第3章系统可靠性分析.ppt

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1、第三章 系统的可靠性分析3.1不可修复系统的可靠性 3.1.1可靠性功能逻辑图n可靠性逻辑图：可靠性逻辑图：系统与单元功能间的逻辑关系图，建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型。n例：BAC2C1n如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为：n如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：ABC1C2ABC1C2n例：n如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图为：AB12AB12n如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能正常“关闭”，系统就可实现“被截流”。其逻

2、辑框图为：n若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。n本章主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。n假设：系统、单元均有两种状态正常与失效；n 各单元所处的状态是相互独立的。AB123.1.2串联系统串联系统n特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作，只要有一个单元失效，系统即失效。n设：A 系统正常工作状态n 系统故障状态nAi 单元i处于正常工作状态（i 1，2，n）n 单元i处于故障状态（i 1，2，n）12nABn则：n由上式：（Ai 之间相互独立）n上式表明

3、，在串联系统中，系统的可靠度 Rs(t)是元件（单元）可靠度的乘积。n 1，n 1，而且 ，n即串联子系统的可靠度比任一单元要小。n因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。n若各单元服从指数分布若各单元服从指数分布，n由此可知，串联后仍服从指数分布串联后仍服从指数分布s ，s 。nP49页页，串联系统特性串联系统特性3.1.3并联系统并联系统n特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作，只有所有单元均失效，系统才失效。n设：A 系统正常状态n 系统故障nAi 单元i处于正常工作状态（i 1，2，n）n 单元i处于故障状态123ABn则 （设各单元状态相互独立）n若各单元寿命均服从

4、指数分布，i，n当n 2时 n对对n个相同单元个相同单元i n注意注意n=2时的失效率时的失效率nP51页并列系统特点页并列系统特点3.1.4表决系统（r/n）n特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统就能正常工作。n设：Ai 单元i处于正常工作状态（i 1，2，3）nA 系统处于正常工作状态n则A 12nr/n以1112/3为例n设Ai 间相互独立，但事件：，：，相容Rs(t)P（A）P（A1A2）P（A1A3）P（A2A3）P（）P（）P（）P P（A1A2）P（A1A3）P（A2A3）P（A1A2A3）P（A1A2A3）P（A1A2A3）P（A1A2A3）P（A1A2）P（A1A3）P

5、（A2A3）2 P（A1A2A3）P(A1)P(A2)P(A1)P(A3)P(A2)P(A3)2P(A1)P(A2)P(A3)n当各单元相同时：n会计算会计算2/3系统可靠性系统可靠性P52n一般，对于n个相同单元（R(t)）组成的r/n表决系统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统失效概率Rs(t)可表示为：n又r/n系统，当rn时，为n/n系统，即为串联系统n当r1时，为1/n系统，即为并联系统n各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为；n讨论：讨论：r/n系统的优势系统的优势3.1.5混联系统n一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统 12345678子系统S167S28等效单元8

6、S4S3n串并联系统n每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri，再求得Rs n当n1n2nmn，时，n并串联系统1121m111222m221n2nmnnij第j列i=1,2,mjj=1,2,nn每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj，再相乘即得Rs n当m1m2mnm，且时，n讨论并串联系统与串并联系统的可靠性关讨论并串联系统与串并联系统的可靠性关系系n在同是行列时，时，并串联系统可靠度高n时，串并联系统可靠度高，此时趋于并联系统n能能够列出混列出混联系系统可靠性表达式可靠性表达式3.1.6旁联系统12n一、冷储备系统（储存单元完全可靠的旁联一、冷储备系统（储存单元完全可靠的旁联系统）系统

