信号与系统第四章-连续信号复频域分析.ppt

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1、信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB南京邮电大学南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心信号分析与信息处理教学中心2006.1SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB第四章 连续信号与系统的复频域分析连续信号与系统的复频域分析概述4.1 拉普拉斯变换4.2 典型信号的拉普拉斯变换4.3 拉普拉斯变换的性质4.4 拉普拉斯反变换4.6 连续系统的复频域分析4.7 系统函

2、数4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性4.9 连续时间系统的稳定性本章要点作业 返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB连续信号与系统的复频域分析概述 傅里叶变换（频域）分析法傅里叶变换（频域）分析法 在在在在信号信号信号信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、取样、滤波等响应、波形失真、取样、滤波等响应、波形失真、取样、滤波等响应、波形失真、取样、

3、滤波等 要求信号满足狄里赫勒条件要求信号满足狄里赫勒条件要求信号满足狄里赫勒条件要求信号满足狄里赫勒条件 只能求零状态响应只能求零状态响应只能求零状态响应只能求零状态响应 反变换有时不太容易反变换有时不太容易反变换有时不太容易反变换有时不太容易 拉普拉斯变换（复频域）分析法拉普拉斯变换（复频域）分析法 在连续、线性、时不变在连续、线性、时不变在连续、线性、时不变在连续、线性、时不变系统系统系统系统的分析方面十分有效的分析方面十分有效的分析方面十分有效的分析方面十分有效 可以看作广义的傅里叶变换可以看作广义的傅里叶变换可以看作广义的傅里叶变换可以看作广义的傅里叶变换 变换式简单变换式简单变换式简

4、单变换式简单 扩大了变换的范围扩大了变换的范围扩大了变换的范围扩大了变换的范围 为分析系统响应提供了规范的方法为分析系统响应提供了规范的方法为分析系统响应提供了规范的方法为分析系统响应提供了规范的方法返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.1 拉普拉斯变换返回4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号不满足绝对可积条件的原因是：信号不满足绝对可积条件的原因是：只要只要 取得合适，很多函数取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。都可以满足绝对可积的条件。一一.引进广义函数引进广

5、义函数(傅氏变换傅氏变换)二二.拉氏变换拉氏变换(无需引进广义函数无需引进广义函数)若若 f(t)不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换域中的函数，域中的函数，人为地人为地用一个用一个实指数实指数函数函数e-t 去乘去乘 f(t)。称称 为为衰减因子衰减因子；e-t 为为收敛因子收敛因子。解决的方法解决的方法：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB取取 f(t)e-t 的傅里叶变换：的傅里叶变换：其傅里叶反变换为其傅里叶反变换为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS

6、SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯反变换双边拉普拉斯反变换上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为拉氏变换扩大了信号的变换范围。拉氏变换扩大了信号的变换范围。变换域的内在联系变换域的内在联系时域函数时域函数频域频域函数函数时域函数时域函数复频域复频域函数函数信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.1.2 单边拉普拉斯变换考虑到：考虑到：1.实际信号都是有始信号，即实际信号都是有始信号，即2.我们观察问题总有一个起点，或者说

7、只需考虑我们观察问题总有一个起点，或者说只需考虑 的部的部分分。此时拉普拉斯正变换可以改写为。此时拉普拉斯正变换可以改写为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB 正变换的积分下限用正变换的积分下限用 0-的目的是：把的目的是：把 t=0 时出现的时出现的冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态以直接引用已知的初始状态 f(0-)。但但反变换的积分限并不改变反变换的积分限并不改变。以后只讨论单边拉氏变换：以后只讨论单边拉氏变换：（1）f(t)和

8、和 f(t)(t)的拉氏正变换的拉氏正变换 F(s)是一样是一样的。的。（2）反之，当已知）反之，当已知 F(s)，求原函数时，也无法得求原函数时，也无法得到到 t 0 时，时，f(t)e-t 绝对收敛。绝对收敛。(4)任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换 F(s)中中一定没有一定没有冲激函数。冲激函数。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.1.3（单边）拉氏变换的收敛域 信号信号 f(t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，还

