第11章 矩阵位移法.ppt

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1、第第11章章矩矩阵阵位移法位移法 本章教学的基本要求：掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构本章教学的基本要求：掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理和方法。包括单元和结点的划分；单元和结构坐标的原理和方法。包括单元和结点的划分；单元和结构坐标系中单元刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度系中单元刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成结构综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成矩阵；形成结构综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解；结构各杆内力和支座约束力的计算。掌握矩阵及其求解；结构各杆内力和支座约束力的计算。掌握矩阵位移法的计算步骤。位移法的计算步骤。本章教学内容的重点：用先处

2、理法形成结构刚度矩阵和综合本章教学内容的重点：用先处理法形成结构刚度矩阵和综合结点荷载列阵。结点荷载列阵。本章教学内容的难点：用先处理法形成结构刚度矩阵中各步本章教学内容的难点：用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数骤的物理意义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区的物理意义和求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。别。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 本章内容简介本章内容简介:11.1 概述概述11.2 杆件结构的离散化杆件结构的离散化11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵

3、单元坐标系中的单元刚度矩阵11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵11.7 求解结点位移和单元杆端力求解结点位移和单元杆端力11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例第第11章矩阵位移法章矩阵位移法All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.1概概 述述11.1.1 结构矩阵分析结构矩阵分析结构矩阵分析以结构力学的原理为基础，采用矩阵进行运算，结构矩阵分析以结构力学的原理为基础，采用矩阵进行运算，公式紧凑，形式统一，便

4、于计算过程的规格化和程序化，适合电子公式紧凑，形式统一，便于计算过程的规格化和程序化，适合电子计算机进行自动化计算的要求。计算机进行自动化计算的要求。11.1.2 结构矩阵分析的两类方法结构矩阵分析的两类方法力法力法位移法位移法 传统结构分析方法传统结构分析方法结构矩阵分析方法结构矩阵分析方法矩阵力法（柔度法）矩阵力法（柔度法）矩阵位移法（刚度法）矩阵位移法（刚度法）结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限单元法。结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限单元法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.1.3 矩阵位移法的三个基本环节矩阵位移法的三个基本环节矩阵位移法就是以矩阵形

5、式表达的位移法。矩阵位移法就是以矩阵形式表达的位移法。1.结构的离散化结构的离散化2.单元分单元分析析3.整体分析整体分析把结构划分为有限个较小的单元，各单元只在有限个结点把结构划分为有限个较小的单元，各单元只在有限个结点处相连。处相连。分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程式表示，建立单元刚度方程。通过考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建立整个结通过考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的结点位移。构的刚度方程，以求解原结构的结点位移。11.1概概 述述All Right

6、s Reserved重庆大学土木工程学院11.2 杆件结构的离散化杆件结构的离散化11.2.1 单元与结点的划分和编号单元与结点的划分和编号1.单元与结点的划分单元与结点的划分 基本要求：保证单元为等截面直杆。基本要求：保证单元为等截面直杆。此外，应兼顾计算的方便和结构的特殊形式。此外，应兼顾计算的方便和结构的特殊形式。2.单元与结点的编号单元与结点的编号 单元号用单元号用、表示；表示；结点号用结点号用1、2、3、表示表示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.2.2 两种直角坐标系两种直角坐标系矩阵分析中，为了矢量分析的方便，需要采用两矩阵分析中，为了矢量分析的方便

7、，需要采用两种直角坐标系，即种直角坐标系，即结构坐标系结构坐标系和和单元坐标系单元坐标系。采用右手旋转直角坐标系，如图所示。采用右手旋转直角坐标系，如图所示。11.2 杆件结构的离散化杆件结构的离散化All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.2.3 单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端单元杆端力力和和杆端位移杆端位移。平面刚架中的第平面刚架中的第e个单元，其始端和末端的结点个单元，其始端和末端的结点编号分别为编号分别为i和和j。11.2 杆件结构的离散化杆件结构的离散化All

