主成份与因子分析1.ppt

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1、多元统计分析多元统计分析主成份分析主成份分析华南农业大学理学院华南农业大学理学院张国权张国权1/22/20231主成份分析主成份分析多元统计分析处理的是多变量（多指标）问题。由于变量个数太多，并且彼此之间往往存在着一定的相关性，例如，随着年龄的增长，儿童的身高、体重会随着变化，具有一定的相关性；身高和体重之间为何会有相关性呢？因为存在着一个同时支配或影响着身高与体重的生长因子。变量之间存在的相关性使得所观测到的数据在一定程度上反映的信息有所重迭。而且当变量较多时，在高维空间中研究样本的分布规律比较复杂。人们自然希望用较少的综合变量来代替原来较多的变量；而这几个综合变量又能够尽可能多地反映原来变

2、量的信息，而且彼此之间互不相关。利用这种降维的思想，产生了主成分分析。主成分分析是主成分分析是将多个指标化为少数几个综合指标的一种统计分析方法。将多个指标化为少数几个综合指标的一种统计分析方法。1/22/20232总体的主成分则有：定义：定义：1/22/20233如满足条件：主成份的推导主成份的推导1/22/20234结果结果2：对对称实矩阵1/22/202351/22/20236而且，当 时有因此使达最大，且在实际应用中，一般主成份只取前K0)0)和相应的标准正和相应的标准正交的特征向量交的特征向量li；1/22/202342w确定公共因子数；确定公共因子数；w计算公共因子的共性方差计算公共

3、因子的共性方差hi2;w对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地解释公共因子；解释公共因子；w对公共因子作出专业性的解释。对公共因子作出专业性的解释。因子得分。因子分析的数学模型是将变量表示为公共因子的线性组合，由于公共因子能反映原始变量的相关关系，用公共因子代表原始变量时，有时更利于描述研究对象的特征，因而往往需要反过来将公共因子表示为变量的线性组合，即因子得分。1/22/202343四、因子分析提取因子的方法w主成分法主成分法（principalcomponentfactor）1/22/202344每一个公共因子的载荷系数之平方和每一个公共因子的载荷系数之平方和等于

4、对应的特征根，即该公共因子的等于对应的特征根，即该公共因子的方差。方差。1/22/202345w极大似然法（极大似然法（maximumlikelihoodfactor）假定原变量服从正态分布，公共因假定原变量服从正态分布，公共因子和特殊因子也服从正态分布，构子和特殊因子也服从正态分布，构造因子负荷和特殊方差的似然函数，造因子负荷和特殊方差的似然函数，求其极大，得到唯一解。求其极大，得到唯一解。1/22/202346w主因子法（主因子法（principalfactor）设原变量的相关矩阵为设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其，其逆矩阵为逆矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方。各变量特征方差的

5、初始值取为逆相关矩阵对角线差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数，元素的倒数，i i=1/r=1/riiii。则共同则共同度的初始值为度的初始值为(hi)2=1-i i=1-1/rii。1/22/202347以以(hi)2代替相关矩阵中的对角线上的元素，代替相关矩阵中的对角线上的元素，得到约化相关矩阵。得到约化相关矩阵。(h1)2r12r1pr21(h2)2r2pR=.rp1rp2(hp)2R的前的前m个特征根及其对应的单位化特征向个特征根及其对应的单位化特征向量就是主因子解。量就是主因子解。1/22/202348w迭代主因子法迭代主因子法（iteratedprincipalfactor）主

6、因子的解很不稳定。因此，常以估计主因子的解很不稳定。因此，常以估计的共同度为初始值，构造新的约化矩的共同度为初始值，构造新的约化矩阵，再计算其特征根及其特征向量，阵，再计算其特征根及其特征向量，并由此再估计因子负荷及其各变量的并由此再估计因子负荷及其各变量的共同度和特殊方差，再由此新估计的共同度和特殊方差，再由此新估计的共同度为初始值继续迭代，直到解稳共同度为初始值继续迭代，直到解稳定为止。定为止。1/22/202349wHeywood现象现象w残差矩阵残差矩阵1/22/202350五、因子旋转w目的：使因子负荷两极分化，要目的：使因子负荷两极分化，要么接近于么接近于0，要么接近于，要么接近于