7、）n转换开关完全可靠的冷储备系统 设T1，T2，Tn为1n个单元的寿命，随机变量，且两两相互独立则系统寿命随机变量：Ts T1T2Tn 系统可靠度：Rs(t)P（Tst）P（T1T2Tnt）系统平均寿命：单元i的平均寿命 下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式Rs(t)的计算方法。设两单元：T1、T2 均服从指数分布，失效率分别为1、2 则，Rs(t)P(Tst)fs(t):TsT1T2的概率密度函数TsT1T2 即f1(t)和f2(t)的卷积。n对n个不同单元组成的旁联转换开关不完全可靠的冷储备系统n系统由n个部件和一个转换开关（转换开关最多需要使用n-1次）n开关寿命0-1型，开关正常

8、概率为p，开关故障的概率为q=1-pn系统故障的两种情况：n当正在工作的部件故障，需要使用转换开关时，转换开关故障；n转换开关使用正常，所有n个部件都故障。（这时转换开关一共进行了n-1次）n设n个部件寿命x1,x2,xn是独立的且服从同指数分布1-e-t，开关的好坏也是独立的。n引入一变量：n=j 若第j次使用开关时，开关首次故障，j=1,2,n-1n=n 若n-1次使用开关，开关都正常（即开关在系统使用到第n个部件时也不坏）有的定义，易见 P=j=pj-1q,j=1,2,n-1 P=n=pn-1且n此时系统的寿命可表示为 x=x1+x2+x3+x n系统的可靠度为 以两个部件的情况为例：P

9、(=j)=q,当j=1 p,当j=2R(t)=qP(x1t)+pP(x1+x2t)n当p=1，即转换开关完全可靠时，这里的所有结果同转换开关完全可靠的冷储备系统。n储备单元不完全可靠的旁联系统（热储备系统）n两个工作单元寿命为X1和X2相互独立，均服从指数分布；第二个单元的存储寿命为Y服从指数分布n可靠性可以分为两部分：当工作单元失效时，储备单元已经失效；n当工作单元失效时，储备单元尚未失效；3.1.7复杂系统n布尔真值表法（枚举法）nN个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”两种状态，则系统就有2n种（微观）状态，对这2n个状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故障”，由于各

10、状态互斥饮。因此所有正常工作状态的概率之和就使系统的状态。n 例如n系统n全概率分解法n根据全概率公式n其中是在事件Bi发生的条件下，事件发生的概率nBi互不相容，=I (全集)设x 某被选单元正常状态(事件)某被选单元故障状态(事件)S系统正常状态系统故障状态n则有：n按单元展开：可转化为：n正常（短路）n失效（断路）n全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。n可以通过网络概率图的方法n最小路集法与最小割集法最小路集法与最小割集法n网络图：网络由节点和节点间的连线(弧或单元)连接而成，假设弧(单元

11、)和系统只有两种可能状态正常或失效。弧(或单元)之间相互独立，同时又分为节点失效和节点不失效两大类。n路集：由节点出发经过一串弧可到达节点，这一串弧称作从到的一个路集或径集n最小径集：少一条弧就不是一条路了。n割集：存在某些弧，割断这些弧，就割断了所有从输入点到输出点的路径。这些弧的集合称为割集。n最小割集：少一条弧就割不断所有路径了。利用矩阵法求最小路集n左乘法（如果网络起点为i，终点为j）n先写出所有弧的矩阵C，再列出C阵对应输出节点标号的列，如第j列为(C)jn用C阵左乘(C)j，即C2=C(C)jn依次下去，求出Cn-1的第j列，n这些矩阵的第j列的第i个元素即为最小路集之和。n以桥式

12、网络为例：n所有矩阵中的第二列 第一项为最小路集之和ab,cd,aed,cedn最小路集与最小割集之间的转换n利用最小路集和最小割集求系统可靠性n只要知道最小路集和最小割集的不交和就可以了。n（1）求元素为n-1的最小路的不交和n（2）求其他路集的不交和3.2 可修复系统的可靠性 n经过修理使系统恢复至正常工作状态，如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。3.2.1马尔可夫过程的基本概念n马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t t0时的状态仅与