8、Rights Reserved重庆大学土木工程学院1.单元坐标系中的单元杆端力和杆端位移单元坐标系中的单元杆端力和杆端位移在单元分析时，各杆端力和杆端位移均应按照一定的次序排在单元分析时，各杆端力和杆端位移均应按照一定的次序排列，一般规定先列，一般规定先“始端始端”后后“末端末端”。11.2 杆件结构的离散化杆件结构的离散化All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.结构坐标系中的单元杆端力和杆端位移结构坐标系中的单元杆端力和杆端位移杆端线位移与结构坐标系正向一致为正，杆端转角以顺时针方杆端线位移与结构坐标系正向一致为正，杆端转角以顺时针方向为正。向为正。11.2 杆件结构的

9、离散化杆件结构的离散化All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵11.3.1 一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵单元杆端力和杆端位移之间的转换关系，称为单元杆端力和杆端位移之间的转换关系，称为单元刚单元刚度方程度方程。单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之间的转换矩阵。单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之间的转换矩阵。在单元坐标系中，单元刚度方程可表示为在单元坐标系中，单元刚度方程可表示为为单为单元坐元坐标标系中的系中的单元刚度矩阵单元刚度矩阵。式中，式中，All Rights Reser

10、ved重庆大学土木工程学院在线弹性小变形范围内，可忽略轴向变形与弯曲变形之间在线弹性小变形范围内，可忽略轴向变形与弯曲变形之间的相互影响，根据杆件的拉压胡克定律和无荷载作用时的转角的相互影响，根据杆件的拉压胡克定律和无荷载作用时的转角位移方程，可写出关系式位移方程，可写出关系式 11.3.1 一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院写成矩阵形式写成矩阵形式 简写为简写为称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度方程。称为单元坐标系中平面刚架一般

11、单元的单元刚度方程。称为单元称为单元坐标系中平面杆件结构坐标系中平面杆件结构一般单元的单元刚度矩阵一般单元的单元刚度矩阵，简称，简称单刚单刚。是。是66阶的方阵。阶的方阵。11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.3.2 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质1.单元刚度系数的物理意义单元刚度系数的物理意义单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数单元刚度系数，代表由，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。于单位杆端位移引起的杆端力。1）任一个元素）任一个元素 表示第表示第l个杆端位移分量等

12、于个杆端位移分量等于1（其余位（其余位移分量等于零）时，所引起的第移分量等于零）时，所引起的第m个杆端力分量的值。个杆端力分量的值。2）某一列的六个元素，分别表示当某个杆端位移分量等于）某一列的六个元素，分别表示当某个杆端位移分量等于1（其余位移分量等于零）时所引起的六个杆端力分量。（其余位移分量等于零）时所引起的六个杆端力分量。3）某一行的六个元素，分别表示各个杆端位移分量分别等）某一行的六个元素，分别表示各个杆端位移分量分别等于于1时所引起的按该行号顺序排列的杆端力分量的数值。时所引起的按该行号顺序排列的杆端力分量的数值。11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All

13、 Rights Reserved重庆大学土木工程学院 2.单元刚度矩阵是对称矩阵单元刚度矩阵是对称矩阵11.3.2 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵中位于主对角线两边处于对称位置上的两个元单元刚度矩阵中位于主对角线两边处于对称位置上的两个元素相等。素相等。3.一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵的行列式的行列式 之值等于零，不存在逆矩阵。之值等于零，不存在逆矩阵。如果已知如果已知单单元元结结点位移点位移，可惟一求出单元杆端力；反之，则，可惟一求出单元杆端力；反之，则没有惟一解。没有惟一解。无外界约束的一般单元，也称无外界约束的一般单元，也称自由单元自

14、由单元。任一自由单元还可。任一自由单元还可以产生任意的刚体位移，故某一组满足平衡条件的杆端力可以与以产生任意的刚体位移，故某一组满足平衡条件的杆端力可以与弹性位移和任意刚体位移组成的多组杆端位移相对应。弹性位移和任意刚体位移组成的多组杆端位移相对应。11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院4.单元刚度矩阵是单元固有的性质单元刚度矩阵是单元固有的性质，只与单元的弹，只与单元的弹性模量性模量E、横截面积、横截面积A、惯性矩、惯性矩I及杆长及杆长l有关，而与外荷有关，而与外荷载无关。载无关。5.单元刚度矩阵单元刚度矩阵中