7、1。w常用的旋转方法：常用的旋转方法：1/22/202351（1 1）方差最大正交旋转）方差最大正交旋转（varimaxvarimax orthogonal orthogonal rotationrotation）w基本思想：使公共因子的相对负荷（基本思想：使公共因子的相对负荷（l lijij/h/hi i2 2）的方差之和最大，且保持原公共因子的）的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。正交性和公共方差总和不变。w可使每个因子上的具有最大载荷的变量数可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。最小，因此可以简化对因子的解释。1/22/202352（

8、2 2）斜交旋转）斜交旋转（oblique rotationoblique rotation）w因子斜交旋转后，各因子负荷发生了因子斜交旋转后，各因子负荷发生了较大变化，出现了两极分化。各因子较大变化，出现了两极分化。各因子间不再相互独立，而彼此相关。各因间不再相互独立，而彼此相关。各因子对各变量的贡献的总和也发生了改子对各变量的贡献的总和也发生了改变。变。w适用于大数据集的因子分析。适用于大数据集的因子分析。1/22/202353六、因子得分wThomson法，即回归法法，即回归法回归法得分是由回归法得分是由Bayes思想导出的，得到思想导出的，得到的因子得分是有偏的，但计算结果误差的因子得

9、分是有偏的，但计算结果误差较小。较小。1/22/202354wBartlett法法Bartlett因子得分是极大似然估计，也是因子得分是极大似然估计，也是加权最小二乘回归，得到的因子得分加权最小二乘回归，得到的因子得分是无偏的，但计算结果误差较大。是无偏的，但计算结果误差较大。w因子得分可用于模型诊断，也可用作因子得分可用于模型诊断，也可用作进一步分析的原始资料。进一步分析的原始资料。1/22/202355七、因子分析应用实例1/22/202356八、因子分析应用的注意事项w应用条件应用条件（1）变量是计量的，能用线性相）变量是计量的，能用线性相关系数（关系数（Pearson积叉相关系数）积叉

10、相关系数）表示。表示。（2）总体的同质性）总体的同质性1/22/202357w样本量样本量没有估计公式。至少要保证样本相没有估计公式。至少要保证样本相关系数稳定可靠。关系数稳定可靠。w因子数目因子数目一般认为，累积贡献要达到一般认为，累积贡献要达到80%以以上。但要注意上。但要注意Heywood现象。现象。1/22/202358基本思想使用基本思想使用 问题：假设我们要研究影响人们对生活满意度的潜在因子，为此对有关项目进行了问卷调查，其中各包括三项工作方面（WORK_1、WORK_2、WORK_3）和家庭方面（HOME_1、HOME_2、HOME_3）的满意度调查。下表为对100人调查后所计算

11、的相关系数矩阵。Correlations(n=100)VariableWORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_3WORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_31.00.65.65.14.15.14.651.00.73.14.18.24.65.731.00.16.24.25.14.14.161.00.66.59.15.18.24.661.00.73.14.24.25.59.731.00由表可以看出，3项工作满意调查项目之间具有较高的相关性，3项家庭满意调查项目之间也具有较高的相关性，而工作满意调查项目与家庭满意项目之间相关性则较低。假定可用

12、变量间的相关性把它们分组。也即假设在一个特定组内的所用变量之间是高度相关的，而与不同组内的变量却有较小的相关性。于是可以想象，各组变量可以找到潜在的单一因子对观察到的相关负责。1/22/202359因而，上述相关性表明，一组变量存在一个潜在的因子“工作满意度”，另一组变量对应另一潜在因子“家庭满意度”，且两因子相对独立。对于问卷的回答显然有赖于所找到的两个潜在因子。而且，每一调查项目线性依赖于这两个潜在的因子，以及每一调查项目独有的特殊因子。据此，将这一分析推广至p个变量，存在m个潜在的公共因子，可建立以下数学模型：矩阵形式为：1/22/202360且满足：F=(F1,Fm)称为X的公共因子，

