03-连续时间信号与系统的频域分析.ppt

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1、第第3章章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析n3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数n3.2 周期信号的频谱周期信号的频谱n3.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换n3.4 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质n3.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n3.6 频域系统函数频域系统函数n3.7 连续系统的频域分析连续系统的频域分析n3.8 抽样定理抽样定理目标目标n通过本章的学习，应达到以下要求：通过本章的学习，应达到以下要求：n（1）掌掌握握周周期期信信号号和和非非周周期期信信号号频频谱谱的的概概念念及信号频带宽度的概念。及信号频带宽

2、度的概念。n（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。）熟悉傅里叶变换的主要性质。n（3）掌握抽样定理。）掌握抽样定理。3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数n3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n若一个连续时间信号若一个连续时间信号f(t)是周期的，则它可以表示为：是周期的，则它可以表示为：（3-1）n 狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）条件是：条件是：n（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数

3、目应是有限个；是有限个；n（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；n（3）在一周期内，信号满足绝对可积。）在一周期内，信号满足绝对可积。当当f(t)满足狄里赫利条件时，周期信号满足狄里赫利条件时，周期信号f(t)才能展开成傅里才能展开成傅里叶级数。叶级数。n实际上，在电子、通信、控制等工程技术中实际上，在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这一条件，故一般不的周期信号一般都能满足这一条件，故一般不特别注明此条件。则：特别注明此条件。则：（3-2）n式式中中，n为为正正整整数数；系系数数 称称为为傅傅里里叶叶系系数数，考考虑虑

4、到到三三角角函函数数集集是是一一组组完完备备的的正正交交函函数数集集，因因此，可得一个周期（此，可得一个周期（）的傅里叶系数：）的傅里叶系数：（3-3）（3-4）（3-5）n若若将将式式（3-23-2）中中的的同同频频率率项项加加以以合合并并，又又可可以以写写成成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数n三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算很不方便，三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算很不方便，因此经常采用指数形式的傅里叶级数。将欧拉公式：因此经常采用指数形式的傅里叶级数。将欧拉公式：代

5、入式（3-2），可得：3.2 周期信号的频谱周期信号的频谱n3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱n3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度周期信号频谱的特点及频带宽度3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱n1 1单边频谱单边频谱 n2 2双边频谱双边频谱1单边频谱单边频谱 n若周期信号若周期信号 的傅里叶展开式为：的傅里叶展开式为：n则对应的幅度频谱则对应的幅度频谱 和相位频谱和相位频谱 称为单称为单边频谱，如图边频谱，如图3-3所示。所示。（a）单边幅度频谱 （b）单边相位频谱图3-3 周期信号的单边频谱2双边频谱双边频谱n若若 周期信号的傅里叶展开式为：周期信号的傅里叶展开式为：（a

6、）双边幅度频谱（b）双边相位频谱图3-4 周期信号的双边频谱3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度周期信号频谱的特点及频带宽度n1周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点n2周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度n3典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点1周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点n（1）频频谱谱由由不不连连续续的的谱谱线线组组成成，每每一一条条谱谱线代表一个正弦分量，即频谱具有线代表一个正弦分量，即频谱具有离散性离散性。n（2）频频谱谱的的每每条条谱谱线线都都只只能能出出现现在在基基波波频频率率 的整数倍的频率上，即频谱具有的整数倍的频率上，即频谱具有谐波

7、性谐波性。n（3）频频谱谱的的各各条条谱谱线线的的高高度度，即即各各次次谐谐波波的的振振幅幅总总是是随随着着谐谐波波次次数数的的增增大大而而逐逐渐渐减减小小；当当谐谐波波次次数数无无限限增增大大时时，谐谐波波分分量量的的振振幅幅也也就就无限趋小，即频谱具有无限趋小，即频谱具有收敛性收敛性。n（4）无无论论是是幅幅度度频频谱谱还还是是相相位位频频谱谱都都包包含含了周期信号的全部信息。了周期信号的全部信息。2周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度图3-5 周期矩形脉冲信号的波形 n若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级数，则由式（数，则由式（3-13

