3 结构地震反应分析与抗震验算(精品).ppt

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1、第第3 3章章 结构结构地震地震反应分析与反应分析与结构抗震验算结构抗震验算 本章是全课本章是全课的重点！的重点！3.1 3.1 概述概述基本概念：基本概念：地震作用与地震作用效应地震作用与地震作用效应地震作用：是指地面振动在结构上产生动力荷地震作用：是指地面振动在结构上产生动力荷载，俗称为地震荷载。载，俗称为地震荷载。注意：是间接作用注意：是间接作用地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变形形结构动力特性结构动力特性 结构的自振周期、阻尼、振型等。结构的自振周期、阻尼、振型等。地震作用简化为三个方向：两个水平方向，地震作用简化为三个方向：两个水平方向，

2、一个竖向一个竖向。地震作用的简化：地震作用的简化：一般分别计算三个方向的一般分别计算三个方向的地震作用。地震作用。是结构地震作用的计算方法是结构地震作用的计算方法 （应属于结构（应属于结构动力学的范畴）动力学的范畴）结构的地震反应：结构的地震反应：结构的地震反应分析结构的地震反应分析：结构的结构的 位移、速度、加速度位移、速度、加速度 及内力和变形及内力和变形 。本科生学习内容本科生学习内容3.2 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析？F=ma 曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为100t，问该建筑的地震力在问该建筑的

3、地震力在69度时，分别为多少？度时，分别为多少？F=ma新的问题：两个质量相同的实际建筑物，其地震作用新的问题：两个质量相同的实际建筑物，其地震作用（地震力）一样大吗？（地震力）一样大吗？地震作用的大小与什么有关？地震作用的大小与什么有关？一、一、结构的计算简图结构的计算简图 水平地震作用下结构的自由度简化水平地震作用下结构的自由度简化体系的自由度问题体系的自由度问题体系的自由度问题体系的自由度问题 一个自由质点一个自由质点,若不考虑其转动若不考虑其转动,则相对于则相对于空间坐标系有空间坐标系有3 3个独立的唯一分量个独立的唯一分量,因而有三个因而有三个自由度（上下、左右、前后）自由度（上下、

4、左右、前后）,而在平面内只有而在平面内只有两个自由度两个自由度.如果忽略直杆的轴向变形如果忽略直杆的轴向变形,则则在平面内与直杆相连的质点在平面内与直杆相连的质点只有一个位移分量只有一个位移分量,即只有一即只有一个自由度个自由度二、单自由度弹性体系的运动方程 作用于质量作用于质量m m上的水平方向的力：上的水平方向的力：弹性恢复力弹性恢复力 阻尼力阻尼力maSRm“-”表示表示与与x x方向相方向相反反1 1、运动方程建立、运动方程建立质量质量m m的绝对加速度的绝对加速度由牛顿第二定律由牛顿第二定律 单质点的地震作用单质点的地震作用只要求解出只要求解出 ，就求出了质点的，就求出了质点的 地震

5、作用。地震作用。式中式中相当于由地震产生的作用于结构上的相当于由地震产生的作用于结构上的强迫力。强迫力。整理后整理后 这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次方程的通解与非齐次方程通解之和。方程的通解与非齐次方程通解之和。2 2、关于单自由度振动的几个概念关于单自由度振动的几个概念圆频率圆频率周期周期频率频率阻尼比阻尼比一般结构的阻尼比一般结构的阻尼比0.010.1之间，一般取之间，一般取0.05。3 3、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）当当 很小时很小时解为解为为有阻尼的圆频率为有阻尼的圆频率注意其解与结构的初位移

6、和初速度有关。注意其解与结构的初位移和初速度有关。非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。方程的特解之和。有阻尼自由振动有阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动齐次方程的通解齐次方程的通解 4、非其次方程的特解、非其次方程的特解非齐次方程的特解非齐次方程的特解杜哈米积分杜哈米积分思路：思路：1、利用齐次方程的通解、利用齐次方程的通解2、将地震的地面加速度分成有限个脉冲、将地震的地面加速度分成有限个脉冲3、讨论在单一脉冲作用后结构的响应、讨论在单一脉冲作用后结构的响应4、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形、单一脉冲作用后结构的

