利息理论.ppt

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1、利息理论利息理论 Interest Theory 讲授：讲授：南京财经大学南京财经大学 曾卫曾卫使用教材：使用教材：21世纪保险精算系列教材金融数学金融数学孟生旺孟生旺中国人民大学出版社课程概述 利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进行定量分析的理论。它是精算学的主要基础之一，也行定量分析的理论。它是精算学的主要基础之一，也是保险产品定价理论和金融产品定价理论的基础。是保险产品定价理论和金融产品定价理论的基础。利息理论利息理论是金融学、保险等专业的一门基础课，是金融学、保险等专业的一门基础课，它要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应它

2、要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应用问题。本课程由理论部分和应用部分两部分组成。用问题。本课程由理论部分和应用部分两部分组成。理论部分理论部分介绍了利息理论的主要内容，包括利率、贴介绍了利息理论的主要内容，包括利率、贴现率、利息力、贴现函数和累积函数等利息的度量工现率、利息力、贴现函数和累积函数等利息的度量工具，并讨论了各种年金的计算等；具，并讨论了各种年金的计算等；应用部分应用部分探讨了利探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用，包息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用，包括收益率、债务偿还、证券价值、括收益率、债务偿还、证券价值、衍生工具衍生工具、利率风、利率风险、

3、利率期限结构等内容。这门课程所涉及的内容以险、利率期限结构等内容。这门课程所涉及的内容以及所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围及所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围已远远超出了保险精算领域，在投资分析、资产定价、已远远超出了保险精算领域，在投资分析、资产定价、财务管理、理财规划等方面都有很大的应用价值。财务管理、理财规划等方面都有很大的应用价值。课程简介利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。美国耶鲁大学著名经济理论家欧文费雪（Irving Fisher）在1930年出版的利息理论（The Theory of Intere

4、st，1930）标志着利息理论学科的诞生。费雪（I.Fisher）在其利息理论中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物品都是不同程度的耐用品，耐用品能在未来某个时段内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用上两百年的房子。随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各个领域。教学目的 在保险专业开设在保险专业开设利息理论利息理论这门课，其目的是为这门课，其目的是为学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基础，

5、同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程础，同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程提供理论和方法支撑。学习这门课程，要求掌握它提供理论和方法支撑。学习这门课程，要求掌握它的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程的学习，能够比较完整地掌握利息理论的基本理论的学习，能够比较完整地掌握利息理论的基本理论框架和基本方法体系，并将它们运用于现代保险、框架和基本方法体系，并将它们运用于现代保险、银行、投资分析、财务管理、理财规划等领域的实银行、投资分析、财务管理、理财规划等领域的实务工作中去。务工作中去。教材和参考书目教教教教 材材材材：孟生旺：孟生旺：孟

6、生旺：孟生旺：金融数学（第二版）金融数学（第二版）金融数学（第二版）金融数学（第二版），中国中国人民大学出版社，人民大学出版社，2009年。年。参考书目参考书目参考书目参考书目：1、美S.G.Kellison：利息理论，上海科学技术出版社，1995年版；2、刘占国：利息理论，南开大学出版社，2000年版；3、李晓林：利息理论，经济科学出版社，1999年版；4、孟孟孟孟生旺生旺生旺生旺 袁卫袁卫袁卫袁卫：利息理论及其应用利息理论及其应用，中国人民大，中国人民大学出版社，学出版社，2001年版；年版；5、熊福生：利息理论，武汉大学出版社，2004年版；6、张连增：利息理论，南开大学出版社，2005

7、年版；7 7、张运刚、张运刚：利息理论与应用利息理论与应用利息理论与应用利息理论与应用，西南财经大学出版社，西南财经大学出版社，西南财经大学出版社，西南财经大学出版社，2006200620062006年版年版年版年版。第2章 等额年金（Level Annuity）内容提要：内容提要：年金年金年金年金是指是指按按相等的时间间隔相等的时间间隔相等的时间间隔相等的时间间隔支付一系列的款项支付一系列的款项。在在相同的时间间隔相同的时间间隔相同的时间间隔相同的时间间隔上支付上支付相同金额相同金额相同金额相同金额的款项的款项叫叫等额年金等额年金等额年金等额年金；在相在相同的时间间隔上支付等额款项但在不同的