15、，对角线上元素均为正中，对角线上元素均为正（这可（这可由刚度系数的物理意义理解，实际上也就是位移法基由刚度系数的物理意义理解，实际上也就是位移法基本方程中的主系数）本方程中的主系数）11.3.2 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.3.3 特殊单元的单元刚度矩阵特殊单元的单元刚度矩阵两端具有六个位移分量的单元称为两端具有六个位移分量的单元称为一般单元一般单元，而把其他的一些，而把其他的一些端部有约束的单元称为端部有约束的单元称为特殊单元特殊单元，如连续梁单元、桁架单元等

16、。，如连续梁单元、桁架单元等。1.连续梁单元连续梁单元 连续连续梁离散得出的梁离散得出的单单元（通常忽略元（通常忽略轴轴向向变变形），只有两端形），只有两端的弯矩的弯矩和与转角存在，其余位移为零和与转角存在，其余位移为零，即，即其单元刚度方程为其单元刚度方程为11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.桁架单元桁架单元对于理想桁架，各杆件只有轴向变形，在单元坐标系中杆对于理想桁架，各杆件只有轴向变形，在单元坐标系中杆端位移仅有轴向位移端位移仅有轴向位移 的存在，而其它位移为零，即的存在，而其它位移为零，即其单元刚度

17、方程为其单元刚度方程为 11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院采用上述同样的方法还可以得出其他各种特殊采用上述同样的方法还可以得出其他各种特殊单元（如一端固定而另一端为铰支或定向支承或自单元（如一端固定而另一端为铰支或定向支承或自由的梁单元等）的刚度方程和刚度矩阵。在结构矩由的梁单元等）的刚度方程和刚度矩阵。在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标准化阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化，因而，无论和自动化，因而，无论i、j两端的约束情况如何，都两端的约束情况如何，都可按一般单元情况处理，

18、即采用一种标准化形式可按一般单元情况处理，即采用一种标准化形式（一般单元）的刚度矩阵。这时，需要把实际铰支（一般单元）的刚度矩阵。这时，需要把实际铰支或自由端未知的位移作为求解的未知位移。此外，或自由端未知的位移作为求解的未知位移。此外，在采用计算机进行分析时，一般都把杆件的轴向变在采用计算机进行分析时，一般都把杆件的轴向变形影响考虑进来，使程序编制上更为简单，而且对形影响考虑进来，使程序编制上更为简单，而且对于大多数情况，这样得到的结果更为准确。于大多数情况，这样得到的结果更为准确。11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵单元坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土

19、木工程学院11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵11.4.1 单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵单元坐标系下的杆端力向量单元坐标系下的杆端力向量结构坐标系下的杆端力向量结构坐标系下的杆端力向量All Rights Reserved重庆大学土木工程学院规定由规定由x轴到轴到 轴的夹角轴的夹角a 以顺时针旋转为正，可得以顺时针旋转为正，可得并有并有11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院将两式合写成矩阵形式，则有将两式合写成矩阵形式，则有 11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度

20、矩阵或简写成或简写成 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院称为称为单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵。它是一个正交矩阵。它是一个正交矩阵必然有必然有杆端位移向量的转换也存在相同的方式杆端位移向量的转换也存在相同的方式，即，即11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.4.2 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵这就是这就是结构坐标系中的单元刚度方程结构坐标系中的单元刚度方程。其中。其中称称为为结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵，仍然是对称矩阵；由于仍为仍然是对

21、称矩阵；由于仍为自由单元，故仍然是奇异矩阵。其中元素的值还与结构坐标系到自由单元，故仍然是奇异矩阵。其中元素的值还与结构坐标系到单元坐标系之间的夹角单元坐标系之间的夹角a a有关。有关。a a以从结构坐标系以从结构坐标系x轴顺时针旋转到轴顺时针旋转到单元坐标系单元坐标系 轴方向为正。轴方向为正。11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院平面刚架一般单元的单元刚度矩阵平面刚架一般单元的单元刚度矩阵 11.4 结构坐标系中的单元刚度矩阵结构坐标系中的单元刚度矩阵对称对称All Rights Reserved重庆大学土木工

