振动和波-1.ppt

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1、第六章第六章 振动和波振动和波-振动振动1 11.1 简谐振动的描述简谐振动的描述1.3 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 1.2 简谐振动的矢量图表示法简谐振动的矢量图表示法1.4 两个简谐振动的实例两个简谐振动的实例作业：作业：6-2,6-3,6-56-1 简谐振动简谐振动 2 26-1 6-1 简谐振动简谐振动1.1 1.1 简谐振动的描述简谐振动的描述人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电磁人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电磁学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。振动的一般概念振动的一般概念 什么叫振动什么叫振动

2、物体在同一路径的一定物体在同一路径的一定位置附近作重复往返运动称为机械位置附近作重复往返运动称为机械振动振动。周期性振动周期性振动在在 T时间内运动状态能完全重复。时间内运动状态能完全重复。特点特点：有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。非周期性振动非周期性振动在在 T时间内运动状态不能完全重复。时间内运动状态不能完全重复。3 3 机械振动分类机械振动分类按产生振动原因分：按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。自由、受迫、自激、参变振动。按振动规律分：按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。简谐、非简谐、随机振动。按自由度分：按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。单自由度

3、系统、多自由度系统振动。按振动位移分：按振动位移分：角振动、线振动。角振动、线振动。按系统参数特征分：按系统参数特征分：线性、非线性振动。线性、非线性振动。其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。4 4简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动凡是以时间的正弦或余弦函数凡是以时间的正弦或余弦函数凡是以时间的正弦或余弦函数凡是以时间的正弦或余弦函数 表示的运动都是简谐振动。表示的运动都是简

4、谐振动。表示的运动都是简谐振动。表示的运动都是简谐振动。简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述结论结论：以以弹簧振子弹簧振子为例为例系统的位移按系统的位移按的规律运动，其中的规律运动，其中 由系统自身决定。由系统自身决定。简谐振动简谐振动5 5实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。晶格点阵晶格点阵广义振动广义振动：物理量在中心值附近周期性变化。：物理量在中心值附近周期性变化

5、。6 6 简谐振动的周期和频率、振幅简谐振动的周期和频率、振幅叫做周期，每隔叫做周期，每隔T 时间运动完全重复时间运动完全重复称为振动频率，单位时间内振动的次数。称为振动频率，单位时间内振动的次数。称为角频率（或圆频率）称为角频率（或圆频率）即单位时间内相位的变化值即单位时间内相位的变化值7 7 初相位初相位振幅，振幅，振动中最大位移量振动中最大位移量 简谐振动的相位、初相位、振幅简谐振动的相位、初相位、振幅简谐振动除用余弦函数形式表达外，还可以用正弦简谐振动除用余弦函数形式表达外，还可以用正弦函数表达。函数表达。相位；相位；角频率角频率相同的运动状态对应相同的运动状态对应相位差为相位差为 的

6、整数倍。的整数倍。8 8两个同频率简谐振动的相位差：两个同频率简谐振动的相位差：0 20超前超前 10 0 20落后落后 10=2n 同相同相=（2n 1）反相反相9 91.2 简谐振动的简谐振动的矢量图表示法矢量图表示法矢量作圆周运动矢量作圆周运动，而投影点作，而投影点作简谐振动。简谐振动。复平面上任意一点对应一个复平面上任意一点对应一个矢量，因此，可用一个旋转矢量，因此，可用一个旋转矢量来描述简谐振动。矢量来描述简谐振动。是模为是模为 A，幅角为幅角为 的矢量。的矢量。它以角频率它以角频率 ，从初始幅角，从初始幅角 出发绕原点匀速旋转。出发绕原点匀速旋转。1010我们也可以用一个复数我们也

7、可以用一个复数 表达简谐振动：表达简谐振动：振幅是复数的模，相位为复数的幅角。振幅是复数的模，相位为复数的幅角。位移位移 是复数的实部。是复数的实部。旋转矢量图法的用途旋转矢量图法的用途:1 1、利用旋转矢量制作振动曲线；、利用旋转矢量制作振动曲线；2 2、已知振动曲线或初始条件求初相；、已知振动曲线或初始条件求初相；3 3、比较两振动的位相差。、比较两振动的位相差。11111.3 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程结论结论其解：其解：形成简谐振动的两个条件是弹性力和惯性。形成简谐振动的两个条件是弹性力和惯性。弹性力弹性力质点所受的外力与对平衡位

8、置的位移成正比质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比且反向，或质点的势能与位移（角位移）的且反向，或质点的势能与位移（角位移）的平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振动系统称为谐振子。动系统称为谐振子。1212是二阶微分方程解的积分常数，是二阶微分方程解的积分常数，可以从初始条件决定可以从初始条件决定 简谐振动的速度和加速度：简谐振动的速度和加速度：称为速度振幅；速度比位移的相位超前称为速度振幅；速度比位移的相位超前称为加速度振幅；称为加速度振幅；数学上能严格证明它的数学上能严格证明它的唯一可能解唯一可能解加速度比位移的相位超前（或落后）加速度比位移的相位