9、要看的条件。是否一定满足，还要看 f(t)的性质与的性质与 的相对的相对关系。通常把使关系。通常把使 f(t)e-t 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范值的范围称为拉氏变换的围称为拉氏变换的收敛域。收敛域。满足上述条件的最低限度的满足上述条件的最低限度的 值，称为值，称为 0 (绝对收绝对收敛横坐标敛横坐标)。如：有始有终的能量信号如：有始有终的能量信号 0=-功率信号功率信号 0=0信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB按指数规律增长的信号：如按指数规律增长的信号：如 e t，0=凡是增长速度不超过指数函数的函数

10、，统称为凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为指数指数阶函数阶函数。指数阶函数均可以用乘以。指数阶函数均可以用乘以 e-t 的方法将其分散的方法将其分散性压下去。性压下去。结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。比指数信号增长的更快比指数信号增长的更快的信号：如的信号：如 找不到找不到0，则此类信号不存在拉氏变换。则此类信号不存在拉氏变换。单边拉氏变换的收敛域是：复平面单边拉氏变换的收敛域是：复平面(s 平面平面)内，内，Re(s)=0 的区域，比较容易确定。一般情况下，不再的区域，比较容易确定。一般情况下，不再加注其收敛域。加注其收敛域。信号与系统信号与系统SIGN

11、ALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB1.傅里叶级数：傅里叶级数：实际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦实际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦分量之和。分量之和。复振幅：复振幅：（可以用复平面虚轴上的（可以用复平面虚轴上的离散频谱离散频谱表示）表示）4.1.4 变换域之间的内在联系单元信号单元信号:角频率角频率:（在虚轴上离散取值）（在虚轴上离散取值）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2.傅里叶变换傅里叶变换频谱密度：频谱密度：（可以用复平面虚轴上的（可以用复平面虚轴

12、上的连续频谱连续频谱表示）表示）单元信号单元信号:角频率角频率:（在虚轴上连续取值）（在虚轴上连续取值）复振幅：复振幅：（为无穷小量）（为无穷小量）实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正弦分量弦分量 之和。之和。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.拉普拉斯变换拉普拉斯变换象函数：象函数：（可以用（可以用 s 右半平面上的右半平面上的连续频谱连续频谱表示）表示）单元信号单元信号:复频率复频率:（在（在 s 右半平面上连续取值）右半平面上连续取值）复系数：复系数：（为无穷小

13、量）（为无穷小量）实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅（按指数规实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅（按指数规律增长或衰减）或等幅振荡的正弦分量律增长或衰减）或等幅振荡的正弦分量 之和。之和。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.2 典型信号的拉普拉斯变换返回返回返回由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。1.指数信号指数信号 e-t (t)(这里这里 无任何限制无任何限制)2.单位阶跃信号单位阶跃信号(t)信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS A

14、ND SYSTEMS ZBZB3.单边正弦信号单边正弦信号4.单边余弦信号单边余弦信号信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB5.单边衰减或增长的正弦信号单边衰减或增长的正弦信号即即6.单边衰减或增长的余弦信号单边衰减或增长的余弦信号信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB7.单边双曲正弦信号单边双曲正弦信号8.单边双曲余弦信号单边双曲余弦信号信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB9.冲激函

15、数冲激函数根据冲激函数作为广义函数的定义：根据冲激函数作为广义函数的定义：故故即即信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB10.t 的正幂信号的正幂信号 (n为正整数为正整数)由由定义：定义：对上式对上式进行分部积分，令进行分部积分，令可见：可见：依次类推：依次类推：特别是特别是 n=1 时，有时，有信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系例如增长的指数信号：例如增长的指数信号：只有拉氏变换而无傅氏变换只有拉氏变换而无傅氏变换：拉