22、程学院11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.1 结构的整体分析结构的整体分析结构刚度方程结构刚度方程可写作可写作D D为待求的为待求的基本未知量基本未知量（结点位移）（结点位移）列阵列阵；P为结构的为结构的综合结点荷载列阵综合结点荷载列阵（也称（也称总荷载列阵总荷载列阵）；）；K为为结构刚度矩阵结构刚度矩阵，简称，简称总刚总刚，是结构各结点力与结，是结构各结点力与结点位移之间的转换矩阵。点位移之间的转换矩阵。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5.2 先处理法和后处理法先处理法和后处理法1.1.先处理法先处理法所谓所谓先处理法先处理

23、法，就是一开始即考虑结构的支承条件，把已知的，就是一开始即考虑结构的支承条件，把已知的支座位移排除在基本未知量之外，相应地，结构的综合结点荷载列支座位移排除在基本未知量之外，相应地，结构的综合结点荷载列阵中也不包括支约束力。因而，所形成的结构刚度方程阶数小，不阵中也不包括支约束力。因而，所形成的结构刚度方程阶数小，不用再修正。先处理法可很方便地处理有铰结点的结构、各种性质的用再修正。先处理法可很方便地处理有铰结点的结构、各种性质的支承结点结构及忽略轴向变形的结构。支承结点结构及忽略轴向变形的结构。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵在整体分析时，必须考虑和引入支承边界

24、条件，而这一条件可在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后处理法两种作法处理法两种作法 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5.2 先处理法和后处理法先处理法和后处理法在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后处理法两种作法处理法两种作法 11.5 用先处理法

25、形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵2.2.后处理法后处理法所谓所谓后处理法后处理法，就是先不考虑支承条件，把已知的支座结点位移，就是先不考虑支承条件，把已知的支座结点位移和自由结点的位移也一并列入结构的结点位移列阵中，形成不受约束和自由结点的位移也一并列入结构的结点位移列阵中，形成不受约束的的原始刚度方程原始刚度方程；然后，再根据结点的实际支承条件修正原始刚度方；然后，再根据结点的实际支承条件修正原始刚度方程，形成结构刚度方程，以求解结点位移。后处理法的基本未知量数程，形成结构刚度方程，以求解结点位移。后处理法的基本未知量数目更多，占用计算机的内存和机时更多。一般用于结点多而支座约束目

26、更多，占用计算机的内存和机时更多。一般用于结点多而支座约束少、考虑轴向变形的结构。少、考虑轴向变形的结构。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5.3 结点位移分量的统一编码结点位移分量的统一编码总码总码当采用一般单元考虑单元的轴向变形时，结构的每个结点一般当采用一般单元考虑单元的轴向变形时，结构的每个结点一般有三个位移（有三个位移（u,v,q q ）。采用）。采用先处理法先处理法计算，首先应按照结构的结点计算，首先应按照结构的结点顺序，依次对每个结点的未知位移分量顺序，依次对每个结点的未知位移分量u、v、q q 统一编码（又称为统一编码（又称为结结点未知量编码点未知

27、量编码）。）。1）对于取作基本未知量的有效结点未知量，按照结点顺序（每）对于取作基本未知量的有效结点未知量，按照结点顺序（每个结点又按照个结点又按照u、v、q q 的顺序），依次连续编码即的顺序），依次连续编码即1，2，n。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2）对于已知的支座结点位移分量（包括为零和）对于已知的支座结点位移分量（包括为零和非零两种情况），编非零两种情况），编“0”号。号。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3）

28、对于平面刚架内部有铰结点（全铰或半铰结）对于平面刚架内部有铰结点（全铰或半铰结点）的情况，因采用一般单元来分析，杆在铰端的转点）的情况，因采用一般单元来分析，杆在铰端的转角也是未知量，故应将相互铰结的杆端编以不同的结角也是未知量，故应将相互铰结的杆端编以不同的结点号（即进行点号（即进行双编号双编号）。）。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院4）对于）对于无效结点未知量无效结点未知量（即计算中不需考虑的结点（即计算中不需考虑的结点未知量），编未知量），编“0”号号 11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形

29、成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院5）对于忽略轴向变形的刚架，每个刚结点在某一方）对于忽略轴向变形的刚架，每个刚结点在某一方向上的位移分量不一定都是独立的。向上的位移分量不一定都是独立的。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5.4 单元定位向量单元定位向量1.定义定义将单元始末两端的结点位移分量的统一编码（即将单元始末两端的结点位移分量的统一编码（即结点未知量编码）按顺序排列所组成的列向量称为结点未知量编码）按顺序排列所组成的列向量称为单单元定位向量元定位向量。11.