13、A为因子载荷矩阵，aij为因子载荷。数学上可以证明，因子载荷aij就是第i变量与第j因子的相关系数，反映了第i变量在第j因子上的重要性。1/22/202361。因子载荷的估计方法因子载荷的估计方法 要建立实际问题的因子模型，关键是要根据样本数据估计因子的载荷矩阵，其中使用最为普遍的方法是主成分法。设随机向量X的协差阵为，为的特征根，为对应的标准正交化特征向量，则根据线性代数知识可分解为：当因子个数与变量个数一样多，特殊方差因子为0时，因子模型为：1/22/202362 因子载荷矩阵A的第j列为 ，也就是说出常数外，第j列因子载荷恰是第j个主成分的系数uj，因此该方法成为主成分提取法。实际应用时

14、通常根据因子的累积贡献率达于80%或85%以上，决定所取因子的个数。1/22/2023631/22/2023642.正交因子模型中各个量的统计意义正交因子模型中各个量的统计意义1/22/2023651/22/2023661/22/202367 FACTOR(因子分析因子分析)过程简介过程简介 FACTOR过程用下列语句引用过程用下列语句引用:PROC FACTOR 选择项；选择项；VAR 变量；变量；PRIORS 方法；方法；PARTIAL 变量表；变量表；FREQ 变量；变量；WEIGHT 变量；变量；BY 变量；变量；通常只有通常只有VAR语句必须跟随在语句必须跟随在PROC FACTOR

15、语句后面，其余语句是可选择语句后面，其余语句是可选择的。的。1/22/2023681.PROCFACTOR语句的选项语句的选项可用于可用于PROC FACTORPROC FACTOR语句的任选项主要有下列几项：语句的任选项主要有下列几项：DATA=SASDATA=SAS数数据据集集给给出出输输入入数数据据集集的的名名字字，它它可可以是普通的以是普通的SASSAS数据集或者是特殊结构的数据集或者是特殊结构的SASSAS数据集。数据集。OUT=SASOUT=SAS数据集数据集创建一个数据集，它包括来自创建一个数据集，它包括来自DATA=DATA=的数据集中的全部数据，还包括被命名为的数据集中的全部

16、数据，还包括被命名为FACTOR1FACTOR1，FACTOR2FACTOR2等变量的因子得分估计。等变量的因子得分估计。1/22/2023691/22/2023701/22/2023711/22/202372ROTATE=name|R=name给出旋转的方法。给出旋转的方法。缺省时缺省时ROTATE=NONE。PROC FACTOR可以进行下可以进行下面几种旋转的方法（即的有效值）：面几种旋转的方法（即的有效值）：VARIMAX（正交（正交的方差最大旋转），的方差最大旋转），ORTHOMAX（权数为（权数为GAMMA的的正交方差最大旋转），正交方差最大旋转），EQUAMAX（正交的均方最大旋

17、（正交的均方最大旋转），转），QUARTIMAX（正交的四次方最大旋转），（正交的四次方最大旋转），PARSIMAX（正交的（正交的PARSIMAX旋转），旋转），PROMAX（规定斜交的（规定斜交的PROMAX旋转），旋转），PROCRUSTES（斜（斜交交Procurstes旋转）等。旋转）等。2.PRIORS语句语句该语句对每个变量规定该语句对每个变量规定0.0和和1.0之间的数值作为先验之间的数值作为先验公因子方差的估计。第一个数值对应于公因子方差的估计。第一个数值对应于VAR语句中的第语句中的第一个变量，第二个值对应于第二个变量，等等。数值的一个变量，第二个值对应于第二个变量，等等。

18、数值的个数必须等于变量的个数。个数必须等于变量的个数。1/22/2023736.3 范例1/22/2023741/22/202375运行结果：运行结果：MeansandStandardDeviationsfrom12observationsPOPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUSEMean6241.6666711.44166672333.33333120.83333317000均值均值StdDev3439.994271.786544831241.21153114.9275136367.53128标准差标准差Correlations相关矩阵相关矩阵POPSCHOOLEMPLOYSE

19、RVICESHOUSEPOP1.000000.009750.972450.438870.02241SCHOOL0.009751.000000.154280.691410.86307EMPLOY0.972450.154281.000000.514720.12193SERVICES0.438870.691410.514721.000000.77765HOUSE0.022410.863070.121930.777651.00000InitialFactorMethod:PrincipalComponents主成份法的输出结果主成份法的输出结果PriorCommunalityEstimates:ONE