7、响应为自由振动，解的形式已知（只是初速度不同）。式已知（只是初速度不同）。5、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加（积分）叠加（积分）在脉冲下结构的响应在脉冲下结构的响应在脉冲下结构的响应在脉冲下结构的响应 地面运动的加速度地面运动的加速度 曲线是一个不能用数曲线是一个不能用数学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由振动（一个位移振动（一个位移dx），），无限个微分脉冲产生的无限个微分脉冲产生的位移积分即是方程的特解。位移

8、积分即是方程的特解。由由dt t时间的脉冲时间的脉冲 产生的自由振动在产生的自由振动在t时刻的位移为：时刻的位移为：初位移初速度将所有脉冲积分将所有脉冲积分 非齐次方程的特解也称为杜哈米积分非齐次方程的特解也称为杜哈米积分 非齐次方程的特解非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次与齐次方程的通解相加构成非齐次方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故其解为杜哈米积分。其解为杜哈米积分。齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解 求出位移反应的解后，微分后还可求出速度求出位移反应的解后，微分后还可求出速度反应。反应。同

9、理可写出加速度反应同理可写出加速度反应进一步求出进一步求出得到结构的地震作用得到结构的地震作用三、关于反应谱的计算三、关于反应谱的计算 由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。可写出最大反应：简化时取可写出最大反应：简化时取加速度加速度最大值最大值速度速度 最大值最大值位移位移 最大值最大值 当地面运动当地面运动 及结构的阻尼及结构的阻尼 确定后，可确定后，可以看出结构的反应仅与结构的自振周期以看出结构的反应仅与结构的自振周期 有关。有关。绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，

10、速度反应谱，绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱，位移反应谱。位移反应谱。四、反应谱理论的意义四、反应谱理论的意义 根据已有的大量地震地面运动的记录，再运根据已有的大量地震地面运动的记录，再运用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的地震反应来确定地震作用。地震反应来确定地震作用。（将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规（将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速度反应谱、最大速度反应谱、最大位移反应谱等。度反应谱、最大速度反应谱、最大位移反应谱等。）加速

11、度反应谱的意义加速度反应谱的意义五、地震反应谱示例（五、地震反应谱示例（ElcentroElcentro波波）速速度度反反应应谱谱加加速速度度反反应应谱谱位位移移反反应应谱谱场场地地影影响响六、反应谱的特征六、反应谱的特征 1.加速度反应随结构自振周期增大而减小。加速度反应随结构自振周期增大而减小。2.位移随周期增大而增大。位移随周期增大而增大。3.阻尼比的增大使地震反应减小。阻尼比的增大使地震反应减小。4.场地的影响，软弱的场地使地震反应的峰值场地的影响，软弱的场地使地震反应的峰值范围加大。范围加大。3.3 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱其反

12、应谱一、单自由度弹性体系的水平地震作用一、单自由度弹性体系的水平地震作用(1)(1)地震作用是时间的函数地震作用是时间的函数.（一）水平地震作用的表示一）水平地震作用的表示(2)利用它利用它 的最大值来对结构进行抗震计算的最大值来对结构进行抗震计算,把把动力问题转化为静力问题计算动力问题转化为静力问题计算.将惯性力看为反映地震对结构影响的等将惯性力看为反映地震对结构影响的等效力，取最大值。效力，取最大值。G为重力，质点的重力为重力，质点的重力荷载，单位荷载，单位KN（力）力）大致为多少？大致为多少？（二）影响水平地震作用的因素二）影响水平地震作用的因素1、G，结构的重量（或称为重力荷载代表值）

13、。结构的重量（或称为重力荷载代表值）。G越大，地震作用越大。越大，地震作用越大。2、K，称为地震系数。表示地面震动的大小。称为地震系数。表示地面震动的大小。K与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速度峰值进行调整后得到。度峰值进行调整后得到。3、，称为动力系数。称为动力系数。与结构的动力特性和外激励有关。与结构的动力特性和外激励有关。0123v 21 0.7070.40.30.2简谐简谐激励激励地震激励地震激励与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期有与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期有关；与结构的阻尼有关。关；与结构的阻尼有关。通

14、过大量的分析计算，通过大量的分析计算，我国地震规范取最大的我国地震规范取最大的动力系数动力系数maxmax为为2.252.25。4 4、为计算简便令、为计算简便令=k=k。是是一个无量纲的系数，一个无量纲的系数，称为水平地震影响系数。称为水平地震影响系数。问题：如何减小结构的地震作用？问题：如何减小结构的地震作用？二、抗震设计反应谱（标准反应谱）二、抗震设计反应谱（标准反应谱）地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲线都不相同，则加速度反应谱也不相同。线都不相同，则加速度反应谱也不相同。抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时抗震设计时，我们无法预计将发生地震