16、氏变换、傅氏变换都存在，且拉氏变换、傅氏变换都存在，且例如衰减的指数信号：例如衰减的指数信号：例如单位阶跃信号：例如单位阶跃信号：(t)：拉氏变换、傅氏变换都存在，但傅氏变换拉氏变换、傅氏变换都存在，但傅氏变换中中含有冲激函数含有冲激函数P185 表4-1典型信号的典型信号的拉氏变换对拉氏变换对信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.3 拉普拉斯变换的性质 在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本

17、性质来求取。拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似，只，只要把傅氏变换中的要把傅氏变换中的 j 用用 s 替代即可。替代即可。但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。换是单边的，所以某些性质又有差别。返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB1.线性线性2.时移性时移性返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统

18、SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例4-3-2 求图示锯齿求图示锯齿波波 f(t)的拉氏变换的拉氏变换解解：根据时根据时移移性，有性，有所以：所以：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换设设 f1(t)表示第一个周期的函数，则表示第一个周期的函数，则 说明说明周期信号的拉氏变换周期信号的拉氏变换等于它第一个周期波形的等于它第一个周期波形的拉氏变换拉氏变换F1(s)乘以因子乘以因子周期函数可以是广

19、义的，例如台阶函数周期函数可以是广义的，例如台阶函数信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例4-3-3 求半波正弦函数的拉氏变换求半波正弦函数的拉氏变换信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）再再应用比例性，得应用比例性，得解法一：先应用时移性，可得解法一：先应用时移性，可得例例4-3-4信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB解法二：先应用比例性，

20、可得解法二：先应用比例性，可得再再应用时移性，得应用时移性，得信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.频移性频移性返回返回与傅氏变换比较：与傅氏变换比较：这里，这里，s0 可以是实数，也可以是虚数或复数。可以是实数，也可以是虚数或复数。例例4-3-5信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB5.时域微分时域微分主要用于研究具有初始条件的微分方程主要用于研究具有初始条件的微分方程证明：证明：根据定义根据定义信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTE

21、MS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB同理可得同理可得依此类推，可得依此类推，可得若若 f(t)为有始函数，则为有始函数，则信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例4-3-6由于由于f(0-)不同，不同，所求导数所求导数的拉氏变的拉氏变换不同。换不同。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB6.时域积分时域积分证明：由定义证明：由定义信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB

22、若积分下限由若积分下限由-开始开始所以所以例例4-3-7信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB7.初值定理初值定理证明：利用时域微分性质证明：利用时域微分性质信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB注意：注意：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：已知例：已知 ，试求初值，试求初值 。实际上：实际上：如果不加以分析而直接套用公式，将会得到如果不加以分析而直接套用公式，将会得到的错误结果

23、。的错误结果。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB8.终值定理终值定理两边取两边取 s 趋于零的极限，得趋于零的极限，得证明证明:根据时域微分性质，有根据时域微分性质，有信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB条件是：条件是：存在存在 这相当于这相当于 F(s)的极点都在的极点都在 S 平面的左半平面，并且平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话，如果在虚轴上有极点的话，只能在原点处有单极点。只能在原点处有单极点。否则会得到否则会得到 的错误结果。的错误

24、结果。其极点其极点 s=在在 s 平面的右半平面，不能平面的右半平面，不能用终值定理。用终值定理。例：例：已知已知 ，试求，试求 f(t)的终值。的终值。解：解：因为因为 F(s)的极点为的极点为 s1=0，s2=-1 和和 s3=-2，满足终满足终值定理的条件。所以有值定理的条件。所以有信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB9.复频域微分复频域微分证明证明:根据定义根据定义同理可证同理可证:信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB其它性质：其它性质：时域卷

25、积定理时域卷积定理复频域卷积定理复频域卷积定理(无对称性无对称性)P194 表表4-2 常用拉氏变换的性质常用拉氏变换的性质信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例 求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB有下列公式有下列公式信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND S