20、初始共性方差估计值初始共性方差估计值相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值EigenvaluesoftheCorrelationMatrix:Total=5Average=1特征值总和特征值总和5，平均特征值，平均特征值112345Eigenvalue2.87331.79670.21480.09990.0153各各特征值特征值Difference1.07671.58180.11490.0847各相邻特征值之差各相邻特征值之差Proportion0.57470.35930.04300.02000.0031被解释的方差的比例被解释的方差的比例Cumulative0.57470.93400.97700.9

21、9691.0000被解释方差的累计比例被解释方差的累计比例2factorswillberetainedbytheMINEIGENcriterion.确定因子的数目为确定因子的数目为21/22/202376FactorPattern因子模式阵因子模式阵FACTOR1FACTOR2POP0.580960.80642SCHOOL0.76704-0.54476EMPLOY0.672430.72605SERVICES0.93239-0.10431HOUSE0.79116-0.55818Varianceexplainedbyeachfactor每个因子所解释的方差每个因子所解释的方差FACTOR1FACT

22、OR22.8733141.796660总体最终共性方差估计总体最终共性方差估计FinalCommunalityEstimates:Total=4.669974POPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUSE0.9878260.8851060.9793060.8802360.937500每一各指标的每一各指标的最终共性方差估计最终共性方差估计InitialFactorMethod:PrincipalFactors主因子法主因子法PriorCommunalityEstimates:SMC先验先验共性方差估计共性方差估计POPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUSE0.968592

23、0.8222850.9691810.7857240.847019它们是用公因子预报原始变量的回归系数。第一主分量（因子）在所有五个变量上都有正的载荷，可见这个因子反应了城市规模的影响。第二主分量在人口、就业上有大的正载荷，在教育程度和住房价格上有大的负载荷，则第二个因子较大的城市人口多但是教育程度和住房价格低。这里给出了公因子对每一个原始变量的解释能力的量度，这是用原始变量对公因子的复相关系数平方（取0到1间值）来计算的。CommunalityEstimate是这些复相关系数平方的总和。因为每一个复相关系数平方都比较大，所以我们可以认为两个公因子可以很好地解释原始变量中的信息。但是我们得到的因

24、子解释不够清楚，于是考虑用其它的因子分析方法。1/22/202377EigenvaluesoftheReducedCorrelationMatrix:相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值Total=4.39280116Average=0.87856023特征值总和特征值总和5，平均特征值，平均特征值112345Eigenvalue2.73431.71610.0396-0.0245-0.0726Difference1.01821.67650.06410.0481Proportion0.62250.39070.0090-0.0056-0.0165Cumulative0.62251.01311.0221

25、1.01651.00002factorswillberetainedbythePROPORTIONcriterion.InitialFactorMethod:PrincipalFactorsFactorPatternFACTOR1FACTOR2SERVICES0.87899-0.15847HOUSE0.74215-0.57806EMPLOY0.714470.67936SCHOOL0.71370-0.55515POP0.625330.76621VarianceexplainedbyeachfactorFACTOR1FACTOR22.7343011.7160691/22/202378主因子法计算简

26、约了的相关阵的特征值（相当于的估计），所以其特征值可能为负值。选取因子个数的缺省准则是PROPORTION=1，即累计特征值达到特征值总和的100%。这样取了两个因子。结果与主分量分析相似。为了得到好的因子解释，我们在上面的PROCFACTOR语句中再加上一个ROTATE=PROMAX旋转选项，这样将在得到主因子分析后先产生方差最大正交预旋转（VARIMAX）然后进行斜交旋转，并加了一个REORDER选项使输出时把原始变量受相同因子影响的放在一起：1/22/202379InitialFactorMethod:PrincipalFactorsFinalCommunalityEstimates:T

27、otal=4.450370POPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUSE0.9781130.8175640.9719990.7977430.884950PrerotationMethod:VarimaxOrthogonalTransformationMatrix1210.788950.614462-0.614460.78895PrerotationMethod:VarimaxRotatedFactorPatternFACTOR1FACTOR2HOUSE0.94072-0.00004SCHOOL0.904190.00055SERVICES0.790850.41509POP0.02255

