第2章检测系统的误差合成.ppt

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1、第2章检测系统的误差合成检测系统的误差合成2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理2.3 系统误差的处理系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定参考书：参考书：费业泰，费业泰，误差理论与数据处理误差理论与数据处理，机械工业出版社，机械工业出版社研究误差的意义研究误差的意义 由于实验方法和实验设备的由于实验方法和实验设备的不完善不完善，周围环境的，周围环境的影响，以及受人们的认识能力的限制等，影响，以及受人们

2、的认识能力的限制等，测量和实测量和实验所得的数据验所得的数据和和被测量的真值被测量的真值之间，之间，不可避免不可避免的存的存在差异在差异，这在数值上即表现为，这在数值上即表现为误差误差。为了充分认识，。为了充分认识，并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中验中始终存在始终存在着的误差进行研究。着的误差进行研究。在科学实验与工程实践中，在科学实验与工程实践中，任何测量结果都存在任何测量结果都存在误差误差。研究误差的意义：研究误差的意义：1.正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以减小或消除误差。减小或

3、消除误差。2.正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。便在一定条件下得到更接近于真值的数据。3.正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。从根本上，消除或减小误差从根本上，消除或减小误差通过计算得到更接近真值的数据通过计算得到更接近真值的数据根据目标确定最佳系统根据目标确定最佳系统2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2.1.1 测量误差的名词术语测量误差的名词术语（1）真值）真

4、值 指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的真实数值真实数值。真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念。在测量中，一方面在测量中，一方面无法获得真值无法获得真值，而另一方面又往往，而另一方面又往往需要需要运用真值运用真值。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用“约定约定真值真值”和和“相对真值相对真值”。约定真值约定真值是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真值，因而值，因而可以代替真值来使用可以代替真值来使用。在实际测

5、量中，被测量的实际在实际测量中，被测量的实际值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。相对真值相对真值叫实际值，是在叫实际值，是在满足规定准确度时满足规定准确度时用来代替真值用来代替真值使用的值。使用的值。（2）标称值）标称值 计量或测量器具上标注的量值。计量或测量器具上标注的量值。如如:标准砝码上标出的标准砝码上标出的1kg，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的误差范围误差范围或或精

6、度等级精度等级。（3）示值）示值 由测量仪器给出或提供的量值，也称由测量仪器给出或提供的量值，也称测量值，显示值测量值，显示值。（4）测量结果）测量结果 由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还应包括应包括测量不确定度测量不确定度和有关和有关影响量影响量的值。的值。（5）测量结果的精度）测量结果的精度 反映测量结果与真值接近程度的量。反映测量结果与真值接近程度的量。他与误差大小相对应，他与误差大小相对应，即：即：误差大，精度低；误差小，精度高误差大，精度低；误差小，精度高。也就是说精度是从另。也就是说精度是从另一角度评价测量误差大

7、小的量，可细分为：一角度评价测量误差大小的量，可细分为：（a）准确度）准确度（反映测量中（反映测量中系统误差系统误差的大小，即测量结果偏离真的大小，即测量结果偏离真值的程度），值的程度），（b）精密度）精密度（反映测量中（反映测量中随机误差随机误差的大小，即测量结果的分散的大小，即测量结果的分散程度），程度），（c）精确度）精确度（反映测量中（反映测量中系统误差与随机误差综合影响系统误差与随机误差综合影响的程度）的程度）。不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）准确（系统误差小）准确（系统误差小）精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不精

8、密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小）任何一次测量中，系差和随差都是任何一次测量中，系差和随差都是同时存在同时存在的，而且两者的，而且两者之间之间并没有严格的界限并没有严格的界限。图2.1测量的准确度与精密度 A为被测量真值，为被测量真值，Aa、Ab分别是两组测量的平均值。分别是两组测量的平均值。精密度精密度与准确度的区别与准确度的区别由图由图2.1可知，可知，曲线曲线1表示准确却不精密表示准确却不精密（小，小，大）的测量，大）的测量，曲线曲线2表示精密却不准确表示精密却不准确（小，小，大）的测量。要大）

