阻尼自由振动的模型如图2 28 8所示。所示。图 28图 210图 210图 210阻尼对频率影响很阻尼对频率影响很小小对振幅影响很对振幅影响很大大大阻尼系统衰减快;大阻尼系统衰减快;高频成
18、分衰减快。高频成分衰减快。阻尼减振方法阻尼减振方法一种求阻尼比的方法:一种求阻尼比的方法:图 211图 212实际系统的阻尼比范围实际系统的阻尼比范围2.4 单自由度系统的简谐强迫振动 简谐强迫振动指激励是时间简谐函数,它在工程结简谐强迫振动指激励是时间简谐函数,它在工程结构的振动中经常发生,它通常是由旋转机械失衡造构的振动中经常发生,它通常是由旋转机械失衡造成的。成的。简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。励下系统响应的基础。利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析其振动特
19、性的方法,即所谓正弦激励方法,是测析其振动特性的方法,即所谓正弦激励方法,是测试系统振动特性最常用的方法之一。试系统振动特性最常用的方法之一。2.4.1 2.4.1 系统在简谐激励下的响应系统在简谐激励下的响应典型的受简谐激励的单自由度系统示于图典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2 21313。图 213简谐强迫激励项简谐强迫激励项静力转化为静位移静力转化为静位移简谐强迫振动运动微分方程简谐强迫振动运动微分方程图 214通解通解瞬态响应瞬态响应特解特解稳态响应稳态响应全解全解两者叠加:两者叠加:前段:瞬态占优;前段:瞬态占优;后段:稳态占优;后段:稳态占优;最后:瞬态消失,稳态主导。最后:瞬
20、态消失,稳态主导。求特解的过程求特解的过程求振幅、相角和表达式求振幅、相角和表达式图 214从波形图可以看出:从波形图可以看出:求通解的过程求通解的过程全解全解通解通解特解特解通解通解衰减因子衰减因子全解全解=瞬态响应瞬态响应+稳态响应稳态响应瞬态响应昙花一现,不劳多谈;瞬态响应昙花一现,不劳多谈;稳态响应主导江山,集中研判!稳态响应主导江山,集中研判!今后,只研究稳态响应项。今后,只研究稳态响应项。稳态响应项的规律要命的是频率(比)!要命的是频率(比)!2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性 稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数,在理论,在
21、理论分析和实际工作中常引进复频率响应来描述分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响激励频率对响应的影响应的影响。简谐运动可用复数表示,因而稳态振动也可用复数表示,简谐运动可用复数表示,因而稳态振动也可用复数表示,设有下面两个方程:设有下面两个方程:用复数表示的目的是为了求解方便,所求的响应解职用复数表示的目的是为了求解方便,所求的响应解职是取其对应的其中一部,本教材通常取实部。是取其对应的其中一部,本教材通常取实部。复数复数实数实数稳态响应稳态响应复数复数响应振幅响应振幅实数实数响应:激励(对应物理响应:激励(对应物理量之比)量之比)要命的是频率(比)!要命的是频率(比)!图 215
22、图 215熟记三个特殊点熟记三个特殊点就等于掌握三个就等于掌握三个区域的规律区域的规律系统稳态振动时,惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频系统稳态振动时,惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频率的简谐量,分别为:率的简谐量,分别为:频率比所处区域不同,与激励构成动平衡的力的种类不同频率比所处区域不同,与激励构成动平衡的力的种类不同图2160弹性控制区弹性控制区图216惯性控制区惯性控制区图216阻尼控制区阻尼控制区共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼共振演示实验共振演示实验236145 单摆单摆1作垂直于纸面作垂直于纸面的简谐运动时,单摆的简谐运动时,单摆5将将作相同周期的简谐运动,
23、作相同周期的简谐运动,其它单摆基本不动其它单摆基本不动.共振现象共振现象 共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌应用应用防止防止钢琴、小提琴等乐器钢琴、小提琴等乐器提高音响效果提高音响效果收音机收音机选台选台核磁共振核磁共振物质结构的研究和医疗诊断等物质结构的研究和医疗诊断等改变系统的固有频率或外力的频率改变系统的固有频率或外力的频率破坏外力的周期性破坏外力的周期性增大系统的阻尼增大系统的阻尼对精密仪器使用减振台对精密仪器使用减振台无量纲量无量纲量品质因子、阻尼比两者之间的关系品质因子、阻尼比两者之间的关系半功率点定义
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第二章 单自由度系统 第二 自由度 系统
![提示](https://www.taowenge.com/images/bang_tan.gif)
限制150内