28、0.98874EMPLOY0.146250.97499VarianceexplainedbyeachfactorFACTOR1FACTOR22.3498572.1005131/22/202380可见第一因子反映了房价、教育水平、服务业人数，这些应该与发达程度有关。第二因子反映了人口和就业情况，与城市规模有关。这样得到的因子已经比较好用。我们再看斜交旋转的结果，这里只给出了旋转后的因子模式阵：1/22/202381PrerotationMethod:VarimaxFinalCommunalityEstimates:Total=4.450370POPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUS

29、E0.9781130.8175640.9719990.7977430.884950RotationMethod:PromaxTargetMatrixforProcrusteanTransformationFACTOR1FACTOR2HOUSE1.00000-0.00000SCHOOL1.000000.00000SERVICES0.694210.10045POP0.000011.00000EMPLOY0.003260.96793RotationMethod:PromaxProcrusteanTransformationMatrix1211.04117-0.098652-0.105720.9630

30、3NormalizedObliqueTransformationMatrix1210.738030.542022-0.705550.865281/22/202382RotationMethod:PromaxInter-factorCorrelationsFACTOR1FACTOR2FACTOR11.000000.20188FACTOR20.201881.00000RotationMethod:PromaxRotatedFactorPattern(StdRegCoefs)FACTOR1FACTOR2HOUSE0.95558-0.09792SCHOOL0.91842-0.09352SERVICES

31、0.760530.33932POP-0.079081.00192EMPLOY0.047990.97509RotationMethod:PromaxReferenceAxisCorrelationsFACTOR1FACTOR2FACTOR11.00000-0.20188FACTOR2-0.201881.000001/22/202383RotationMethod:PromaxReferenceStructure(SemipartialCorrelations)FACTOR1FACTOR2HOUSE0.93591-0.09590SCHOOL0.89951-0.09160SERVICES0.7448

32、70.33233POP-0.077450.98129EMPLOY0.047000.95501VarianceexplainedbyeachfactoreliminatingotherfactorsFACTOR1FACTOR22.2480892.003020RotationMethod:PromaxFactorStructure(Correlations)FACTOR1FACTOR2HOUSE0.935820.09500SCHOOL0.899540.09189SERVICES0.829030.49286POP0.123190.98596EMPLOY0.244840.98478Varianceex

33、plainedbyeachfactorignoringotherfactorsFACTOR1FACTOR22.4473492.202280RotationMethod:PromaxFinalCommunalityEstimates:Total=4.450370POPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUSE0.9781130.8175640.9719990.7977430.8849501/22/202384OBS_TYPE_NAME_POPSCHOOLEMPLOYSERVICESHOUSE1MEAN6241.6711.44172333.33120.83317000.002STD3439

34、.991.78651241.21114.9286367.533N12.0012.000012.0012.00012.004CORRPOP1.000.00980.970.4390.025CORRSCHOOL0.011.00000.150.6910.866CORREMPLOY0.970.15431.000.5150.127CORRSERVICES0.440.69140.511.0000.788CORRHOUSE0.020.86310.120.7781.009COMMUNAL0.980.81760.970.7980.8810PRIORS0.970.82230.970.7860.8511EIGENVA

35、L2.731.71610.04-0.025-0.0712UNROTATEFACTOR10.630.71370.710.8790.7413UNROTATEFACTOR20.77-0.55520.68-0.158-0.5814PRETRANSFACTOR10.79-0.6145.15PRETRANSFACTOR20.610.7889.16PREROTATFACTOR10.020.90420.150.7910.9417PREROTATFACTOR20.988740.000550.974990.41509-0.0000418TRANSFORFACTOR10.738030.70555.19TRANSFO

36、RFACTOR20.542020.86528.20FCORRFACTOR11.000000.20188.21FCORRFACTOR20.201881.00000.22PATTERNFACTOR1-0.079080.918420.047990.760530.9555823PATTERNFACTOR21.00192-0.093520.975090.33932-0.0979224RCORRFACTOR11.00000-0.20188.25RCORRFACTOR2-0.201881.00000.26REFERENCFACTOR1-0.077450.899510.047000.744870.935912