13、时刻t0的状态有观，用数字公式可描述为：设x(t),t0是取值在E=0,1,2,或E=0,1,2,N上的一个随机过程。若对任意n个时刻点0t1t2tn均有:Px(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,x(tn-1)=in-1 =Px(tn)=in|x(tn-1)=in-1 i1,i2,inE 则称x(t),t0为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。n特别地，如果对任意t,u0,均有Px(t+u)=j|x(u)=i=P(x(t)=j|x(0)=i)=Pij(t)i,jE 与转移的起始时间u 无关，则称该马尔可夫过程式齐次的。Pij(t）称为从状态i到状态j的转移概率(函数)，转移函

14、数的全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩阵为nn阶方阵，可写为：n对于齐次的马氏过程，有下述关系（性质）0Pij1;nn阶方 可以证明，对系统寿命及故障后的修复时间均服从指数分布时，则系统状态变化的随机过程x(t),t0是一个齐次马尔可夫过程。n为了简化起见，假设：n，为常数（即寿命和维修时间服从指数分布）(注意：若系统的寿命或修理时间不是指数分布，而是正态，威布尔或其他分布，它仍不是有“无记忆性”，因此不能用马氏过程来描述，同时这个假设也包含了修复如新的含义。）n部件和系统取正常和故障两种状态。n在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同时进行状态转移的概率是t的高阶无穷小，此

15、概率可以忽略不计。n状态转移图。状态转移图。可修系统可靠性研究的关键是画出系统的状态转移图。如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为：e1正常；e2故障。n如机器处于e1状态的概率P11=4/5,则e1向e2转移的概率P12=1P11=1/5；反过程，如机器处于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5，P21=3/5（维修度M()）;则修不好仍处于e2状态的概率是P22=1P21=2/5.(不维修度)n由此可写出系统的转移矩阵为:n转移矩阵Pij也表示时间ei 发生的条件下，时间ej发生的条件概率：nP是这样写的:列是起始状态，有小到大；行是到达状态，由小到大排列，建立P时

16、应与转移图联系起来。n单部件可修系统n部件的故障率，修复率分别是常数、，则：t时刻系统处于工作（正常工作）状态，在tt+t之间内发生故障的条件概率为（即为P01）t时刻系统处于故障状态，在tt+t之间即t时间内修复好的条件概率为（即为P21）n上图中:n转移概率矩阵为:n令 n下面研究如何求解n首先，利用全概率公式可求出：和 的表达式n由上式展开、移项、两边除以 ，若令 取极限有：n同理可得：n通过拉普拉斯变换可得有效度n由此瞬态有效度（可用度）：n稳态有效度：n平均有效度：（0,t）n由上述可归纳出解可修系统有效度等方法步骤如下：n画出系统的状态转移图n写出转移矩阵n令 ，求出P （也称为转

17、移矩阵）n求状态方程系数矩阵AnA=P-I I是与P同阶的单位矩阵，A又称为转移率矩阵n求解状态方程（使用拉普拉斯变换及逆变换）3.2.2串联可修系统n1、n个相同单元组成的串联系统、一组维修人员 每个单元：、为常数，两种状态：n状态0：n个单元全正常，系统正常状态n状态1：任一单元故障，系统故障状态n因为任一单元故障，系统即停止工作（不会出现两个及以上单元同时故障的情况）n状态方程：n初始条件：n用拉氏变换与反变换可解出：n2、n个不同单元组成的串联系统、一组维修人员 n个单元：，（i=1，2，n）系统有n+1个状态：n状态0：n个单元均正常，系统正常状态n状态1：单元1故障，其余正常，系统

