插值方法.ppt

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1、插值法介绍插值法介绍颜小强2008年4月25号内容提要内容提要l插值法的发展史l插值法概述l常见插值法l空间插值法及分类l插值法的应用l最新动向和应用软件l参考文献2插值法的发展史插值法的发展史插值法是一种古老的数学方法,它来自生产实践.早在公元六世纪，我国的隋朝数学家刘焯已将等距二次插值法用于天文计算。公元七世纪,我国唐朝数学家张遂提出了不等距结点内插公式,十七世纪,牛顿和格雷果黎建立了等距结点上的一般插值公式。十八世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距结点上的插值公式。在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其他许多数值方法（例如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）

2、的依据。3插值法概述插值法概述插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算、复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值)，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x).有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值.4假定区间a,b上的实值函数f(x)在该区间上n1个互不相同点x0,x1,xn处的值是fx0,f(xn)，要求估算f(x)在a,b中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数

3、构成的有n1个参数C0,C1,Cn的函数类(C0，C1，,Cn)中求出满足条件P(xi)f(xi)(i0,1,n)的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数，c0,x1,xn称为插值结(节)点，(C0,C1,Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，(C0,Cn)中满足上式的函数称为插值函数，R(x)f(x)-P(x)称为插值余项。当估算点属于包含x0,x1,xn的最小闭区间时，相应的插值称为内插值，否则称为外插值。插值法概述插值法概述5多项式插值多项式插值这是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项

4、式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上n1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。6拉格朗日插值拉格朗日插值拉格朗日插值函数在整个插值区间上有统一的解析表达式，其形式关于节点对称，光滑性好但缺点同样明显，这主要体现在高次插值收敛性差(龙格现象)；增加节点时前期计算作废，导致计算量大；一个节点函数值的微小变化（观测误差存在）将导致整个区间上插值函数都发生改变，因而稳定性差等几个方面.因此拉格朗日插值法多用于理论分析，在采用拉格朗日插值方法进行插值计算时通常选取n7.拉格朗日插值以线性插值为基础,

5、利用层层递进的原理,先对点插值,然后是线,然后是三次多项式,.,最终插值出所需要的曲线.7牛顿插值牛顿插值牛顿(Newton)插值多项式是代数插值的另一种表现形式，当增加节点时它具有所谓的“承袭性”,从而克服了拉格朗日插值多项式全部需要重新计算的缺点,从而比拉格朗日插值计算量省,便于程序设计.8埃尔米特插值埃尔米特插值对于函数f(x)，常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数P(x)，自然不仅要求在这些点等于f(x)的函数值，而且要求P(x)的导数在这些点也等于f(x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多项式

6、曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。9分段插值与样条插值分段插值与样条插值为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法三次样条插值成为比较理想的工具。10空间插值空间插值空间插值的定义空间插值的定义空间插值是用已知的数据来估算其他未知数据的过程,即从一组已知空间数据中找到一个函数关系式,使该关系式最好地

7、逼近已知的空间数据,并能根据该函数关系式推导求出区域范围内其它任意点或任意分区的值.11空间插值方法分类空间插值方法分类黄杏元等依据已知点和已知分区数据的不同,将空间数据插值分为点插值和区域插值;邬伦等把空间插值分为空间插值和外推两种;李新等依据空间插值的基本假设和数学本质将空间插值分类为:几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。通过对已有分类方法的研究,文献1作者提出一种以空间插值范围作为标准的综合分类方法,即将空间插值分为整体插值、局部分块插值和逐点插值.参考文献112距离倒数乘方法距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可

8、以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0的权重。换言之，该结点被赋给与13距离倒数乘方法距离倒数乘方法观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要

9、在格网区域内产生围绕观测点位置的“牛眼”。用距离倒数网格化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低牛眼影响。14多元回归法多元回归法 多元回归被用来确定数据的大规模的趋势和图案。可以用几个选项来确定所需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式

10、。参数设置是指定多项式方程中X和Y组元的最高方次。15三角网三角网/线形插值法线形插值法三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。16自然邻点插值法自然邻点插值法自然邻点插

11、值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰森(Thiessen)多边形,当在数据集中加入一个新的数据点(目标)时,就会修改这些泰森多边形,而使用邻点的权重平均值将决定待插点的权重,待插点的权重和目标泰森多边形成比例。实际上,在这些多边形中,有一些多边形的尺寸将缩小,并且没有一个多边形的大小会增加。同时,自然邻点插值法在数据点凸起的位置并不外推等值线(如泰森多边形的轮廓线)。17最小曲率法最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形

12、薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。18径向基本函数法径向基本函数法径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。19最近邻点插值法最近邻点插值法 最近

13、邻点插值法(Nearest Neighbor)又称泰森多边形方法,泰森多边形(Thiesen,又叫Dirichlet或Voronoi多边形)分析法是荷兰气象学家A.H.Thiessen提出的一种分析方法。最初用于从离散分布气象站的降雨量数据中计算平均降雨量,现在GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值。实际上,最近邻点插值的一个隐含的假设条件是任一网格点p(x,y)的属性值都使用距它最近的位置点的属性值,用每一个网格节点的最邻点值作为待的节点值。当数据已经是均匀间隔分布,要先将数据转换为SURFER的网格文件,可以应用最近邻点插值法;或者在一个文件中,数据紧密完整,只有少数点没有取值

14、,可用最近邻点插值法来填充无值的数据点。有时需要排除网格文件中20最近邻点插值法最近邻点插值法的无值数据的区域,在搜索椭圆(SearchEllipse)设置一个值,对无数据区域赋予该网格文件里的空白值。设置的搜索半径的大小要小于该网格文件数据值之间的距离,所有的无数据网格节点都被赋予空白值。在使用最近邻点插值网格化法,将一个规则间隔的XYZ数据转换为一个网格文件时,可设置网格间隔和XYZ数据的数据点之间的间距相等。最近邻点插值网格化法没有选项,它是均质且无变化的,对均匀间隔的数据进行插值很有用,同时,它对填充无值数据的区域很有效。21插值法的应用插值法的应用由于电子计算机的广泛使用,插值法在航

15、空、造船、精密机械加工等问题中也得到应用.例如在海洋观测记录中，某些特定层次的数据资料出现缺测或异常，使得资料无法正常应用.这时,可以应用插值法对海洋实测资料序列中的某些固定节点进行插值计算，从而获取数据资料.还有插值法在天线平面近场测试中也得到应用.22最新动向和应用软件最新动向和应用软件在科学计算领域中,空间插值是一类常用的重要算法,很多相关软件都内置该算法,其中GodenSoftware公司的SURFER软件具有很强的代表性,内置有比较全面的空间插值算法.SURFER软件是一个功能强大的绘制等值线图及三维立体图软件包,能迅速地将离散的测量数据通过插值转换为连续的数据曲面.SURFER7.0提供的内插方法多达九种,其中每一种内插方法都有其意义及相关的参数设置。插值法优化照片软件.23参考文献参考文献1.李朝奎,陈良,王勇.降雨量分布的空间插值方法研究J.矿产与地质,2007,6(21):684687.2.李庆扬,王能超.数值分析M.武汉:华中科技大学出版社,2001.3.彭湘晖.几种常用插值方法比较分析J.黑龙江水利科技,2008,1(36):62634.徐琳.三角形域上的超限插值方法J.软件学报,2007,18(2):43044124 课程结束 25