37、7REFERENCFACTOR20.98129-0.091600.955010.33233-0.0959028STRUCTURFACTOR10.123190.899540.244840.829030.9358229STRUCTURFACTOR20.985960.091890.984780.492860.09501/22/202385程序解释及统计结论:1/22/2023861/22/202387基于因子分析法的工业现代化评价本例选取了一定的指标，利用因子分析法对江苏省城市的工业现代化指标进行综合分析评价，试探讨江苏省各个城市的工业现代化程度，并找出各个城市工业化发展过程中出现的问题，为以后的改

38、进和决策提供建议。1.指标的选取指标的选取选取了如下指标来评价江苏省各个城市的工业现代化程度：X1人均国内生产总值X2工业总产值X3全社会固定投资额X4进出口总额X5工业用电X6专业技术人员比重X7大中型企业比重X8二三产业对GDP贡献率X9二三产业从业人员比重X10人均可支配收入X11利用外资额城市工业现代化的评价是一种多指标下的综合评价，多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息,但也在一定程度上增加了问题分析的复杂性，因此有必要寻找和设计一个或几个较少的综合指标来综合各方面的信息，抓住主要矛盾,使问题简化，而因子分析方法正是解决这一问题的理想工具1/22/2023882.对工业现代化指标

39、的因子分析选取的具有代表性的一些指标工业现代化指标，其具体的数据如下表1；指标城市x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11人均国内生产总（元）工业总产值亿元）固定资产投资亿元）进出口总额(亿美元）工业用电（亿千瓦时）专业技术人员比重（%）大中型企业比重（%）二三产业GDP贡献率（%）二三产业从业人员比重（%）人均可支配收入（元）利用外资额（万美元）南京260251579.2416.794.69122.50.150.1560.9780.866884885134无锡377001115.127749.1179.010.1640.1130.9740.869945488575徐州1972629

40、5.73176.72.940.110.1470.2960.9780.824761613715常州25417464.99100.819.9429.960.1930.1480.9820.944940635949苏州296931039.6243.5119.8366.470.1250.0970.9590.82510515118482南通24180292.1478.1821.8725.170.1470.1910.9770.81184859861连云港17870112.1892.076.3211.910.1540.1630.9410.82469814119淮安7022188.2197.062.6520.2

41、0.0450.1250.7740.47865131243盐城1361790.0343.281.937.860.1910.340.9320.86869351049扬州21311309.7974.036.6715.930.1220.1560.9530.85772056433镇江26310227.6160.2110.4225.410.2070.2780.990.906769819594泰州20579188.3354.761.828.680.1160.3030.9630.77874394358宿迁838311.2224.180.161.390.0630.3330.9460.73248992751/22

42、/202389本文的运算都是采用SAS统计分析软件。（1）首先将数据进行标准化,求出六个指标的相关系数矩阵：1.000.688.578.598.638.584-.465.654.659.859.7401.000.959.887.977.171-.584.279.284.732.9101.000.815.985.116-.526.206.189.631.8321.000.830.087-.576.240.224.757.9461.000.191-.514.265.252.673.851.000.077.667.861.476.1841.000.192.074-.623-.5971.000.903

43、.414.2991.000.479.3061.000.8201.000由相关系数矩阵可以看出，十一个指标彼此之间存在一定的相关性,说明十一个指标反映的经济信息有一定的重叠；1/22/202390（2）计算矩阵的特征值,求特征值的贡献率和累计贡献率,表3特征值、特征值贡献率、累计贡献率表根据特征值大于1的提取原则，有两个因子符合原则，并且前两个因子的累计贡献率为84.33，即前两个公因子所解释的方差占总方差的84.33%，用这两个公因子来反映城市的工业现代程度所损失的信息不多，所以这两个公因子能够综合反映江苏各城市的工业现代化水平。1/22/2023913）采用主成分分析法计算出因子载荷矩阵表4

44、。(4)建立因子分析模型的目的不仅是找出主因子，更重要的是知道每个主因子的意义。然而用上述方法求出的公因子解，各主因子的典型代表变量不很突出，容易使因子的意义含糊不清，不便于对实际问题进行分析。因此用方差最大正交旋转法对因子进行旋转，得表5和表6.1/22/2023921/22/2023931/22/202394由旋转后的因子载荷矩阵可以看出：第一主成分即公因子F1对人均国内生产总值(X1)、工业总产值（X2）、全社会固定投资额（X3）、进出口总额（X4）、工业用电（X5）、人均可支配收入（X10）、利用外资额（X11）有绝对值较大的负荷系数,所以F1是这七个指标的综合反映。其中人均国内生产总