26、YSTEMS ZBZB例：例：求图示函数求图示函数 f(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解法一：解法一：按定义式求积分按定义式求积分信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB解法二：解法二：利用线性和时移定理利用线性和时移定理解法三：解法三：利用时域微分性质利用时域微分性质信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例 求下列函数的单边拉氏变换：求下列函数的单边拉氏变换：解：解：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYS

27、TEMS ZBZB4.4 拉普拉斯反变换4.4.1 简单的拉普拉斯反变换：直接应用典型信号的直接应用典型信号的拉氏变换对（表拉氏变换对（表4-1）及拉氏变换的性质（表）及拉氏变换的性质（表4-2）得到。）得到。例例:返回例例:返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例：解解：例例:解解：频域微分频域微分信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.4.2 部分分式展开法 常见的拉氏变换式是常见的拉氏变换式是 s 的多项式之比，一般形式为的多项式之比，一

28、般形式为如果如果 N(s)的的阶次高于阶次高于 D(s)的阶次的阶次,可以用长除法将可以用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之和，例如化成多项式与真分式之和，例如多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如接求得，例如所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB1.D(s)=0 的根都是实根且无重根的根都是实根且无重根其中其中例例:解解：遮挡法遮挡法返回返回信号与系统信号与系统SIGNA

29、LS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2.D(s)=0 的根有复根且无重根的根有复根且无重根的反变换可以用配方法（或部分分式展开法的反变换可以用配方法（或部分分式展开法.略）略）上式右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再上式右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再利用利用对应项系数相等对应项系数相等的方法即可求得的方法即可求得 k1 和和 k2。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：例：遮挡法遮挡法配方法配方法对应项对应项系数相系数相等法等法返回返回信号与系统信号与系统SIGNA

30、LS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.D(s)=0 的根有重根的根有重根 k1p k11可以通过可以通过对应项系数相等对应项系数相等或公式法得到。或公式法得到。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB依此类推依此类推它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到则则信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：例：用遮挡法，得用遮挡法，得对应项系数对应项系数相等法相等法返回返回信号与系统信

31、号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例:求下列函数的拉氏反变换：求下列函数的拉氏反变换：解：解：根据时移性质，有根据时移性质，有信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB解解：（配方法）（配方法）（长除法）（长除法）信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例:求下列函数的拉氏反变换：求下列函数的拉氏反变换：解解：信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SY

32、STEMS ZBZB例例:信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例:信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.6 连续系统的复频域分析 拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换分析法(复频域分析法复频域分析法)是分析线性连是分析线性连续系统的有力工具：续系统的有力工具：1.它将时域中描述系统的微分方程变换为它将时域中描述系统的微分方程变换为 s 域中的域中的代数方程，便于运算和求解；代数方程，便于运算和求解；2.由于变换时引入了初始状态，所以能够分别求解由于变换时

33、引入了初始状态，所以能够分别求解零输入响应和零状态响应，或者直接求解系统的全响应。零输入响应和零状态响应，或者直接求解系统的全响应。3.不仅可以分析稳定系统，也可以分析不稳定系统。不仅可以分析稳定系统，也可以分析不稳定系统。4.不仅可以从微分方程求解系统的全响应，也可以不仅可以从微分方程求解系统的全响应，也可以直接从电路求解。直接从电路求解。返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.6.1 微分方程的复频域分析法以二阶常系数线性微分方程为例：以二阶常系数线性微分方程为例：设激励设激励 为有始信号，即为有始信号，即对微分方

34、程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有对微分方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有整理成整理成信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例例4-6-1 系统的微分方程为系统的微分方程为解：对微分方程取拉氏变换，得解：对微分方程取拉氏变换，得返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGN

35、ALS AND SYSTEMS ZBZB4.6.2 电路的复频域模型 已知电路时，可根据已知电路时，可根据复频域电路模型复频域电路模型，直接列写求，直接列写求解复频域响应的代数方程。解复频域响应的代数方程。1.电阻元件电阻元件电路元件的复频域模型电路元件的复频域模型信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2.电容元件电容元件信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.电感元件电感元件注意：注意：（1）内电源的方向；）内电源的方向；（2）串联模型中，元件上的电压