9、的测量。要同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。（6）测量不确定度）测量不确定度 表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估计。即计。即不确定度就是测量误差极限估计值的评价不确定度就是测量误差极限估计值的评价。通常采用统。通常采用统计方法和非统计方法估计不确定度。计方法和非统计方法估计不确定度。（7）测量误差）测量误差 测量结果与被测量真值之差，即：测量结果与被测量真值之差，即：测量误差测量误差=测量结果真值。测量结果真值。2.1.2 测量误差的分类测量误差的分类 为便于分析与处理误差，

10、为便于分析与处理误差，按照其特点与性质按照其特点与性质，可将误差分为，可将误差分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和粗大误差粗大误差三大类。三大类。（1）系统误差）系统误差 在相同条件下，对同一被测量进行在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，出现时，出现某种某种保持恒定保持恒定或或按一定规律变化按一定规律变化着的误差称为系统误差。着的误差称为系统误差。系统误差系统误差根据其变化规律根据其变化规律又可分为又可分为已定系统误差已定系统误差（误差大（误差大小和符号已知）和小和符号已知）和未定系统误差未定系统误差（误差大小和符号未知，但可（误差大小和符号未知，但可以估计其范围）

11、。在测量中，已定系统误差可以通过以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过修正修正来消来消除，且应当消除此类误差。除，且应当消除此类误差。系统误差系统误差按误差的规律按误差的规律可分为可分为不变系统误差不变系统误差（误差大小和（误差大小和方向为固定值）和方向为固定值）和变化系统误差变化系统误差（误差大小和方向为变化的）。（误差大小和方向为变化的）。变化系统误差变化系统误差按其变化规律又可分为按其变化规律又可分为线性系统误差线性系统误差、周期性系周期性系统误差统误差和和复杂规律系统误差复杂规律系统误差等。等。图2.2系统误差a不变系统误差；b线性系统误差；c非线性系统误差；d周期性系统误差；

12、e复杂规律系统误差dtabce（2）随机误差）随机误差 在在相同条件相同条件下，对同一被测量进行下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，受偶时，受偶然因素影响而出现然因素影响而出现误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化着着，则此类误差称为随机误差。，则此类误差称为随机误差。引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和数理统计方法计算它出现可能性的大小。数理统计方法计算它出现可能性的大小。随机误差不可能修正，随机误差不可能修正，但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果但在了解其统计

13、规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果的影响。的影响。随机误差具有以下特性：随机误差具有以下特性：1）绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的的可能性相等可能性相等；2）在一定测量条件下，随机误差的在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一绝对值不会超出某一限度限度；3）绝对值小的随机误差绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多（复测量中出现的机会多（概率大概率大）；）；4）随机误差的算术平均值随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。随测量次数的增加而趋于零。（3）粗大误差）

14、粗大误差 在测量结果中有在测量结果中有明显错误的误差明显错误的误差称为粗大误差，也称为寄称为粗大误差，也称为寄生误差。这种误差主要是生误差。这种误差主要是由于某种不正常的原因造成的由于某种不正常的原因造成的，在数，在数据处理时，应该据处理时，应该剔除剔除含有粗大误差的数据，含有粗大误差的数据，但必须有充分依据但必须有充分依据。2.1.3 误差产生的原因误差产生的原因误差的来源误差的来源测量装置误差测量装置误差环境误差环境误差方法误差方法误差人员误差人员误差2.1.4 测量误差的表示方法测量误差的表示方法（1）绝对误差）绝对误差 被测量的测量值与其真值之差称之为测量绝对误差，简称被测量的测量值与