8、）可得：）可得：脉冲宽度脉冲幅度重复周期图3-6 周期矩形脉冲信号的频谱对比抽样信号：图3-7 不同值下周期矩形脉冲信号的频谱脉冲宽度值保持不变，频谱包络线的零点所在位置就保持不变，而周期T1增大时，谱线变密，即在信号占有频带内谐波分量增多，谐波幅度减小。(a)(b)图3-8 不同值下周期矩形脉冲信号的频谱周期T1保持不变，谱线间隔不变，脉冲宽度值减小时，信号频带宽度增大，在信号占有频带内谐波分量增多，谐波幅度减小，幅度收敛速度减慢。3典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点表3-2 典型周期信号的傅里叶级数及其频谱特点3.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里

9、叶变换n3.3.1 非周期信号的频谱非周期信号的频谱n3.3.2 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换3.3.1 非周期信号的频谱非周期信号的频谱（a）幅度频谱 （b）相位频谱 图3-9 非周期信号的频谱当原函数为非周期函数的时候，则可以看成周期无穷大，频率w无穷小的情况，同样通过傅立叶级数进行展开，可是这时候可以看到，每一项前面的系数都开始趋于无穷小，但是这个原函数确实是由各种频率分量组合而成的，只不过每一个分量的作用都非常小。这时候为了看到各种频率分量之间的关系，前辈们在以上这个无穷小的系数上除了一个无穷小量w，这样得到了一般意义上的傅立叶变换，每个频率分量代表着各自的相对大小。3.3

10、.2 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换n1门函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲）n2单边指数函数单边指数函数n3单位冲激函数单位冲激函数n4直流信号直流信号n5单位阶跃函数单位阶跃函数1门函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲）n1门函数（矩形脉冲）门函数（矩形脉冲）幅度为，宽度为的单个矩形脉冲称为门函数，记为幅度为，宽度为的单个矩形脉冲称为门函数，记为g(t)。它可以表示为：它可以表示为：傅里叶变换为：傅里叶变换为：（a）门函数 （b）门函数的频谱图3-10 门函数及其频谱2单边指数函数单边指数函数n设单边指数函数的表示式为：设单边指数函数的表示式为：(a0)其波形如图所示，其频谱函数为：其

11、幅度频谱和相位频谱分别为：（a）单边指数函数（b）单边指数函数的频谱图3-11 单边指数函数及其频谱3单位冲激函数单位冲激函数n根根据据傅傅里里叶叶变变换换的的定定义义，并并应应用用单单位位冲冲激激函函数的抽样性质，得：数的抽样性质，得：即：（3-36）（a）单位冲激函数 （b）单位冲激函数的频谱图3-12 单位冲激函数及其频谱4直流信号直流信号n设直流信号：设直流信号：()它不满足绝对可积条件，因此不能用傅里叶积分式求傅里叶变换。但由傅里叶反变换式（3-25）可以求得冲激函数在时域的原函数为：即：（a）直流信号 （b）直流信号的频谱图3-13 直流信号及其频谱5单位阶跃函数单位阶跃函数n单位

12、阶跃函数表示为：单位阶跃函数表示为：显然，它不满足绝对可积条件，但可以采用取极限的方法求出它的傅里叶变换。将看成单边指数衰减信号当时的极限，即：（a）单位阶跃函数 （b）单位阶跃函数的频谱图3-14 单位阶跃函数及其频谱表3-3 典型信号的傅里叶变换及频谱图续表3.4 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质n3.4.1 线性线性n3.4.2 对称性对称性n3.4.3 尺度变换尺度变换n3.4.4 时移特性时移特性n3.4.5 频移特性频移特性n3.4.6 卷积定理卷积定理3.4.1 线性线性n若若 ，则则对对于于任任意意常数常数 a1 和和 a2 ，有：有：（3-41）信号在时域满足齐次性和

13、叠加性，其对应的频谱函数信号在时域满足齐次性和叠加性，其对应的频谱函数在频域也满足齐次性和叠加性。在频域也满足齐次性和叠加性。3.4.2 对称性对称性n若若 ，则信号，则信号F(t)的频谱函数：的频谱函数：（3-42）（a）门函数及其频谱（b）抽样函数及其频谱 3.4.3 尺度变换尺度变换n若若 ，则：，则：（为非零的实常数）（3-44）式中，若a0，表明被f(t)在时间轴上被压缩1/a倍，对应于频谱函数在频域被宽展a倍，同时幅值减小到原幅值的1/|a|倍；若0a1，表明f(t)被展宽。如果a0，则f(t)被反褶并被压缩或被展宽，如图3-16所示。证明 若，有变换式为：（a）（b）（c）图3-