36、为复频阻抗上的电压与）串联模型中，元件上的电压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和。内电压源的电压之和。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB用电路的复频域模型求解响应的步骤 1.电路中的每个元件都用其复频域模型代替（初始电路中的每个元件都用其复频域模型代替（初始状态转换为相应的内电源）；状态转换为相应的内电源）；2.信号源及各变量用其拉氏变换式代替；信号源及各变量用其拉氏变换式代替；3.画出电路的画出电路的复频域模型；复频域模型；4.应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换式。

37、式。5.反变换得响应的时域表达式。反变换得响应的时域表达式。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：例：解：画出复频域模型如图所示，其中解：画出复频域模型如图所示，其中由由KVL得得返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB零状态响应零状态响应零零输入响应输入响应全全响应响应信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：例：电路的复频域电路模型电路的复频域电路模型如图所示，列节点方程如

38、图所示，列节点方程信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB代入数据整理得代入数据整理得信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.7 系统函数4.7.1 系统函数与零状态响应返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNA

39、LS AND SYSTEMS ZBZB4.7.2 系统函数的求法1.已知微分方程已知微分方程2.已知冲激响应已知冲激响应返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：已知系统的微分方程为例：已知系统的微分方程为试求该系统的系统函数。试求该系统的系统函数。解法一解法一：在：在零状态条件下，对微分方程两边取拉氏变换，零状态条件下，对微分方程两边取拉氏变换，得得解法二：先求得冲激响应为解法二：先求得冲激响应为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：试求图示

40、电路的系统函数。例：试求图示电路的系统函数。3.已知电路已知电路解：电路的零状态复频域模型如图解：电路的零状态复频域模型如图利用电路的零状态复频域模型求解。利用电路的零状态复频域模型求解。返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.7.3 系统框图化简 一个总系统由一些子系统按照一定的方式连接而成，一个总系统由一些子系统按照一定的方式连接而成，当各子系统的系统函数已知时，可以通过框图化简求得当各子系统的系统函数已知时，可以通过框图化简求得总系统的系统函数。总系统的系统函数。一、一、基本联接方式基本联接方式1.级联级联2

41、.并联并联Y(s)X(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)X(s)Y(s)返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB3.反馈反馈X(s)Y(s)负反馈负反馈Y(s)X(s)E(s)信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB二、二、其它化简规则其它化简规则1.和点前移和点前移Y(s)X(s)Q(s)Y(s)X(s)Q(s)2.和点后移和点后移Y(s)X(s)Q(s)Y(s)X(s)Q(s)信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNA

42、LS AND SYSTEMS ZBZB3.分点前移分点前移4.分点后移分点后移Y(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)Y(s)Y(s)X(s)X(s)Y(s)X(s)X(s)例例4-7-3 试用框图化简的方法求系统函数。试用框图化简的方法求系统函数。P213信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB三三.线性系统的复频域模拟线性系统的复频域模拟对微分方程取拉氏变换，有对微分方程取拉氏变换，有设中间变量设中间变量 Q(s)，使之满足方程使之满足方程 将时域模拟图中的积分器符号改为将时域模拟图中的积分器符号改为s-1即可：即可：例如

43、二阶系统例如二阶系统返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例：已知系统框图，例：已知系统框图，试求系统函数和微分试求系统函数和微分方程。方程。消去中间变量，得消去中间变量，得解：设中间变量解：设中间变量 Q(s)如图所示，则如图所示，则所以，系统函数为所以，系统函数为微分方程为微分方程为信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性4.8.1 系统函数的零点与极点zj 称为系统函数的零点称为系统函数的零点pk 称为系