15、其真值之差称之为测量绝对误差，简称误差，即误差，即 测量误差测量误差=测量结果真值测量结果真值 用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226226V V，查查该表的检定证书，得知该电压表在该表的检定证书，得知该电压表在220220V V附近的误差附近的误差为为5 5V V ，被测电压的被测电压的修正值修正值为为5 5V V ，则修正后的测，则修正后的测量结果为量结果为226+(226+(5 5V V)=221)=221V V。测得值相对真值绝对误差修正值：修正值：为了消除为了消除固定的系统误差固定的系统误差用代数法加到测量结用代数法加到测量结果上的值。果上的值。修

16、正值修正值=相对真值测量结果相对真值测量结果测量误差测量误差定义：定义：被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对误差，即：误差，即：（2）相对误差）相对误差 绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。比比如，测量两个电阻如，测量两个电阻R R1 11010、R R2 210001000，测量过程中的误差，测量过程中的误差R R1 10.10.1、R R2 21 1,但不能说但不能说R R1 1比比R R2 2测量地准确。测量地准确。例：例：用两种方法测得工件用两种方法测得工件 的误差分别为

17、：的误差分别为：，无论从，无论从绝对误差绝对误差还是还是相对误差相对误差看，显然第一看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得：种方法精度较高，但若用第三种方法测得：时的误差为时的误差为 ，从，从绝对误差绝对误差上不好判上不好判定精度的高低，因为定精度的高低，因为 不是同一被测量，此时三者的相对误不是同一被测量，此时三者的相对误差为：差为：由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法最差。最差。（3）引用误差）引用误差 引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比，引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比

18、，即：即：引用误差是为了评价引用误差是为了评价测量仪表精度等级测量仪表精度等级而引入的。而引入的。测量仪表的测量仪表的精度等级精度等级应用应用最大引用误差最大引用误差，即绝对，即绝对误差的最大绝对值误差的最大绝对值|x|m与量程与量程X Xm m的比值的比值m m：国家标准国家标准GB776-76GB776-76测量指示仪表通用技术条件测量指示仪表通用技术条件规规定，定，电测仪表准确度等级指数电测仪表准确度等级指数分为分为7 7个等级：个等级：0.1,0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.00.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0，它们表示仪表的最，它们表示仪表的最大引用误

19、差不能超过其等级指数大引用误差不能超过其等级指数的百分数。的百分数。例如，例如，1.51.5级的电表，表明其级的电表，表明其m m1.5%1.5%例例2-22-2：检定一台量程为检定一台量程为5A5A的的1.51.5级的电流表，在电流级的电流表，在电流为为2.0A2.0A处，其绝对误差为处，其绝对误差为0.1A0.1A，问此电流表精度是，问此电流表精度是否合格？否合格？解：由题意解：由题意I Im m5A5A，1.51.5，I I2.0A2.0A，I I0.1A0.1A此电流表精度不合格。此电流表精度不合格。例例2-32-3：测量一个约测量一个约80V80V的电压，现有两块电压表，一的电压，现

20、有两块电压表，一块量程为块量程为300V 300V 0.50.5级级，另一块量程为，另一块量程为100V 100V 1.01.0级级，问问选择哪一块电压表好？选择哪一块电压表好？解：使用量程为解：使用量程为300V 0.5300V 0.5级电压表，测量的最大相对级电压表，测量的最大相对误差为：误差为：使用量程为使用量程为100V 1.0100V 1.0级电压表，测量的最大相对误级电压表，测量的最大相对误差为：差为：因此，应使用量程为因此，应使用量程为100V 1.0100V 1.0级的电压表。级的电压表。选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满量

21、程的量程的2/32/3。（4）分贝误差）分贝误差分贝误差定义为：分贝误差定义为：分贝误差的单位为分贝误差的单位为dB。随机误差随机误差：服从大数统计规律的误差。：服从大数统计规律的误差。在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的总的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的总体却体却服从正态分布服从正态分布。2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理随机误差的特点正态分布随机误差的特点正态分布 若测量结果中若测量结果中不含系统误差和粗大误差不含系统误差和粗大误差，测量列，测量列中的中的随机误差随机误差一般有以下几个