8、计息期利率不同或同的时间间隔上支付等额款项但在不同的计息期利率不同或者虽然利率相同但计息频率与付款频率不同的年金称为者虽然利率相同但计息频率与付款频率不同的年金称为一般一般一般一般等额年金等额年金等额年金等额年金；在相同的时间间隔上支付不同金额的款项叫；在相同的时间间隔上支付不同金额的款项叫变额变额变额变额年金。年金。年金。年金。本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法，本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法，本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法，本章主要讨论各种等额年金的现值与终值的计算方法，以及等额年金的现值与终值之间的关系以及等额年金的现值与终值之间的关系以及等额

9、年金的现值与终值之间的关系以及等额年金的现值与终值之间的关系。本章着重解决以下若干问题：本章着重解决以下若干问题：本章着重解决以下若干问题：本章着重解决以下若干问题：标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系；标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系；标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系；标准年金的现值与终值计算以及两者之间的关系；标准年金在任意时刻的值；标准年金在任意时刻的值；标准年金在任意时刻的值；标准年金在任意时刻的值；可变利率年金的现值与终值计算；可变利率年金的现值与终值计算；可变利率年金的现值与终值计算；可变利率年金的现值与终值计算；付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计

10、算；付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计算；付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计算；付款频率与计息频率不同的年金的终值与现值计算；连续年金的终值与现值计算。连续年金的终值与现值计算。连续年金的终值与现值计算。连续年金的终值与现值计算。关键词：关键词：年金；标准年金；等（定）额年金；期初付年金；年金；标准年金；等（定）额年金；期初付年金；期末付年金；延期年金；永续年金；可变利率年金；利息结期末付年金；延期年金；永续年金；可变利率年金；利息结转周期（频率）；支付周期（频率）；连续年金。转周期（频率）；支付周期（频率）；连续年金。第2章 等额年金（Level Annuity）教学要求：教

11、学要求：本章主要介绍有关等额年金的一些内容。通过本本章主要介绍有关等额年金的一些内容。通过本章的学习，要求理解年金的含义，熟悉年金的分类，掌握有章的学习，要求理解年金的含义，熟悉年金的分类，掌握有关基本年金（标准年金）的计算。要求关基本年金（标准年金）的计算。要求重点掌握年金的现值重点掌握年金的现值重点掌握年金的现值重点掌握年金的现值和终值的计算及其相互关系、期初付年金与期末付年金的相和终值的计算及其相互关系、期初付年金与期末付年金的相和终值的计算及其相互关系、期初付年金与期末付年金的相和终值的计算及其相互关系、期初付年金与期末付年金的相互关系，互关系，互关系，互关系，熟悉每个利息结转周期内支

12、付熟悉每个利息结转周期内支付mm次的年金。对有关次的年金。对有关年金的利率问题和时间问题的求解要求一般程度的了解年金的利率问题和时间问题的求解要求一般程度的了解，对对连续年金有一定程度的理解。连续年金有一定程度的理解。教学内容：教学内容：2.1 2.1 年金的含义年金的含义 2.2 2.2 年金的现值年金的现值 2.3 2.3 年金的终值年金的终值 2.4 2.4 年金现值与终值的关系年金现值与终值的关系 2.5 2.5 年金在任意时点上的值年金在任意时点上的值 2.6 2.6 可变利率年金的现值和终值可变利率年金的现值和终值 2.7 2.7 每年支付每年支付mm次的年金次的年金 2.8 2.