44、统函数的极点称为系统函数的极点系统函数的零、极点图：是系统函数的另一种表示方法。系统函数的零、极点图：是系统函数的另一种表示方法。零点用零点用“”表示，极点用表示，极点用“”表示，若为表示，若为 l 重重零点或极点，则注以零点或极点，则注以(l)。实际系统的系统函数必定是复变量实际系统的系统函数必定是复变量 s 的的实有理函数，实有理函数，其零、极点一定是实数或成对出现的共轭复数。其零、极点一定是实数或成对出现的共轭复数。返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例如例如例例:已知系统的零、极点图，并且该系统阶跃响应的终值已

45、知系统的零、极点图，并且该系统阶跃响应的终值为为 3 试写出系统函数的表达式。试写出系统函数的表达式。解：解：依依题意知题意知信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB4.8.2 由系统函数的零、极点分布确定系统的时域特性1.由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应模式由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应模式（a）H(s)的所有极点都为单极的所有极点都为单极点点返回返回信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB信号与系统信号与系统SIGNALS AND S

46、YSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB（b）若若 H(s)具有具有 n 重极点，则冲激响应的模式中将含重极点，则冲激响应的模式中将含有有 t n-1 因子。因子。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB（c）H(s)零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对位，而对冲激响应的模式没有影响。冲激响应的模式没有影响。（d）当当 H(s)为假分式时，应先化成多项式与真分式之为假分式时，应先化成多项式与真分式之和。多项式部分表示冲激响应中含有冲激函数及其各阶导和。多项式

47、部分表示冲激响应中含有冲激函数及其各阶导数，再分析真分式部分所对应的响应模式数，再分析真分式部分所对应的响应模式。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB2.由系统函数的零、极点分布确定系统的全响应模式由系统函数的零、极点分布确定系统的全响应模式（1）零状态响应）零状态响应 yzs(t)H(s)与系统的全响应模式之间的关系：与系统的全响应模式之间的关系：H(s)的的极点极点确定零状态响应中确定零状态响应中自然响应自然响应的模式；的模式；X(s)的的极点极点确定零状态响应中确定零状态响应中强制响应强制响应的模式。的模式。若若 H

48、(s)的的极点极点与与 X(s)的的零点零点相同，相同，自然响应自然响应会减少一项；会减少一项；若若 H(s)的的零点零点与与 X(s)的的极点极点相同，相同，强制响应强制响应会减少一项；会减少一项；例如例如信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB例如例如若若 H(s)与与 X(s)的的极点相同极点相同，会增加一个，会增加一个新的分量新的分量，这两，这两个个相同极点相同极点所对应的分量是所对应的分量是自然响应自然响应和和强制响应强制响应合成的结合成的结果。果。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGN

49、ALS AND SYSTEMS ZBZB（2）零输入响应）零输入响应 yzi(t)零输入响应的模式由系统零输入响应的模式由系统特征方程的根特征方程的根确定。确定。如果如果 H(s)没有零、极点相消没有零、极点相消，则，则特征方程的根特征方程的根就是就是 H(s)的的极点极点，则零输入响应的模式，则零输入响应的模式由由 H(s)的极点确定的极点确定。H(s)的的零、极点零、极点是否相消，不影响零状态响应的模是否相消，不影响零状态响应的模式。式。系统函数系统函数 H(s)一般只用于研究系统的零状态响应。一般只用于研究系统的零状态响应。如果如果 H(s)的的零、极点相消零、极点相消时，系统的某些固有

50、频率时，系统的某些固有频率在在 H(s)的的极点极点中将不再出现，这时零输入响应的模式中将不再出现，这时零输入响应的模式不不再由再由 H(s)的极点确定的极点确定。信号与系统信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS SIGNALS AND SYSTEMS ZBZB在计算零在计算零状态响应状态响应时分子分母公因子时分子分母公因子可以相消可以相消：在计算在计算零输入响应零输入响应时分子分母公因子时分子分母公因子不能相消不能相消：（3）稳定系统各种响应之间的关系）稳定系统各种响应之间的关系全全响应响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应强制响应强制响应自然响应自然响应稳态稳态响应响应瞬态