30、5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.单元定位向量的作用单元定位向量的作用单元定位向量不但可以用来确定单元刚度矩阵各元单元定位向量不但可以用来确定单元刚度矩阵各元素在结构刚度矩阵素在结构刚度矩阵K中的位置，以及单元杆端位移向量各中的位置，以及单元杆端位移向量各元素在整个结构的结点位移向量元素在整个结构的结点位移向量中的位置，而且，可以中的位置，而且，可以用来确定单元等效结点荷载（由单元上非结点荷载等效用来确定单元等效结点荷载（由单元上非结点荷载等效转换而得到的结点荷载）各元素在结构综合结点荷载列转换而得到的结点荷载

31、）各元素在结构综合结点荷载列阵阵P中的位置。中的位置。3.单元定位向量的优点单元定位向量的优点借助于单元定位向量，可以很方便地解决计算机自动借助于单元定位向量，可以很方便地解决计算机自动化计算中所需的信息。化计算中所需的信息。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5.5 按照单元定位向量装配结构刚度矩阵按照单元定位向量装配结构刚度矩阵1.装配过程装配过程1)计算单元计算单元e在结构坐标系中的刚度矩阵在结构坐标系中的刚度矩阵Ke，将其，将其定位向量中各分量（始末两端结点未知量编码定位向量中各分量（始末两端结点

32、未知量编码简称简称“总码总码”）及单元自身的结点位移分量编码）及单元自身的结点位移分量编码简称简称“局部码局部码”,分别写在分别写在Ke的上方和右侧。的上方和右侧。2)按照单元定位向量中的非零分量所指定的行码和按照单元定位向量中的非零分量所指定的行码和列码，将各单元刚度矩阵中的元素，正确地叠加到结构列码，将各单元刚度矩阵中的元素，正确地叠加到结构刚度矩阵刚度矩阵K中去，行、列码相同的元素则相加。这一作中去，行、列码相同的元素则相加。这一作法称为法称为对号入座，同号相加对号入座，同号相加。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学

33、土木工程学院【例例11-1】试按单元定位向量装配图示连续梁的结构刚度矩阵。试按单元定位向量装配图示连续梁的结构刚度矩阵。解：解：(1)对连续梁进对连续梁进行结点编号、单元编号和行结点编号、单元编号和结点未知量编码。结点未知量编码。(2)根据各单元始末两根据各单元始末两端的结点未知量编码（总端的结点未知量编码（总码）形成各单元的定位向码）形成各单元的定位向量，即量，即11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)列出三个单元的结构坐标系中的刚度矩阵。由于连续梁列出三个单元的结构坐标系中的刚度矩阵。由于连续梁的单元坐标

34、系与结构坐标系是一致的，故无需经过变换。的单元坐标系与结构坐标系是一致的，故无需经过变换。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)按照单元定位向量中的非零分量（即总码中的非零编按照单元定位向量中的非零分量（即总码中的非零编码）所指定的行码和列码，将各单元的刚度矩阵中的元素，

35、正码）所指定的行码和列码，将各单元的刚度矩阵中的元素，正确地叠加到结构刚度矩阵确地叠加到结构刚度矩阵K中去。中去。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.结构刚度矩阵的特性结构刚度矩阵的特性1)结构刚度矩阵结构刚度矩阵K是一个是一个NN阶的方阵，阶的方阵，N为结点的位移未知为结点的位移未知量数。量数。2)结构刚度矩阵结构刚度矩阵K是一个对称矩阵，是一个对称矩阵，K=K T。这可由约束力互等。这可由约束力互等定理证明定理证明K中对称于主对角线的元素两两相等，即中对称于主对角线的元素两两相等，即 Kij=Kji3)