22、特点：一般有以下几个特点：1.误差的对称性误差的对称性：绝对值相等的正误差和负误差出：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数（概率）相等；现的次数（概率）相等；2.误差的单峰性误差的单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多（概率大）；差出现的次数多（概率大）；3.误差的有界性误差的有界性：在一定的测量条件下，随机误差：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；的绝对值不会超过一定的界限；4.误差的抵偿性误差的抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。的算术平均值趋向于零。随机误差随机误差 是是测量

23、结果测量结果与在与在重复条件重复条件下对同一被测量下对同一被测量进行进行无限多次无限多次测量所得结果的平均值（测量所得结果的平均值（真值真值）A A之之差。即差。即 式中：式中：正态分布的随机误差正态分布的随机误差 的概率密度的概率密度 为为 为均方根误差：为均方根误差：2.2.1 随机误差的概率分布随机误差的概率分布 由由于于随随机机误误差差是是由由测测量量中中一一系系列列随随机机因因素素所所引引起起的的，因因而而随随机机变变量量的的分分布布函函数数可可用用来来描描述述随随机机误误差差取取某某一一范范围围值值及及取取值值的的概概率率。若若有有一一非非负负函函数数 ，使使得得对对任任意意的的实

24、实数数 有有分分布布函函数数 ：则称则称 为的概率分布密度函数，即为的概率分布密度函数，即 为误差在为误差在a与与b之间的概率。之间的概率。1、正态分布、正态分布如果用函数如果用函数 来表示各个来表示各个测得值出现的概率密度分布函数测得值出现的概率密度分布函数，则：则：称为称为正态分布函数正态分布函数或或高斯分布函数高斯分布函数。由此可见，只要参数。由此可见，只要参数m和和已知，正态分布曲线就确定了。所以已知，正态分布曲线就确定了。所以m和和是决定正态分布曲线是决定正态分布曲线的两个特征参数，其中的两个特征参数，其中m表示测得值分布的集中位置，称为正态表示测得值分布的集中位置，称为正态分布的分

25、布的位置特征位置特征，m值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。不变。则表示测得值的则表示测得值的分散程度分散程度，称为，称为离散特征离散特征。当。当改变时，改变时，分布曲线位置不变，但形状改变。分布曲线位置不变，但形状改变。为为均方差均方差（标准偏差），而即（标准偏差），而即2为方差，即为方差，即 小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，大，曲线平坦，表示所测得值分散。大，曲线平坦

26、，表示所测得值分散。当测量次数趋于无穷大时，当测量次数趋于无穷大时，m即为真值。即为真值。通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言的。的。实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位利用标准正态分布进行分析考察，如式表2.1给出了标准正态分布的一些与的代表数值。表2.1正态分布的概率密度和置信概率的数值表测量结果在区间测量结果在区间a,ba,b内的概率为：内的概率为：在在研研究究随随机机误误差差的的统统计计规规律

27、律时时，不不仅仅要要知知道道随随机机变变量量在在哪哪个个范范围围内内取取值值，而而且且要要知知道道在在该该范范围围内内取取值值的的概概率率，两者是相互关联的。两者是相互关联的。置置信信区区间间：定定义义为为随随机机变变量量取取值值的的范范围围，常常用用正正态态分分布布的的标标准准误误差差 的的倍倍数数来来表表示示，即即 ，其其中中 为为置置信信系数。系数。置置信信概概率率：随随机机变变量量在在置置信信区区间间 内内取取值值的的概概率率，即：即：置置信信水水平平：表表示示随随机机变变量量在在置置信信区区间间以以外外取取值值的的概概率率，即：即：置信系数置信系数Z越大，置信区间就越宽，置信概率就越