13、8 连续支付的连续支付的等额等额年金年金 2.9 2.9 价值方程价值方程2.1 年金的含义2.1.12.1.1 年金的基本概念年金的基本概念经济生活有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、经济生活有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、经济生活有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、经济生活有一大类的支付款项，如：零存整取、住房的按揭还款、购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，该购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，该购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，该购物的分期付款、保险中的养老保险金给付、分期交付保费，该类

14、支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把类支付款项的共同特点是支付的时间间隔相等。利息理论中把支支支支付时间间隔相等的一系列款项付时间间隔相等的一系列款项付时间间隔相等的一系列款项付时间间隔相等的一系列款项称为称为称为称为年金年金年金年金（annuity）。年金任意时年金任意时年金任意时年金任意时刻的价值，与支付方式（期初，期末）、计息期的实际利率（有刻的价值，与支付方式（期初，期末）、计息期的实际利率（有刻的价值，与支付方式（期初，期末）、计息期的实际利率（有刻的价值，与支

15、付方式（期初，期末）、计息期的实际利率（有效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是金融效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是金融效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是金融效利率）、支付期与计息期的关系、支付金额有关。年金是金融保险业务中十分常见的支付款项。保险业务中十分常见的支付款项。保险业务中十分常见的支付款项。保险业务中十分常见的支付款项。2.1.22.1.2 年金的含义及其延伸年金的含义及其延伸年金最原始的含义年金最原始的含义年金最原始的含义年金最原始的含义年金含义的延伸年金含义的延伸年金含义的延伸年金含义的延伸 1 1）时间间隔可以是年、季度、月

16、、周、日、瞬时；时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时；时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时；时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时；2 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定；支付期可以和计息期相同也可以不同。是不确定；支付期可以和计息期相同也可以不同。是不确定；支付期可以和计息期相同也可以不同。是不确定；支付期可以和计息期相同也可以不同。2.1 年金的含义2.1.32.1.32.1.32.1.3 年金的分类年金

17、的分类 1 1 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以分为分为分为分为确定年金确定年金确定年金确定年金(Annuity-certain)和和和和风险年金风险年金风险年金风险年金(contingent annuity)。2 2 按照年金的支付期限长短，年金可以分为按照年金的支付期限长短，年金可以分为按照年金的支付期限长短，年金可以分为按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金定期年金定期年金定期年金（period-certain annuity)和和

18、和和永续年金永续年金永续年金永续年金（Perpetuity）。3 3 按照年金的支付周期不同，年金可以分为按照年金的支付周期不同，年金可以分为按照年金的支付周期不同，年金可以分为按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金非连续年金非连续年金非连续年金(每年每年每年每年(季、月、季、月、季、月、季、月、)支付一次支付一次支付一次支付一次)和和和和连续年金连续年金连续年金连续年金。4 4 按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初期初期初期初付年金付年金付年金付年金

19、（先付年金）和（先付年金）和（先付年金）和（先付年金）和期末付年金期末付年金期末付年金期末付年金（后付年金）（后付年金）（后付年金）（后付年金）。5 5 按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年即期年即期年即期年金金金金和和和和延期年金延期年金延期年金延期年金。6 6 按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年等额年等额年等额年金金金金(level

20、 annuity)和和和和变额年金变额年金变额年金变额年金(varying annuity)。2.2 年金的现值 2.2.1 期末付定期年金（Annuity-immediate）的现值单位货币期末付定期年金的现值单位货币期末付定期年金的现值 (2-1)计算公式的变形及其意义计算公式的变形及其意义 (2-2)每期末支付每期末支付k元的定期年金的现值元的定期年金的现值2.2 年金的现值 2.2.2 期初付定期年金（annuity-due）的现值单位货币期初付定期年金的现值单位货币期初付定期年金的现值 (2-3)计算公式的变形及其意义计算公式的变形及其意义每期初支付每期初支付k元的定期年金的现值元的

21、定期年金的现值 与与 的关系：的关系：1)(2-4)2)(2-5)2.2 年金的现值 例22某企业租用了一间仓库，一次性支某企业租用了一间仓库，一次性支付付50000元的租金后可以使用元的租金后可以使用8年，假设年实年，假设年实际利率为际利率为6，试计算如果每年初支付租金，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该是多少？该仓库的年租金应该是多少？解设每年初的租金为设每年初的租金为A，则根据题意，可以建立，则根据题意，可以建立下述方程：下述方程：因此每年初的租金为因此每年初的租金为即即2.2 年金的现值 例22思考题：如果每年初支付租金如果每年初支付租金7000元可以租下这间仓元可以租下这间