36、结构刚度矩阵结构刚度矩阵K是正定的，这时的结构是几何不变的。是正定的，这时的结构是几何不变的。4)结构刚度矩阵结构刚度矩阵K是一个带状矩阵，即非零元素分布在主对角是一个带状矩阵，即非零元素分布在主对角线的附近。因此，在同一单元内的未知量编码差值应尽量保持最小线的附近。因此，在同一单元内的未知量编码差值应尽量保持最小值。值。5)在实际结构分析中所遇到的结构刚度矩阵一般都是大型稀疏在实际结构分析中所遇到的结构刚度矩阵一般都是大型稀疏矩阵。非零元素很少，往往只占矩阵。非零元素很少，往往只占10%左右。左右。11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reser

37、ved重庆大学土木工程学院6)主对角元素主对角元素kii由未知量由未知量D Di的相关单元刚度矩阵的相应主对的相关单元刚度矩阵的相应主对角元素叠加而成。角元素叠加而成。7)非对角元素非对角元素kij有两种情况：有两种情况：若未知量若未知量D Di与与D Dj是相关未知量，则是相关未知量，则 若未知量若未知量D Di与与D Dj不是相关未知量，则不是相关未知量，则 11.5 用先处理法形成结构刚度矩阵用先处理法形成结构刚度矩阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵11.6.1 形成单元的等效结点荷载列阵形成单元的等效结点荷

38、载列阵1)计算在单元坐标系中的单元固端约束力计算在单元坐标系中的单元固端约束力 2)计算在单元坐标系中的单元等效结点荷载计算在单元坐标系中的单元等效结点荷载 将固端约束力反号，得到单元坐标系中的单元将固端约束力反号，得到单元坐标系中的单元等效结点荷载等效结点荷载3)计算在结构坐标系中的单元等效结点荷载计算在结构坐标系中的单元等效结点荷载 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.6.2 计算结构的等效结点荷载列阵计算结构的等效结点荷载列阵PE 依次将每个依次将每个 中的元素，按单元定位向量中的元素，按单元定位向量 ，采用与装配结构刚度矩阵相同的采用与装配结构刚度矩阵相同的

39、“对号入座，同号相对号入座，同号相加加”的方法，送到结构的等效结点荷载列阵的方法，送到结构的等效结点荷载列阵PE的相的相应位置进行叠加。应位置进行叠加。11.6.3 形成结构的综合结点荷载列阵形成结构的综合结点荷载列阵P将将直接结点荷载列阵直接结点荷载列阵PJ与等效结点荷载列阵与等效结点荷载列阵PE进行叠加，即得到结构的进行叠加，即得到结构的综合结点荷载列阵综合结点荷载列阵（也称（也称总荷载列阵总荷载列阵）11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例11-2】试求图示结构的综合结点荷载列阵试求图示结构的综合结点荷载列阵P

40、。解：(1)计算单元固端约束力11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵，All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)计计算算单单元等效元等效结结点荷点荷载载 单元单元：11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院单元单元：11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院单元单元：11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)利用单元定位向量形成结构的等效结点荷

41、载列阵利用单元定位向量形成结构的等效结点荷载列阵PE按单元定位向量，按单元定位向量，“对号入座，同号相加对号入座，同号相加”11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)形成结构的综合结点荷载列阵形成结构的综合结点荷载列阵P11.6 结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.7 求解结点位移和单元杆端力求解结点位移和单元杆端力结构刚度方程（即位移法的基本方程）结构刚度方程（即位移法的基本方程）11.7.1 求解结点位移求解结点位移D D用先处理法直接形成的结

42、构刚度方程，是一个线性用先处理法直接形成的结构刚度方程，是一个线性代数方程组，其结构刚度矩阵代数方程组，其结构刚度矩阵K为对称正定矩阵。求解此为对称正定矩阵。求解此方程组，即可得到未知结点位移方程组，即可得到未知结点位移D D的惟一确定解。的惟一确定解。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.7.2 求单元杆端位移求单元杆端位移11.7.3 求单元杆端内力求单元杆端内力应该注意杆端内力符号与传统结构分析中的差异性应该注意杆端内力符号与传统结构分析中的差异性11.7 求解结点位移和单元杆端力求解结点位移和单元杆端力All Rights Reserved重庆大学土木工程学院

