13.09级Ch8.5.1Adams方法和一般线性多步法.ppt

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1、5 Adams方法和一般线性多步法方法和一般线性多步法单步法单步法 计算计算yk+1+1只用到只用到yk 计算计算yk+1+1用到更多的信息量用到更多的信息量 多步法多步法 减少计算量，提高计算效率减少计算量，提高计算效率 目的目的 一、（一般）线性多步法的典型代表：一、（一般）线性多步法的典型代表：Adams方法方法本节内容本节内容 二、二、构造构造线性多步法的两种途径线性多步法的两种途径1 数值积分法数值积分法2 Taylor方法（待定系数法）方法（待定系数法）5.1 Adams（亚当姆斯）方法（亚当姆斯）方法设等步长设等步长 ，节点，节点 为为正整正整l 公式公式1.1.l 步显式步显式

2、Adams（亚当姆斯）方法（亚当姆斯）方法(外插法外插法)问题问题 求解求解已知值已知值.考虑考虑(1.1),(1.2)(1.1),(1.2)的的数值解数值解.数，数，已用某种方法求出，已用某种方法求出，是是 设设 为插值节点为插值节点 .来近似来近似 .首先，首先，用过点用过点 的插值多项式的插值多项式 即即y(x)为精确解为精确解.再再将将p(x)在在上积分上积分来近似来近似 .令令 并用并用 分别近似分别近似 得得 步显式步显式Adams公式：公式：首先，首先，用过点用过点 的插值多项式的插值多项式 即即由插值多项式余项由插值多项式余项:(1.1)得局部截断误差：得局部截断误差：l 局部

3、截断误差与方法的阶之间的关系局部截断误差与方法的阶之间的关系 定义定义7主主项项为局部截为局部截并称并称断误差的断误差的主项主项.又称线性多步法又称线性多步法(5.4)是是m阶阶方法方法.结论结论 l 步的步的Adams方法是方法是l 阶方法，且局部截断误差阶方法，且局部截断误差其中其中主项主项称称 对于线性多步法对于线性多步法 为该方法（线性多步法）的为该方法（线性多步法）的局部截断误差局部截断误差.l 几种低阶显式几种低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数方法的公式及主局部截断误差的系数当当 l=1 时，时，即即当当 l=2 时，时，由由(5.3)得得由由(5.2)得得由由(5

4、.6)得得表表 8.3步数方法阶公式11223344可类似求出可类似求出.当当 l=3 时，公式及主局部截断误差的系数时，公式及主局部截断误差的系数如下表如下表2.l 步隐式步隐式Adams（亚当姆斯）方法（亚当姆斯）方法(内插法内插法)公式公式 来近似来近似 将将 在在上积分，得上积分，得 令令 用过点用过点 的插值多项式的插值多项式 得得l 步隐式步隐式Adams公式公式 由插值多项式余项由插值多项式余项 则则 (1.1)l 主局部截断误差主局部截断误差结论结论 令令得主局部截断误差为得主局部截断误差为隐式隐式 l 步步Adams方法是方法是 l+1 阶方法阶方法.可以说成可以说成 l 步

5、隐式步隐式Adams方法是方法是l+1阶的方法阶的方法.l 几种低阶隐式几种低阶隐式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数方法的公式及主局部截断误差的系数步数步数方法阶方法阶公式公式12233445表表 8.4显式显式Adams方法方法表表 8.3隐式隐式Adams方法方法步数步数方法阶方法阶公式公式11223344 显式一步显式一步Adams方法就是方法就是Euler方法方法，隐式一步，隐式一步Adams方法就方法就 注注 (1)(1)比较表比较表8.3与表与表8.4知知,相同步的隐式方法比显式方法相同步的隐式方法比显式方法 常用的四阶方法常用的四阶方法 高一阶高一阶，要得到相同的阶，隐

6、式方法可少用一个已知量；既使是，要得到相同的阶，隐式方法可少用一个已知量；既使是同阶的，隐式法的同阶的，隐式法的主局部截断误差系数主局部截断误差系数的绝对值比显式的的绝对值比显式的要小要小.（2）Adams方法与方法与Euler方法、梯形方法的关系方法、梯形方法的关系 是是梯形方法梯形方法.四步显式四步显式Adams方法方法 三步隐式三步隐式Adams方法方法 初始的初始的3个或个或4个个y值值,可用经典的可用经典的Runge-Kutta（龙格库塔）方法（龙格库塔）方法 计算生成计算生成.解解 例例 分别用四阶显式和隐式方法解初值问题分别用四阶显式和隐式方法解初值问题四阶显式四阶显式Adams

7、方法计算公式为方法计算公式为四阶隐式四阶隐式Adams方法计算公式为方法计算公式为 初始点用准确解初始点用准确解 的值的值.计算结果如下表计算结果如下表xkAdams显式显式|误差误差|Adams隐式隐式|误差误差|0.31.040818012.110-70.41.070322922.910-61.070319663.810-70.51.106535484.810-61.106530145.210-70.61.148818416.810-61.148811016.310-70.71.196593398.110-61.196584597.110-70.81.249338169.210-61.24

8、9328197.710-70.91.306579611.010-51.306568848.110-71.01.367889961.110-51.367878608.410-7表表 8-5显式四步四阶法显式四步四阶法隐式三步四阶法更精确隐式三步四阶法更精确l 当当f(x,y(x)是是y的的非线性非线性函数时，隐式法的计算函数时，隐式法的计算 隐式隐式Adams方法方法(5.7)是是yk+1的方程，的方程，预估校正方法预估校正方法预估预估四阶显四阶显式式Adams方法方法校正校正四阶隐四阶隐式式Adams方法方法非线性函数时，可用迭代法或非线性函数时，可用迭代法或Newon法求解法求解.因此若都用

9、隐式法，因此若都用隐式法，计算量大，不易计算，常用显式计算量大，不易计算，常用显式Adams方法作方法作预估预估，再用隐式，再用隐式Adams方法作方法作校正校正，通常校正一次，以四阶为例说明，通常校正一次，以四阶为例说明.要求要求yk+1需要求解方程，若需要求解方程，若f(x,y(x)是是y的的 利用主局部截断误差的系数，可建立预估校正改进四阶利用主局部截断误差的系数，可建立预估校正改进四阶l 外推技术外推技术(5.11)式中第式中第3个式子的推导个式子的推导 利用外推技术，即利用外推技术，即预估校正法的局部截断误差（预估校正法的局部截断误差（p阶）阶）预估误差预估误差校正误差校正误差 方法

10、，也称为方法，也称为外推技术外推技术.四阶显式四阶显式Adams方法方法四阶隐式四阶隐式Adams方法方法所以所以把把 说明说明 (5.11)实质上是实质上是五阶五阶方法方法.且使用且使用(5.11)时，时，y0已知，已知，P419.算法算法 8.2(1)减减(2)，得，得当当h充分小时，认为充分小时，认为 ，则，则代入上式，即得代入上式，即得(5.11)的第的第3式式.y1,y2,y3可用四阶经典可用四阶经典R-K方法进行计算方法进行计算.预估校正法的局部截断误差（预估校正法的局部截断误差（p阶）阶）预估误差预估误差 校正误差校正误差 理解理解（一般）线性多步法的典型代表：（一般）线性多步法的典型代表：Adams方法；方法；会利用会利用Taylor展开法以及整体截断误差的阶与局部截断误差的阶之间的关展开法以及整体截断误差的阶与局部截断误差的阶之间的关系讨论简单的系讨论简单的Adams方法方法方法的收敛阶方法的收敛阶.