22、仓库，试设计无风险套利方案。库，试设计无风险套利方案。解 A7000元元7596元，则元，则套利方案：套利方案：1）签订租赁合同）签订租赁合同1，每年初支付每年初支付7000元租金元租金租下这间仓库，租期租下这间仓库，租期8年；年；2）签订租赁合同）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期，出租这间仓库，租期8年，要求对方年，要求对方一次性支付一次性支付50000元元租金租金；3）用用50000元进行投资或贷放款元进行投资或贷放款，在年实际利率，在年实际利率6之下，之下，8年内每年初连本年内每年初连本带息可获取带息可获取7596元元，每年可获利，每年可获利 75967000596（元）（元）5000

23、0 7596 7596 7596 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7000 7000 7000500002.2 年金的现值 例22思考题：如果每年初支付租金如果每年初支付租金80008000元才能租下这间仓库，元才能租下这间仓库，试设计无风险套利方案。试设计无风险套利方案。解 A80008000元元75967596元，则元，则套利方案：套利方案：1 1）向银行借款向银行借款5000050000元元，期限，期限8 8年，在年实际利率年，在年实际利率6 6之下，之下，每年初分期还款每年初分期还款75967596元元；2 2）签订租赁合同）签订租赁合同1 1，一次性支付一次性支付50000500

24、00元租金元租金租下这间仓库，租期租下这间仓库，租期8 8年；年；3 3）签订租赁合同）签订租赁合同2 2，出租这间仓库，租期，出租这间仓库，租期8 8年，要求对方年，要求对方每年初支付每年初支付80008000元元租金租金，其中，其中75967596元还银行，每年可获利元还银行，每年可获利 8000800075967596404404（元）。（元）。50000 8000 8000 8000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7596 7596 759650000例：有一笔有一笔1000万元的贷款，为期万元的贷款，为期10年，若年实际年，若年实际利率为利率为9，试对下面三种还款方式比较其利息

25、总量。，试对下面三种还款方式比较其利息总量。本金和利息在第本金和利息在第10年末一次还清；年末一次还清；每年产生利息在当年末支付，而本金在第每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。年末归还。在在10年期内，每年末偿还相同的金额。年期内，每年末偿还相同的金额。问题：问题：请先推测大小？解：解：（1）贷款在10年末的累积值为1000(1+9%)10=2367.36,利息总额为2367.3610001367.36(万元)；（2）每年的利息为10009%=90(万元)，利息总额为1090900(万元)；（3）设每年的偿还额为R，则 解得R=155.82,故利息总额为155.821010005

26、58.2(万元)。结论：结论：偿还越迟，利息总量越高。2.2 年金的现值 2.2.3 期末付永续年金的现值 永续年金永续年金（Perpetuity）及其现值的概念及其现值的概念 永续年金永续年金是指可以无限期地支付下去的年金（付款次是指可以无限期地支付下去的年金（付款次数是无穷大，付款期限是无穷长）。数是无穷大，付款期限是无穷长）。永续年金的现值永续年金的现值等等于定期年金的现值当支付期限于定期年金的现值当支付期限n时的极限。时的极限。单位货币期末付永续年金的现值单位货币期末付永续年金的现值 (2-6)每期末支付每期末支付k元的元的永续永续年金的现值年金的现值 2.2 年金的现值 2.2.4

27、期初付永续年金的现值单位货币期初付永续年金的现值单位货币期初付永续年金的现值 (2-7)与与 的关系：的关系：(2-8)每期每期初初支付支付k元的元的永续永续年金的现值年金的现值例：某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7，确定三个受益者的相对受益比例。解：解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是注：注：请用excel计算上述年金的值。从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49，25和26。注：注：C的受益也可以看作在20年末一次

28、性得到10万元，其现值等于2.3 年金的终值 2.3.1 期末付定期年金的终值单位货币期末付定期年金的终值单位货币期末付定期年金的终值 计算公式的变形及其意义计算公式的变形及其意义 (2-9)每期末支付每期末支付k元的定期年金的终值元的定期年金的终值2.3 年金的终值 2.3.2 期初付定期年金的终值单位货币期初付定期年金的终值单位货币期初付定期年金的终值 计算公式的变形及其意义计算公式的变形及其意义每期初支付每期初支付k元的定期年金的终值元的定期年金的终值 与与 的关系：的关系：1)2)(注注)：永续年金不存在终值。永续年金不存在终值。思考题：某人在某人在10年后需要为其子女支付上大学的学年