18、故障n状态2：单元2故障，其余正常，系统故障 n状态n：单元n故障，其余正常，系统故障n令nA=P-In给定初始条件，（用拉氏正、反变换）解此方程组即可求得：n（瞬态）有效度：n稳态有效度：3.2.3并联可修复系统并联可修复系统n1、由n个相同单元和一组维修人员组成 每个单元的故障率为，修复率为，复后单元的寿命分布不变，维修过程中无其他单元损害。在此假定下，系统有n+1个可能状态。定义X(t)=j 时刻f时有j个单元故障，j=0，1，2，n。可以证明，X(t)是一个齐次马尔可夫链。n两个相同单元的并联系统（一组维修人员）系统有3种状态（、）n0状态两个单元都正常，系统正常n 1状态任意一个单元

19、故障，系统正常n 2状态两个单元都故障，系统故障n状态方程为：n给定初始条件，解此方程组可得：n两个不同单元并联系统（一组维修人员）共5个状态：n状态0单元1、2都正常，系统正常n状态1单元1正常，单元2故障，系统正常n状态2单元2正常，单元1故障，系统正常n状态3单元1修理，单元2待修，系统故障n状态4单元2修理，单元1待修，系统故障3.2.4 m/n(G)可修复系统n系统由n个相同单元和一组维修人员组成。n当且仅当至少有m个单元工作时，系统才工作，当有n-m+1个单元故障时，系统故障。系统故障期间m-1个好的单元也停止工作，不会故障，直到有一个单元修复时，又有m个好的单元同时进入工作状态。

20、此时系统重新进入工作状态。nm/n(G)可修复系统共有n-m+2个不同的状态，定义x(t)=j 时刻t时有j(j=0，1，2，n-m+1)个单元故障nj=n-m+1时系统处于故障状态，因此E=0，1，2，n-m，X(t)是一个齐次马尔可夫链。n经求解得系统稳态有效度为3.2.5旁联可修复系统n1储备单元在储备期也完全可靠(1)两个相同单元、一组维修人员的旁联系统n当工作单元发生故障时，储备单元立刻替换进入工作状态，而故障单元立刻进行修复。在顶替单元没有发生故障前，修复单元已修好并进入储备状态，以保证系统处于正常工作状态。n若修复单元没有修好时，顶替单元也发生了故障，则因一组维修人员，单元2只好

21、处于待修状态，这时系统处于故障状态。n当第一个故障单元修复后投入工作状态时，第二个故障单元则进入修复状态，这时系统又处于工作状态。系统的可能状态有3个，定义 x(t)=j 时刻t时有j=(0，1，2)个单元故障nj=2时系统处于故障状态，因此E=0，1，x(t)是一个齐次马尔可夫链。n可得出瞬时有效率和稳态有效率(2)两个不同单元、一组维修人员的旁联系统n系统由两个不同单元及一组维修人员组成，两个单元的故障率分别为1，2，修复率分别为1，2。该系统可能有6个状态，即n0-单元1工作单元2处于储备状态，系统正常；n1-单元2工作，单元1处于储备状态，系统正常；n2-单元1工作，单元2处于修理状态

22、，系统正常；n3-单元2工作，单元1处于修理状态，系统正常；n4-单元1在修理，单元2处于待修状态，系统故障；n5-单元2在修理，单元1处于待修状态，系统故障。定义 X(t)=j 时刻t时系统处于状态j(j=0，1，2，3，4，5)X(t)是一个齐次马尔可夫链，E：0，1，2，3。n稳态有效度为 2.储备单元在储备期不完全可靠储备单元在储备期不完全可靠n两个相同单元及一组维修人员 n且假定工作单元的故障率与储备单元的故障率分别为与0，工作单元及储备单元的修复率均为。则该系统有3个可能状态，即n0-个单元工作，另一个单元处于储备状态，系统正常；n1-个单元工作，另一个单元处于维修状态，系统正常；（工作单元故障或者储备单元故障(+0)n2-个单元在修理，另一个单元处于待修理状态，系统故障。定义nx(t)=j 时刻t时系统处于状态j(j=0，1，2)，x(t)是一个齐次马尔可夫链，E=0，1。n可求得瞬时有效度和稳态有效度