28、大，越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，对测量精度的要求就越低。对测量精度的要求就越低。2.2.2 随机误差的估计随机误差的估计 1、随机误差的表示方法、随机误差的表示方法由由前前面面分分析析可可知知，在在一一定定的的置置信信概概率率P下下，真真值值 一一定定落落在在以以测测得得值值 为为中中心心，以以误误差差限限 为为区区间间的的一一个个范范围围内内，即即 （2.16）式中式中 由于所取由于所取置信概率不同置信概率不同，以及表示误差的习惯差异，以及表示误差的习惯差异，误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。标准偏差所对应的置信度标准偏差所

29、对应的置信度P=68.3%，置信系数，置信系数k1，即真，即真值值 处于处于 范围内的可信程度为范围内的可信程度为68.3%。从正态分布曲线的几何图形上看，当从正态分布曲线的几何图形上看，当 处正好是曲处正好是曲线的拐点，也即当线的拐点，也即当 以后，概率密度变化比较慢，这就是以后，概率密度变化比较慢，这就是选用标准差作为误差限的理由之一。选用标准差作为误差限的理由之一。1)标准偏差标准偏差 当置信系数当置信系数 时，置信度时，置信度P=99.73%，故可以认为真值落，故可以认为真值落在在 范围内的概率已接近范围内的概率已接近100%。因此，在工程测试中常以。因此，在工程测试中常以 这个参数来

30、表示测量精度，称为这个参数来表示测量精度，称为极限误差极限误差或或最大误差最大误差，用，用 表表示，即示，即2)极限偏差极限偏差 当每个测量结果当每个测量结果 按按 正态分布时，一组测量数据正态分布时，一组测量数据 的平均值为：的平均值为：2、真值与标准偏差的估计、真值与标准偏差的估计 测量的主要任务是求得被测量的真值测量的主要任务是求得被测量的真值。真值真值是对同一检测是对同一检测量在同样条件下进行量在同样条件下进行无限多次测量无限多次测量所取得的所取得的测量平均值测量平均值。由于。由于实际测量中的测量次数是有限的实际测量中的测量次数是有限的，所以，所以测量平均值并不等于真测量平均值并不等于

31、真值值。其数学期望值恰好就是真值其数学期望值恰好就是真值m，即：，即：说明说明数据平均值就是真值数据平均值就是真值 的无偏估计的无偏估计，即当，即当 时，时，。由于由于 也属于正态分布，因此可以也属于正态分布，因此可以用用 的标准偏差来表征的标准偏差来表征 的离的离散度散度，由误差传递法则可得：，由误差传递法则可得：其其标准偏差标准偏差为：为：此式表明，子样平均值的方差此式表明，子样平均值的方差 并不等于母体方差并不等于母体方差 ，而只是，而只是它的它的N分之一。由这一结论可分之一。由这一结论可推论到等精度测量条件下，推论到等精度测量条件下，多批次多批次测量测量（即分组多次测量）所获得的平均值

32、（也即分组平均值的（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的平均值）平均值）要要比单批次测量所获得的结果精确比单批次测量所获得的结果精确，而且测量次数越，而且测量次数越多，多，越小，越小，越向母体真值越向母体真值 集中，即用集中，即用 作为作为 的最佳估计的最佳估计值的离散度越小。然而，由于值的离散度越小。然而，由于 与与 成反比，随着测量次数增加，成反比，随着测量次数增加，值的减小逐渐不显著了，故并非值的减小逐渐不显著了，故并非N越大越好。越大越好。由上所述，由上所述，通常把测量数据的通常把测量数据的算术平均值算术平均值作为被测量真作为被测量真值值m的最佳估计值的最佳估计值，即，即定

33、义残差：定义残差：把把测量值测量值与与算术平均值算术平均值之差称为之差称为剩余误剩余误差差（残余误差），简称（残余误差），简称残差残差，即，即 因为无法得到因为无法得到真值真值，实际中用各个，实际中用各个残差残差来代替来代替各个各个随机误差随机误差。3、标准偏差、标准偏差的估计的估计例：例：测量某物理量测量某物理量1010次，估计其真值并计算每次测量次，估计其真值并计算每次测量的残差。的残差。测量结果：测量结果：1879.641879.64、1879.691879.69、1879.601879.60、1879.691879.69、1879.571879.57、1879.621879.62、18