29、后需要为其子女支付上大学的学费，预计费，预计大学大学4年间每年初支付年间每年初支付10000元学费元学费，为此他，为此他打算在每年初往一种基金存入一笔钱。如果该基金的打算在每年初往一种基金存入一笔钱。如果该基金的年实际利率为年实际利率为6，那么他每年应该存入多少钱，才，那么他每年应该存入多少钱，才能保证可以支付子女的学费？能保证可以支付子女的学费？解假设假设每年初需要存入每年初需要存入A元，则根据题意可以建立元，则根据题意可以建立下述方程：下述方程：因此有因此有 10000 100000 1 2 8 9 10 11 12 13 14 A A A A A2.4 年金现值与终值的关系2.4.1 年

30、金现值与终值之间的换算关系 与 的关系：(2-11)与 的关系：(2-12)2.4.2 年金现值与终值之间的倒数关系 与 之间的倒数关系：(2-13)与 之间的倒数关系：(2-14)2.5 年金在任意时点上的值2.5.1 年金在支付期限开始前任意时点上的值延期年金（deferred annuity）：推迟若干时期后才开始付款的年金。年金在支付期限开始前任意时点上的值，可以看做为一个延期年金的现值延期年金的现值。推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个mn期期末付年金扣除一个m期的年金。延期延期m个时期的期末付定期年金的现值个时期的期末付定期年金的现值 (1)(2-15)(2)(2-

31、16)延期延期m个时期的期初付定期年金的现值个时期的期初付定期年金的现值 (1)(2-17)(2)2.5 年金在任意时点上的值2.5.1 年金在支付期限开始前任意时点上的值延期延期m个时期的期末付永续年金的现值个时期的期末付永续年金的现值 (1)(2)延期延期m个时期的期初付永续年金的现值个时期的期初付永续年金的现值 (1)(2)（注）：（注）：（注）：（注）：延期年金终值延期年金终值延期年金终值延期年金终值的计算方法与一般年金终值的计算方的计算方法与一般年金终值的计算方法相似，其终值的大小与延期期限无关。法相似，其终值的大小与延期期限无关。2.5 年金在任意时点上的值2.5.2 年金在支付期

32、限内任意时点上的值(1)(1)将原来的年金分解成两个新的年金：将原来的年金分解成两个新的年金：一个由该时点之前的付款组成；一个由该时点之前的付款组成；另一个由该时点之后的付款组成。另一个由该时点之后的付款组成。(2)(2)原来的年金在该时点上的值原来的年金在该时点上的值 =第一个年金在该时点上的第一个年金在该时点上的终值终值 +第二个年金在该时点上的第二个年金在该时点上的现值现值。期末付年金的模型：期末付年金的模型：期初付年金的模型：期初付年金的模型：2.5 年金在任意时点上的值2.5.3 年金在支付期限结束后任意时点上的值 (1)(1)计算该年金的终值；计算该年金的终值；(2)(2)按年金支

33、付期限末到该时点的时间长度，计算此按年金支付期限末到该时点的时间长度，计算此年金终值的复利累积值。年金终值的复利累积值。期末付年金的模型：期末付年金的模型：期初付年金的模型：期初付年金的模型：2.6 可变利率年金的现值和终值 本节讨论的主题：利率在各个时期不完全相同利率在各个时期不完全相同的情况下，年金现值和终值的计算问题。的情况下，年金现值和终值的计算问题。2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算的可变利率可变利率年金现值和终值问题（固定利率计算利息固定利率计算利息固定利率计算利息固定利率计算利息）单位货币单位货币期末付年金期末付年金的的现值现值 单位货币单位货币期初付年金期初付年金的的现