15、的时程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具有共性的可以表达的一个谱线。有共性的可以表达的一个谱线。标准化标准化 规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分组、结构阻尼等影响。组、结构阻尼等影响。1、抗震设计反应谱（地震影响系数）、抗震设计反应谱（地震影响系数）注意书上的错注意书上的错误误2、各系数意义、各系数意义（1）反应谱是）反应谱是-T关系谱，关系谱，实质是加速度谱。实质是加速度谱。（2）为一无量纲系数，为一无量纲系数，T的量纲为秒。的量纲为秒。（3 3）TgTg为特征周期值，与场地类别和地震分

16、组有关。为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。设计地震设计地震分组分组场地类别场地类别01第一组第一组0.200.250.350.450.65第二组第二组0.250.300.400.550.75第三组第三组0.300.350.450.650.90-曲线下降段的衰减指数；曲线下降段的衰减指数；-直线下降段的斜率调整直线下降段的斜率调整系数；系数；-阻尼调整系数，小于阻尼调整系数，小于 0.550.55时，应取时，应取0.550.55。2010年新规范3 3、抗震设计反应谱（、抗震设计反应谱（谱）的特点谱）的特点5）特征周期）特征周期Tg，坚硬场地坚硬场地Tg 小，软小，软 弱的场地弱的场地Tg

17、 大。大。1）T的区间，的区间，0 6 s。一般建筑一般建筑T 都小于都小于6.0s。2）存在最大值，存在最大值，T=0.1Tg 之间，之间，=max。3）TTg后，后，随随T而减小。而减小。4）T=0，=0.45 max。T 0.1S 之间，之间，按直线增大。按直线增大。6）的大小与地震烈度（的大小与地震烈度（max）、）、结构的自振结构的自振周期周期T、特征周期特征周期Tg及结构的阻尼等有关。及结构的阻尼等有关。三、用于设计的三、用于设计的 maxmax 值（多遇烈度，罕遇烈度）值（多遇烈度，罕遇烈度）烈度烈度6789设计基本地震加速设计基本地震加速度值度值0.05g0.1g0.2g0.4

18、gK0.050.10.20.4 maxmax（设防烈度）设防烈度）0.1130.230.450.90 maxmax（多遇烈度）多遇烈度）0.040.080.160.32 maxmax（罕遇烈度）罕遇烈度）0.500.901.40多遇烈度多遇烈度=基本烈度基本烈度-1.55-1.55度度(1/2.82)(1/2.82)罕遇烈度罕遇烈度=基本烈度基本烈度+1+1度左右度左右(相当于相当于2.132.13倍、倍、1.881.88倍和倍和1.561.56倍）倍）四、计算地震作用时结构重量四、计算地震作用时结构重量G G的计算的计算 计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称计算地震作用时，采用的建筑结构的

19、重量称为重力荷载代表值。为重力荷载代表值。重力荷载代表值重力荷载代表值 =结构自重标准值结构自重标准值 +EiEi可变荷载标准值可变荷载标准值 EiEi为组合值系数，考虑地震与可变荷载同时出为组合值系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可能性。现的可能性。组合值系数组合值系数 不考虑不考虑 软钩吊车软钩吊车 0.3 硬钩吊车硬钩吊车 0.5 其它民用建筑其它民用建筑 0.8 藏书库、档案库藏书库、档案库 1.0按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载 不考虑不考虑 屋面活荷载屋面活荷载 0.5屋面积灰荷载屋面积灰荷载 0.5 雪荷载雪荷载组合值系数组合值系数可变荷载种类可变荷载种类按等

20、效均布荷载考虑按等效均布荷载考虑的楼面活荷载的楼面活荷载吊车悬吊物重力吊车悬吊物重力单单自由度体系的水平地震作用的计算自由度体系的水平地震作用的计算FEKF1GF1现在可计算单自由度结构的地震作用现在可计算单自由度结构的地震作用计算计算G计算结构的自振周期计算结构的自振周期T和阻尼比和阻尼比计算计算确定设防烈度确定设防烈度 maxmax 确定建设场地及地震分组确定建设场地及地震分组（Tg）计算计算FEK进行后续计算进行后续计算 作业：单质点体系，质点的重量为作业：单质点体系，质点的重量为1000kN.分别计算下列分别计算下列情况结构的多遇烈度地震作用（用表格计算），并将计算情况结构的多遇烈度地