9、超前（或落后）1313 二阶微分方程的初始条件决定振幅和初相位二阶微分方程的初始条件决定振幅和初相位已知已知式中式中 是初始的位移，是初始的位移，是初速度。是初速度。由此可得出：由此可得出：14141.找平衡位置;2.偏离后求合力(力矩);3.由力学规律列方程;4.写为标准形式.例例1.重物重物m悬挂在弹簧悬挂在弹簧k的下端，求振动圆频率。的下端，求振动圆频率。解：平衡位置:偏离x:由初始条件求解由初始条件求解振动方程振动方程oxx1515弹簧串联平衡位置O，偏离x，有 x=x1+x2 及 k1x1=k2x2=kx解得等效劲度系数求A,j弹簧并联xxk1xxOk21616 单摆单摆在角位移很小

10、的时候，单摆的在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率振动是简谐振动。角频率、振、振动的周期分别为：动的周期分别为：结论1.4 两个简谐振动的实例两个简谐振动的实例当当 时时1717为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。复摆复摆（物理摆）（物理摆）总结总结：复摆的角谐振动方程复摆的角谐振动方程：当当 时时1818振动的角频率、周期完全由振动振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。系统本身来决定。复摆的角谐振动方程复摆的角谐振动方程：单摆的角谐振动方程单摆的角谐振动方程：总结：1919例例2 2：已知图中已知图中0 0=17.5/s,=17.5/s,t t=0=0时右偏时右

11、偏0.1m,0.1m,v v0 0=2.4m/s,2.4m/s,方向向左，求振动方程。方向向左，求振动方程。解：1.选右为正方向选右为正方向,x0=0.1m,v0=-2.4m/s2.若若选向左为正方向选向左为正方向，则 x0=-0.1m,v0=2.4 m/s振动方程:振动方程:与坐标有关！ox2020例例3：边长：边长 、密度、密度 的木块的木块 浮在大水槽的表面上，今把木块完全压入水浮在大水槽的表面上，今把木块完全压入水 中，然后放手，如不计水对木块的阻力，问中，然后放手，如不计水对木块的阻力，问 木块将如何运动？木块将如何运动？木块的运动是平动，所以木块的运动是平动，所以可用它上面任一点来

12、描述，可用它上面任一点来描述，现在我们选现在我们选Q点来描述木点来描述木块的运动。块的运动。Q不一定是质不一定是质心，但整体的平动可用心，但整体的平动可用Q作代表点。作代表点。解：选水面上一点解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时，木块浮在为坐标原点；平衡时，木块浮在 水面，木块上水面，木块上Q点与点与O 重合。其顶部至水面距重合。其顶部至水面距 离为离为 。2121由题意：由题意：设木块横截面积为设木块横截面积为S，根据阿基米德定律根据阿基米德定律,平衡时：平衡时：任一时刻任一时刻 OQ=x，木块受力木块受力有重力和浮力不相等，其合有重力和浮力不相等，其合力为做简谐振动的恢复力，力为做简谐振动

13、的恢复力，称为准弹性力。称为准弹性力。2222设质心与设质心与Q的距离为的距离为 ,质心的位置质心的位置 。其动力学方程即为质心的运动方程：其动力学方程即为质心的运动方程：将质心坐标代入可知从将质心坐标代入可知从质心运动过渡到刚体上质心运动过渡到刚体上任一点平动是等价的。任一点平动是等价的。木块简谐振动木块简谐振动的动力学方程：的动力学方程：2323得木块的运动方程：得木块的运动方程：由初始条件：将木块完全压入水中由初始条件：将木块完全压入水中其中固有角频率：其中固有角频率：舍去舍去：所以：所以：2424附录一：附录一：线性微分方程线性微分方程 解的存在和唯一性定理解的存在和唯一性定理解的存在

14、和唯一性定理解的存在和唯一性定理如果如果a0(x)，a1(x)，,an(x)和和R(x)在在区间区间(x0-,x0+)(0)内连续内连续,且且a0(x)0,那么对任意给定的那么对任意给定的初始条件初始条件:上述方程存在唯一解上述方程存在唯一解:2525附录二：附录二：二阶齐次常系数微分方程的通解二阶齐次常系数微分方程的通解其中，其中，p p和和q q为常数，为常数，y y为为x x的函数（的函数（）设设r1和和r2分别为方程：分别为方程：的两个根的两个根2626微分方程微分方程 的通解的通解1 1、（实数（实数）2 2、（实数（实数）3 3、，27271.1 简谐振动的描述简谐振动的描述1.3 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 1.2 简谐振动的矢量图表示法简谐振动的矢量图表示法1.4 两个简谐振动的实例两个简谐振动的实例作业：作业：6-2,6-3,6-56-1 简谐振动简谐振动 2828