34、值现值 单位货币单位货币期末付年金期末付年金的的终值终值 单位货币单位货币期初付年金期初付年金的的终值终值 2.6 可变利率年金的现值和终值2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算的可变利率年金现值和终值问题(浮动利率计算浮动利率计算浮动利率计算浮动利率计算利息利息利息利息)单位货币单位货币期末付年金期末付年金的的现值现值 单位货币单位货币期初付年金期初付年金的的现值现值 单位货币单位货币期末付年金期末付年金的的终值终值 单位货币单位货币期初付年金期初付年金的的终值终值 2.6.3 可变利率下，期初付年金的现值和终值与期末付年金的现值和终值的关系 ，2.7 每年支付m次的年金两

35、个概念两个概念两个概念两个概念利息结转周期：利息结转周期：利息结转周期：利息结转周期：结转一次利息所需的时间长度。结转一次利息所需的时间长度。结转一次利息所需的时间长度。结转一次利息所需的时间长度。支付周期：支付周期：支付周期：支付周期：支付一次年金所需的时间长度。支付一次年金所需的时间长度。支付一次年金所需的时间长度。支付一次年金所需的时间长度。一般意义上的年金：一般意义上的年金：一般意义上的年金：一般意义上的年金：利息结转周期未必等于支付周利息结转周期未必等于支付周利息结转周期未必等于支付周利息结转周期未必等于支付周期。期。期。期。当支付周期和利息结转周期不同时，有两种情况：当支付周期和利

36、息结转周期不同时，有两种情况：当支付周期和利息结转周期不同时，有两种情况：当支付周期和利息结转周期不同时，有两种情况：（1 1）每个支付周期内结转每个支付周期内结转k k次利息（支付频率小于次利息（支付频率小于利息结转频率）；利息结转频率）；（2 2）每个利息结转周期内支付每个利息结转周期内支付每个利息结转周期内支付每个利息结转周期内支付mm次年金（支付频率次年金（支付频率次年金（支付频率次年金（支付频率大于利息结转频率）。大于利息结转频率）。大于利息结转频率）。大于利息结转频率）。2.7 每年支付m次的年金基本思路：基本思路：对于这种类型的年金，计算其现值和终对于这种类型的年金，计算其现值和

37、终对于这种类型的年金，计算其现值和终对于这种类型的年金，计算其现值和终值可以采取两种方法。值可以采取两种方法。值可以采取两种方法。值可以采取两种方法。方法一方法一方法一方法一：进行利率转换，将年利率转换成月实际利率或季进行利率转换，将年利率转换成月实际利率或季进行利率转换，将年利率转换成月实际利率或季进行利率转换，将年利率转换成月实际利率或季度实际利率度实际利率度实际利率度实际利率(i i(m)(m)iiii(k)(k)ii(k)(k)/k/k),然后应用基本年金的公然后应用基本年金的公然后应用基本年金的公然后应用基本年金的公式计算年金的现值和终值。式计算年金的现值和终值。式计算年金的现值和终

38、值。式计算年金的现值和终值。方法二方法二方法二方法二：不进行利率转换，直接建立新的计算公式。不进行利率转换，直接建立新的计算公式。不进行利率转换，直接建立新的计算公式。不进行利率转换，直接建立新的计算公式。符号体系：符号体系：符号体系：符号体系：nn总的利息结转次数；总的利息结转次数；总的利息结转次数；总的利息结转次数；mm每个利息结转周期中的每个利息结转周期中的每个利息结转周期中的每个利息结转周期中的年金年金年金年金支付次数；支付次数；支付次数；支付次数；nmnm年金的总支付次数；年金的总支付次数；年金的总支付次数；年金的总支付次数；(nm(nmn)n)i i每个利息结转周期的实际利率。每个

39、利息结转周期的实际利率。每个利息结转周期的实际利率。每个利息结转周期的实际利率。例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年结转两次利息的年名义利率为6%，试计算每月末的付款金额。（应用基本公式）2.7 每年支付m次的年金2.7.1 每年支付m次的期末付定期年金每个支付周期末付款每个支付周期末付款1/m元的年金元的年金现值现值 每个支付周期末付款每个支付周期末付款1/m元的年金元的年金终值终值 (注注)：1)实际每次付款实际每次付款1/m元，每个利息结转周期中付款元，每个利息结转周期中付款m次，因次，因此每个利息结转周期的付款此每个利息结转周期的付款1元。在应用上述公式时，