43、11.7.4 求支座约束力求支座约束力FR结构支座约束力的计算，与单元杆端内力的计算结构支座约束力的计算，与单元杆端内力的计算从原理上讲没有什么区别。对于只涉及一个单元的支从原理上讲没有什么区别。对于只涉及一个单元的支座，其支座端的杆端力就是该支座的支座约束力；对座，其支座端的杆端力就是该支座的支座约束力；对于涉及两个或两个以上单元的支座，则应根据支座结于涉及两个或两个以上单元的支座，则应根据支座结点的平衡条件计算支座约束力。注意：支座约束力一点的平衡条件计算支座约束力。注意：支座约束力一般应转换为结构坐标系方向。般应转换为结构坐标系方向。11.7 求解结点位移和单元杆端力求解结点位移和单元杆

44、端力All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例11.8.1 矩阵位移法（先处理法）的计算步骤矩阵位移法（先处理法）的计算步骤1）对结构进行离散化。选取单元坐标系和结构坐标系。）对结构进行离散化。选取单元坐标系和结构坐标系。2）对结点位移分量（即结点未知量）进行统一编码，并形）对结点位移分量（即结点未知量）进行统一编码，并形成单元定位向量成单元定位向量。3）形成单元坐标系中的单元刚度矩阵）形成单元坐标系中的单元刚度矩阵。4）形成结构坐标系中的单元刚度矩阵）形成结构坐标系中的单元刚度矩阵。5）利用单元定位向量形成结构刚度

45、矩阵）利用单元定位向量形成结构刚度矩阵。6）形成结构的综合结点荷载列阵）形成结构的综合结点荷载列阵。7）求解未知结点位移）求解未知结点位移。8）计算杆端内力和支座约束力）计算杆端内力和支座约束力。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11.8.2 平面杆件结构算例平面杆件结构算例1.连续梁连续梁 【例例11-3】试用先处理法计算图示连续梁的内力，并作弯矩图。试用先处理法计算图示连续梁的内力，并作弯矩图。忽略各杆轴向变形的影响。忽略各杆轴向变形的影响。解：解：(1)结构坐标系、结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知单元编号及结点位移未知

46、量编码如图所示。量编码如图所示。(2)形成整体坐标系中形成整体坐标系中的单元刚度矩阵的单元刚度矩阵。11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1211.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K(4)形成结构综合结点荷载列阵形成结构综合结点荷载列阵P11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院再利用单

47、元定位向量形成结构综合结点荷载列阵再利用单元定位向量形成结构综合结点荷载列阵(5)形成结构刚度方程，解方程求结点位移形成结构刚度方程，解方程求结点位移 11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院解方程，得结点位移解方程，得结点位移D D为为(6)利用单元定位向量从结点位移利用单元定位向量从结点位移D D中取出各单元杆端位移中取出各单元杆端位移 11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步

48、骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院M 图图(kN.m)11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例(7)作弯矩图作弯矩图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.平面桁架平面桁架11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例对称对称All Rights Reserved重庆大学土木工程学院形成平面桁架结构刚度矩阵形成平面桁架结构刚度矩阵K的方法与平面刚架相同。对结点的方法与平面刚架相同。对结点位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为基本未知量。位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为基本未知量。【

49、例例11-4】试用先处理法计算图示桁架的内力。各杆试用先处理法计算图示桁架的内力。各杆EA相同。相同。解：解：(1)结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。及结点位移未知量编码如图所示。11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵形成整体坐标系中的单元刚度矩阵 单元单元和单元和单元:a a=p p/2 11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例单元单元单元单元All Rights Reser

50、ved重庆大学土木工程学院单元单元和单元和单元:a a=011.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例单元单元单元单元All Rights Reserved重庆大学土木工程学院单元单元:a a=p p/4 单元单元:a a=3p p/411.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K(4)形成结构的综合结点荷载列阵形成结构的综合结点荷载列阵P11.8 矩阵位移法的计算步骤和算例矩阵位移法的计算步骤和算例All Rights Reser