34、79.641879.64、1879.651879.65、1879.641879.64、1879.651879.65平均值：平均值：残差：残差：先考虑残差平方和S则的期望值为：即标准偏差标准偏差的估计：的估计：所以，方差的无偏估计为：无偏标准偏差为：平均值的标准偏差的无偏估计值为：由于由于真值真值A A未知未知，无法使用：，无法使用：来计算来计算随机误差随机误差，故，故用平均值代替真值用平均值代替真值，即，即用残余用残余误差来代替随机误差误差来代替随机误差。可以证明可以证明，测量列单次测量，测量列单次测量标准差的估计值标准差的估计值为：为：上式称为上式称为贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel

35、）公式）公式，根据此公式可由，根据此公式可由残余误差求得单次测量的残余误差求得单次测量的标准差的估计值标准差的估计值。（1 1）测量列中测量的标准差）测量列中测量的标准差 测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散性，此分散性说明了测量的的分散性，此分散性说明了测量的不可靠性不可靠性，由，由单次测量列的单次测量列的标准差来作为其不可靠的评定标准标准差来作为其不可靠的评定标准。总结：总结：算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：（2 2）测量列算术平均值的标准差）测量列算术平均值的标准差 在测量中，是以算术平均值作为测量结果的，因在

36、测量中，是以算术平均值作为测量结果的，因此必须研究此必须研究算术平均值不可靠性算术平均值不可靠性的评定标准的评定标准测量测量列算术平均值的标准差列算术平均值的标准差。由此可知，在由此可知，在n次测量的测量列中，算术平均值的标准差次测量的测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的为单次测量标准差的 。当测量列的。当测量列的测量次数测量次数n越大越大，算术，算术平均值越接近测量值的真值，平均值越接近测量值的真值，测量精度也越高测量精度也越高。在实际测量在实际测量中，一般取中，一般取n次左右即可。次左右即可。例例 甲、乙二人分别用甲、乙二人分别用不同的方法不同的方法对对同一电感同一电感进行多次测

37、量进行多次测量结果如下（均无系统误差及粗差）：结果如下（均无系统误差及粗差）：甲甲(mHmH)：1.281.28，1.311.31，1.271.27，1.261.26，1.191.19，1.251.25 乙乙(mHmH)：1.191.19，1.231.23，1.221.22，1.241.24，1.251.25，1.201.20试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及其标准差）其标准差）解：解：算术平均值：算术平均值：求各个残差：求各个残差：使用使用贝塞尔公式贝塞尔公式求甲乙二人测量的标准差求甲乙二人测量的标准差：求算术平均值的

38、标准差求算术平均值的标准差：可见两人测量次数虽相同、但可见两人测量次数虽相同、但甲的算术平均值的标准差估计值甲的算术平均值的标准差估计值相差较大相差较大，表明乙所进行的测量精密度高。，表明乙所进行的测量精密度高。例：例：对某量进行对某量进行6 6次测量，测得结果如下：次测量，测得结果如下：802.40,802.40,802.50,802.38,802.48,802.42,802.46802.50,802.38,802.48,802.42,802.46,求算术求算术平均值及置信概率为平均值及置信概率为95.44%95.44%（正态分布）时算术平（正态分布）时算术平均值的极限误差。均值的极限误差。

39、解：解：算术平均值：算术平均值：标准差：标准差：算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：置信概率为置信概率为95.44%95.44%（正态分布），得到置信系数（正态分布），得到置信系数t=2t=2算术平均值的极限误差：算术平均值的极限误差：单次测量的极限误差：单次测量的极限误差：即单次测量的误差绝对值不超过即单次测量的误差绝对值不超过0.0940.094的概率为的概率为95.44%95.44%即即多次测量的平均值误差多次测量的平均值误差的绝对值不超过的绝对值不超过0.0380.038的概率为的概率为95.44%95.44%5 5、测量结果的数字表示方法测量结果的数字表示方法）如果已知测量列标准