14、16 尺度变换性质的说明3.4.4 时移特性时移特性若 ，则：（3-45）式中，为常数。证明 若 ，则：改写延时信号的频谱为：信号在时域平移t0，其频谱中的相位分量相应滞后或超前wt0，其幅值保持不变。图3-17 例3-6图例：求图所示矩形脉冲信号的频谱函数原信号延时 再在时间上压缩2倍得到的。3.4.5 频移特性频移特性若 ，则：（3-48）式中，为常数。式（3-48）表明，信号若在时域乘以因子 ，则对应于频域其频谱沿轴搬移了。频谱搬移技术在通信系统中得到了广泛的应用，是调制、解调和变频技术的理论基础。其实现的原理是将信号f(t)乘以载频信号cos(w0t)，得到高频调制信号。（a）门函数及

15、其频谱（b）高频脉冲信号及其频谱 图3-18 高频脉冲信号的频谱ttgty0cos)()(w=2t-2tAt2tA)(wYw0tpw20-0w-0wtpw20+3.4.6 卷积定理卷积定理1时域卷积定理时域卷积定理若 ，则：卷积积分的定义：信号在时域中的卷积对应于频域中频谱函数的乘积。（a）时域卷积卷积卷积卷积运算（b）频域相乘相乘相乘相乘运算图3-19 例3-7图（a）时域相乘运算（b）频域卷积运算图3-20 例3-8图LTI系统系统f(t)应用卷积性质求应用卷积性质求LTI系统响应系统响应3.8 抽样定理抽样定理n3.8.1 连续信号的时域抽样定理连续信号的时域抽样定理n3.8.2 从抽样

16、信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号3.8.1 连续信号的时域抽样定理连续信号的时域抽样定理n1信号的抽样信号的抽样 n2抽样定理抽样定理 1信号的抽样信号的抽样 n连连续续时时间间信信号号f(t)抽抽样样的的工工作作原原理理如如图图3-41所所示示。抽抽样样器器相相当当于于一一个个定定时时开开关关，它它每每隔隔一一个个周周期期Ts闭闭合合一一次次，每每次次闭闭合合时时间间为为 ，从从而而得得到到样样值值信信号号fs(t)。图3-41 信号的抽样 图3-42 抽样开关信号 图3-43 抽样模型Ts为抽样周期，为抽样周期，fs=1/Ts为抽样频率，为抽样频率，Ws=2pifs为为抽样角

17、频率。抽样角频率。抽样开关信号的脉冲宽度越抽样开关信号的脉冲宽度越窄其样值就越精确，当其趋窄其样值就越精确，当其趋于于0时其极限为冲激序列。时其极限为冲激序列。当抽样开关信号为单位冲激当抽样开关信号为单位冲激序列时，得到的样值信号也序列时，得到的样值信号也为一冲激序列，其为一冲激序列，其t时刻的时刻的强度为强度为f(t)的瞬间值，该抽的瞬间值，该抽样称为理想抽样。样称为理想抽样。2抽样定理抽样定理 图3-44 理想抽样时域抽样定理：一个最高频率为时域抽样定理：一个最高频率为fm(或或Wm)，频带有限的连续，频带有限的连续时间信号时间信号f(t)可以用均匀等间隔可以用均匀等间隔Ts=1/2 fm

18、的抽样信号的抽样信号fs(t)=fs(nTs)值值(即抽样值即抽样值)唯一的表示。唯一的表示。（a）连续信号及其频谱（b）开关信号及其频谱（c）抽样信号及其频谱图3-45 理想抽样与频谱分析频带有限，即信号的频谱只在频带有限，即信号的频谱只在(-Wm,Wm)范围内为有限值范围内为有限值3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号n信号在抽样时必须满足信号在抽样时必须满足 为最低允许的抽样频率为最低允许的抽样频率 为最大允许的抽样间隔为最大允许的抽样间隔或或 图3-46 抽样信号频谱的混叠现象 为了从为了从 中无失真地选出中无失真地选出 ，选择一个理想低通滤波器，其系统函数为选择一个理想低通滤波器，其系统函数为为截止频率，满足：为截止频率，满足：图3-47 理想低通滤波器的频率特性3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号w0)(wsFswsw-sT1LLmwmw-图3-48 由抽样信号的频谱过滤出原信号的频谱图3-49 由抽样信号恢复原信号3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号从抽样信号恢复连续时间信号