45、值(X1)、工业总产值（X2）、进出口总额（X4）、人均可支配收入（X10）这四个指标反映了一个城市的工业产出水平，而全社会固定投资额（X3）、工业用电（X5）、利用外资额（X11）这三个指标主要反映了城市工业发展中的投入情况，所以综合因子F1主要反映一个城市的经济发展状况，F1得分越高说明城市的经济越发达，城市的工业现代化程度越高1/22/202395第二主成分即公因子F2对专业技术人员比重(X6)、大中型企业比重(X7)、二三产业对GDP贡献率(X8)、二三产业从业人员比重(X9)有绝对值较大的负荷系数，是这四个因素的综合反映。专业技术人员比重(X6)反映工业人员素质的现代化程度，城市从业

46、人员素质越高城市的现代化程度相应越高。大中型企业比重(X7)能反映一个城市的产业集中度，城市生产约是社会化，规模经济越是突出，产业的集中度就越高，城市工业现代化程度就越高。二三产业对GDP贡献率(X8)、二三产业从业人员比重(X9)主要反映二三产业在城市经济结构中的比重，城市工业现代化的过程是工业不断地向农业和服务业等其他行业提供先进技术装备的过程，也是推动农业生产逐步实现机械化的过程，是农村剩余劳动力不断向城市聚集、向第二三产业转移的过程，因此一个城市的二、三产业越发达，在城市经济结构中的比重越大，说明城市的工业现代化程度越高。综合因子F2主要反映城市二、三产业的比重及产业的集中度，因此，因

47、子F2得分越高城市的工业化程度越高。1/22/2023961/22/2023974、在图1对话框点击Extraction按钮，出现图2对话框，选择主成分提取法。图25、在图1对话框点击Rotation按钮，出现图3对话框，选择varimax方法进行因子载荷旋转。6、在图1对话框点击ok按钮，给出计算结果，见表1、表2。1/22/202398表表1CcomponentsMatrixVariableFactor1Factor2WORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_3.654384.715256.741688.634120.706267.707446.564143.5

48、41444.508212-.563123-.572658-.525602表表2RotatedcomponentsMatrixVariableFactor1Factor2WORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_3.862443.890267.886055.062145.107230.140876.051643.110351.152603.845786.902913.869995 让我们来看一看变量与两因子之间的相关性（因子载荷）。由表1可以看出，第1因子（Factor 1）与原始变量的相关系数均高于第二因子与原始变量的相关系数。这应该是预料之中的，因为，两个因子是连

49、续提取，所能解释的方差渐次递减。我们可以绘制两因子载荷的散点图，在散点图中每一点代表一个变量。在图中可以从任何方向进行坐标轴旋转而不改变点之间的相对位置。但坐标值会发生改变，也就是因子载荷将发生变化。旋转之后，因子1在工作满意度调查项目上具有高载荷，而因子2在家庭满意度调查项目上具有高载荷。因此，可以得出这样的结论：生活满意度调查问卷包括两个方面，调查项目也可以分为两类。图31/22/202399因子分析的几个相关概念因子分析的几个相关概念1因子载荷2变量共同度3公共因子的方差贡献1/22/2023100因子分析的基本步骤因子分析的基本步骤因子分析的核心问题有两个：一是如何构造因子变量；二是如

50、何对因子变量进行命名解释。因此，因子分析的基本步骤和解决思路就是围绕这两个核心问题展开的。因子分析常常有以下四个基本步骤：（1）确认待分析的原有干变量是否适合作因子分析。（2）构造因子变量。（3）利用旋转方法使因子变量更具有可解释性。（4）计算因子变量得分。1/22/2023101巴特利特球度检验巴特利特球度检验（Bartletttestofsphericity）巴特利特球度检验是以变量的相关系数矩阵为出发点。它的零假设是Ho：相关系数矩阵是一个单位阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都为1，所有非对角线上的元素都为零。巴特利特球度检验的统计量根据相关系数矩阵的行列式计算得到。如果该统计量值比