40、偏差为）如果已知测量列标准偏差为 ，作一次测量，测，作一次测量，测得值为得值为X X，则通常将被测量，则通常将被测量X X的大小表示为的大小表示为）当用）当用n n次等精度测量的算术平均值次等精度测量的算术平均值 作为测量结作为测量结果时，其表达式为果时，其表达式为 2.3 系统误差的处理系统误差的处理 系系统统误误差差的的特特点点是是在在一一定定条条件件下下，其其数数值值服服从从某某一一确确切切函函数数规规律律，故故其其处处理理方方法法原原则则上上可可结结合合专专业业知知识识，通通过过理理论论分分析析或或实实验验方方法法加加以以掌掌握握。由由于于系系统统误误差差常常涉涉及及到到对对具具体体测

41、测量量对对象象、测测量量原原理理及及测测量量方方法法的的具具体体分分析析，因因此此，系系统统误误差差的的发发现现与与处处理理往往往往比比随随机机误误差差困困难难得得多多，而而系系统统误误差差的的存存在在对对测测量量结结果果的的影影响响也也比比随随机机误误差差严严重重，所所以以，必必须须消消除除系系统统误误差差的的影影响响，以以将将其其降降低低到到允允许许限限度度之之内内。对对系系统统误误差差的的处处理理，通通常常涉涉及及到到以下几个方面：以下几个方面：1）判断系统误差是否存在；判断系统误差是否存在；2）分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除；分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除；3）

42、在在测测量量过过程程中中采采取取某某些些有有效效措措施施，尽尽量量消消除除或或减减小小系系统统误差的影响；误差的影响；4）设法估计出残存系统误差的数位或范围。设法估计出残存系统误差的数位或范围。1、恒值系差的判别、恒值系差的判别 实验对比法。实验对比法。这种方法主要是这种方法主要是用于发现不变系统误差（恒值用于发现不变系统误差（恒值系差）系差）。例如。例如0级量块，公称尺寸级量块，公称尺寸 时，由于制造偏差，时，由于制造偏差，其中心长度相对其中心长度相对 有一不变系统误差有一不变系统误差 ，多次重复测量不能，多次重复测量不能发现此误差，当用发现此误差，当用一等量块一等量块与其比较测量时，就可检

43、定出与其比较测量时，就可检定出0级量级量块中心长度实际值块中心长度实际值 ，系统误差，系统误差 可以找出来。可以找出来。系统误差的系统误差的特征特征是是在同一条件下，多次测量同一量值时，在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化定的规律变化。系统误差系统误差不具有抵偿性不具有抵偿性，它是固定或服从某一确定规律变，它是固定或服从某一确定规律变化的误差。化的误差。系统误差有系统误差有恒值系差恒值系差和和变值系差变值系差两种情况，下面分两种情况，下面分别介绍这两种系差的常用判别方法。别介绍

44、这两种系差的常用判别方法。2.3.1 系统误差的判别系统误差的判别2 2、变值系差的判别残余误差观察法、变值系差的判别残余误差观察法 残残余余误误差差观观察察法法是是根根据据测测量量列列的的各各个个残残余余误误差差大大小小和和符符号号的的变变化化规规律律，直直接接由由误误差差数数据据或或误误差差曲曲线线图图形形来来判判断断有有无无系系统统误差。这种主要用来误差。这种主要用来发现有规律变化的系统误差发现有规律变化的系统误差。若测量列含有若测量列含有变值系差变值系差，其，其测得值测得值为：为：。设其。设其系统误差系统误差为：为：，其，其不含系统误差测量值为不含系统误差测量值为：，则有：，则有：取算