40、一定要注元。在应用上述公式时，一定要注意它是意它是以每个利息结转周期的付款为单位计算以每个利息结转周期的付款为单位计算的。的。(后面的公式后面的公式与此类似与此类似)2)如果如果m=1，则，则i(m)=i,所以所以 ,。2.7 每年支付m次的年金2.7.2 每年支付m次的期初付定期年金每个支付周期初付款每个支付周期初付款1/m元的年金元的年金现值现值 每个支付周期初付款每个支付周期初付款1/m元的年金元的年金终值终值 (注注注注)：1)1)如果如果如果如果m=1m=1，则，则，则，则d d(m(m)=d,=d,所以所以所以所以 ,。2)2)期初付定期年金与期末付定期年金的关系：期初付定期年金与

41、期末付定期年金的关系：期初付定期年金与期末付定期年金的关系：期初付定期年金与期末付定期年金的关系：,。2.7 每年支付m次的年金2.7.3 每年支付m次的永续年金每个支付周期每个支付周期末末付款付款1/m元的永续年金的现值元的永续年金的现值 每个支付周期每个支付周期初初付款付款1/m元的永续年金的现值元的永续年金的现值 期初付永续年金现值与期末付永续年金现值的关系：期初付永续年金现值与期末付永续年金现值的关系：期初付永续年金现值与期末付永续年金现值的关系：期初付永续年金现值与期末付永续年金现值的关系：【例2-17】投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期地领下去，年

42、实际利率应该为多少？解：m=12，每年领取的金额为每年领取的金额为1200元元。假设年实际利率为i，则：2.8 连续支付的等额年金（continuously payable annuity）连续支付年金：连续支付年金：连续支付年金：连续支付年金：在一个利息结转周期内在一个利息结转周期内在一个利息结转周期内在一个利息结转周期内支付次数趋于无支付次数趋于无支付次数趋于无支付次数趋于无穷穷穷穷时的年金，即连续不断进行支付的年金时的年金，即连续不断进行支付的年金时的年金，即连续不断进行支付的年金时的年金，即连续不断进行支付的年金。2.8.1 2.8.1 连续支付年金的现值连续支付年金的现值年金：年金：

43、年金：年金：总的利息结转次数为总的利息结转次数为总的利息结转次数为总的利息结转次数为n n，每个利息结转周期的实际利率为，每个利息结转周期的实际利率为，每个利息结转周期的实际利率为，每个利息结转周期的实际利率为i i，在每个利息结转周期内，在每个利息结转周期内，在每个利息结转周期内，在每个利息结转周期内连续支付连续支付连续支付连续支付、支付总量为支付总量为支付总量为支付总量为1 1元元元元。该年金的。该年金的。该年金的。该年金的现值：现值：现值：现值：(2-26)(2-26)连续支付年金的现值连续支付年金的现值连续支付年金的现值连续支付年金的现值 连续支付年金的现值与基本年金的现值的关系连续支

44、付年金的现值与基本年金的现值的关系连续支付年金的现值与基本年金的现值的关系连续支付年金的现值与基本年金的现值的关系 连续结转利息、连续支付的年金现值连续结转利息、连续支付的年金现值连续结转利息、连续支付的年金现值连续结转利息、连续支付的年金现值 2.8 连续支付的等额年金2.8.2 连续支付年金的终值年金：年金：年金：年金：总的利息结转次数为总的利息结转次数为总的利息结转次数为总的利息结转次数为n n，每个利息结转周期的实际利率为，每个利息结转周期的实际利率为，每个利息结转周期的实际利率为，每个利息结转周期的实际利率为i i，在每个利息结转周期内，在每个利息结转周期内，在每个利息结转周期内，在

45、每个利息结转周期内连续支付连续支付连续支付连续支付、支付总量为支付总量为支付总量为支付总量为1 1元元元元。该年金的。该年金的。该年金的。该年金的终值：终值：终值：终值：连续年金的终值连续年金的终值连续年金的终值连续年金的终值 连续年金的终值与基本年金的终值的关系连续年金的终值与基本年金的终值的关系连续年金的终值与基本年金的终值的关系连续年金的终值与基本年金的终值的关系连续结转利息、连续支付的年金终值连续结转利息、连续支付的年金终值连续结转利息、连续支付的年金终值连续结转利息、连续支付的年金终值 等额年金公式小结等额年金公式小结等额年金公式小结等额年金公式小结等额年金公式小结等额年金公式小结2