45、术平均值：取算术平均值：。其中。其中 表示表示不含系差的测得值不含系差的测得值的平均值的平均值，表示表示系统误差的平均值系统误差的平均值。因为。因为 ，相，相应应 （不含系差测量值与其平均值之差），所以有（不含系差测量值与其平均值之差），所以有式中式中 系差的算术平均值。系差的算术平均值。由由于于 =不不含含系系差差测测量量值值-不不含含系系差差测测量量值值的的平平均均值值，故故 主主要要反反映映了了随随机机误误差差的的影影响响，当当测测量量列列中中系系统统误误差差显显著著大大于于随随机机误误差差或或测测量量次次数数比比较较大大时时，可可以以略略去去，则则 ，由由于于 为为确确定定值值，所所以

46、以测测量量列列中中残残余余误误差差 的的变变化化主主要要反反映映测测量量中中系系统统误误差差 的的变变化化。若若将将测测量量列列的的 按按序序作作图图进进行行观观察察，并并与与下下图图的的图图形形比比较较，即即可可判判断断有有无无系统误差。系统误差。由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的任一测量值的残余误差残余误差约为约为系统误差系统误差与与测量列系统误差平均值测量列系统误差平均值之差。之差。图2.6含系差的测量列（a）大体上正负相间无显著变化规律不存在变化的系差；（b）有规律地向一个方向成比例变化有线性系差存在；（c）有规律地重复交替呈周

47、期性变化周期性系差存在；（d）呈周期性与线性复合变化复杂系差存在。例例：对恒温箱温度测量：对恒温箱温度测量1010次，数据如下：次，数据如下：20.06,20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.14,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.14,20.18,20.18,20.2120.18,20.18,20.21。判断该测量有无有规律变化。判断该测量有无有规律变化的系统误差。的系统误差。解：解：1 1、求测量值的算术平均值：、求测量值的算术平均值：2 2、求残差：、求残差：3 3、按测量的顺序作图：、按测量的顺序作图：规律曲线规律

48、曲线可见有近似线性的系差存在可见有近似线性的系差存在3 3、不同公式计算标准差比较法、不同公式计算标准差比较法按按贝塞尔公式贝塞尔公式：按按捷尔斯公式捷尔斯公式：令令若若则怀疑测量列中存在系统误差。则怀疑测量列中存在系统误差。2.3.2 减小或消除系统误差的方法减小或消除系统误差的方法 一般来说，消除或减小系统误差的方法有：一般来说，消除或减小系统误差的方法有：（1）从产生误差根源上消除）从产生误差根源上消除 在在测测量量前前，通通过过分分析析比比较较尽尽量量发发现现并并消消除除（或或减减小小）产产生生系系统统误误差差的的来来源源。例例如如按按测测量量规规程程调调整整仪仪器器，测测量量前前后后

49、都都必必须须检检查查仪仪器器零零位位是是否否变变化化，选选择择合合理理的的支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。（2）用修正方法消除恒值系差）用修正方法消除恒值系差 引引用用修修正正值值对对测测量量结结果果进进行行修修正正，即即对对仪仪器器不不仅仅要要正正确确选选择择和和使使用用，且且要要定定期期检检定定和和校校准准。例例如如，将将测测量量出出的的系系统统误误差差数数值值做做成成误误差差表表或或误误差差曲曲线线，或或作作为为修修正正值值，将将与与其其大大小小相相等等、符符号号相相反反的的数数值值加加入入到到测测量量结结果果中中，即可基本

50、消除测量结果中系统误差的影响。即可基本消除测量结果中系统误差的影响。（3）采采用用一一些些专专门门的的测测量量技技术术和和测测量量方方法法。典典型型测测量量方方法法有以下几种：有以下几种：1）替代法消除恒值系差替代法消除恒值系差 替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量 接接在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与被测量相同的同类标准量被测量相同的同类标准量 替代替代 ，调节标准量，调节标准量 ，使，使测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，即