46、.9 价值方程年金问题的基本变量(1)年金的现值年金的现值A或终值或终值S；(2)年金的支付次数年金的支付次数n；(3)利率利率i；(4)每期付款额每期付款额PMT。需要求解的相关问题：(1)年金现值问题或年金累积值问题；(2)投资时期投资时期问题(时间问题)；(3)利率利率问题；(4)每期付款额问题。价值方程：（equation of value）是连接年金问题的4类基本变量的重要关系式。是求解以上4类相关问题的基本工具。2.9 价值方程2.9.1 2.9.1 时间问题求解时间问题求解讨论的主题：已知年金的现值已知年金的现值A(或终值或终值S)S)，每期付款额每期付款额PMT以及利率以及利率

47、i，要求计算，要求计算年金的支付次数年金的支付次数n。常见年金的支付次数问题 (注注)：根据上面公式计算出的时间根据上面公式计算出的时间n未必是整数未必是整数。年金的现值或终值年金的现值或终值 年金的支付次数年金的支付次数n期末付年金现值期末付年金现值期末付年金终值期末付年金终值期初付年金现值期初付年金现值期初付年金终值期初付年金终值2.9 价值方程2.9.1 时间问题求解时间问题求解非整数支付次数下最后一次付款的处理问题：问题：年金的支付次数年金的支付次数n为非整数，这意味着经过为非整数，这意味着经过整数个时期的付款之后，还需进行一次额外的小额整数个时期的付款之后，还需进行一次额外的小额付款

48、。付款。最后一次额外付款的实际处理方法：最后一次额外付款的实际处理方法：(1)提前付款：提前付款：在最后一次正常付款在最后一次正常付款(即在期末或期初的付即在期末或期初的付款款)时，附加一笔较小的付款时，附加一笔较小的付款(价值为最后一次小额付款价值为最后一次小额付款在此时的折现值在此时的折现值)。(2)推迟付款：推迟付款：在最后一次正常付款后，再经过在最后一次正常付款后，再经过1个时期支个时期支付一笔小额付款付一笔小额付款(价值为最后一次小额付款在此时的累积价值为最后一次小额付款在此时的累积值值)。(注注)：在计算未知时间问题时，首先应该判断是否在计算未知时间问题时，首先应该判断是否出现了永

49、续年金。出现了永续年金。2.9 价值方程2.9.2 利率问题求解讨论的主题：已知年金的现值已知年金的现值A或终值或终值S，每，每期付款额期付款额PMT以及年金的支付次数以及年金的支付次数n，要求，要求计算未知计算未知利率利率i。计算未知利率的方法1.1.解析法；解析法；2.2.线性插值法；线性插值法；3.3.迭代法。迭代法。例：如果投资者在每季初向某投资基金存入1000元，当每年结转4次利息的名义利率为多少时，在第5年末可以积存到30000元？解：假设每个季度的实际利率为j，那么每年结转4次利息的名义利率为i(4)=4j，故 应用Excel求解即得 j=0.037189，i(4)=4j=0.1

50、48756。第3章 变额年金（Varying Annuities）内容提要：内容提要：内容提要：内容提要：第第第第2 2章讨论了等额年金，即在相同的时章讨论了等额年金，即在相同的时章讨论了等额年金，即在相同的时章讨论了等额年金，即在相同的时间间隔支付相等的金额。在实际应用中，年金的支间间隔支付相等的金额。在实际应用中，年金的支间间隔支付相等的金额。在实际应用中，年金的支间间隔支付相等的金额。在实际应用中，年金的支付金额并非都是固定不变的。本章我们讨论每次支付金额并非都是固定不变的。本章我们讨论每次支付金额并非都是固定不变的。本章我们讨论每次支付金额并非都是固定不变的。本章我们讨论每次支付金额不