21、震作用（用表格计算），并将计算结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用大小的影响。设计地震分组为大小的影响。设计地震分组为1组。组。1.设防烈度分别为设防烈度分别为7、8、9度。度。2.场地类型分别为场地类型分别为、类。类。3.结构的自振周期分别为结构的自振周期分别为0.3S、0.6S、1.2S。4.结构的阻尼比分别为结构的阻尼比分别为0.05、0.1、0.15。地震地震作用作用影响影响因素因素设防设防烈度烈度场地场地类型类型自振自振周期周期3.4 3.4 多自由度弹性体系地震反应分析的多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法振型分解

22、法一、多自由度体系振动微分方程建立一、多自由度体系振动微分方程建立二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解（自振周期和振型）（自振周期和振型）三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）解法）一、多自由度弹性体系的运动方程一、多自由度弹性体系的运动方程1 1、计算模型、计算模型一般一般n n层结构有层结构有n n个质点，个质点，n n个自由度个自由度 2、运动微分方程（以两自由度为例）、运动微分方程（以两自由度为例）1）作用于质点上的力）作用于质点上的力作用于作用于1质点上的惯性力为质点上的惯性力为作用于作用于1质点

23、上的弹性恢复质点上的弹性恢复力为力为作用于作用于1质点上的阻尼力为质点上的阻尼力为2）质点）质点1的动力平衡方程的动力平衡方程I1+D1+S1=0 得：得：同理可得到质点同理可得到质点2的动力平衡方程的动力平衡方程（1）（2）将（将（1）、（）、（2）式用矩阵表示：）式用矩阵表示：其中：其中：推广到多自由度体系：推广到多自由度体系：微分方程组的求解较困难，微分方程组的求解较困难，可先求出结构的自振周期可先求出结构的自振周期和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体系的自振周期与无阻尼相同）。系的自振周期与无阻尼相同）。二、多自由度无

24、阻尼自由振动方程求解二、多自由度无阻尼自由振动方程求解令其解为令其解为代回方程：代回方程：1、自振频率和振型分析、自振频率和振型分析 将将 i i依次回代方程可得到相对的振幅依次回代方程可得到相对的振幅XXi i，即为振型。即为振型。若为两个自由度若为两个自由度,令令n=2，则有则有系数行列式系数行列式可求出可求出n个个（圆频率）圆频率）解出解出 将求出的将求出的 1 1、2 2分别代回方程分别代回方程，可求出，可求出x1、x2的相的相对值对值 对应于对应于 1 1为第一振型为第一振型对应于对应于 2 2为第二振型为第二振型 可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振可见对应于结构的某一自振频

25、率，结构各质点振动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振型数与自振频率数相同。型数与自振频率数相同。例题例题3.1两质点体系，两质点体系，m1=60t，m2=50t，k1=5104 kN/m，k2=3104 kN/m求该体系的自振周期和振型求该体系的自振周期和振型k11=k1+k2=8104 kN/mk12=k21=-k2=-3104 kN/mk22=k2=3104 kN/mk1k2m2m1注意：注意：k1、k2及及k11、k12、k22的意义。的意义。k1、k2是层间刚度。是层间刚度。k11是是1质点产生单位位移（其它点不动）所需质点产生单位位移（

26、其它点不动）所需的水平力。的水平力。k12是是2质点发生单位位移时在质点发生单位位移时在1质点处产生的质点处产生的水平力。水平力。注意：量纲的对应，质量注意：量纲的对应，质量t，刚度刚度kN/m求出：求出：1=17.5 rad/s ，2=40.32 rad/sT1=2/1=0.358 s ,T2=0.156 s注意注意:建筑结构自振周期的范围建筑结构自振周期的范围.将将代回方程可求出振型。代回方程可求出振型。将将振型写成矩阵振型写成矩阵1振型振型2 2、振型的正交性分析、振型的正交性分析振型关于质量矩阵正交振型关于质量矩阵正交振型关于刚度矩阵正交振型关于刚度矩阵正交Mj 称为广义质量称为广义质

27、量Kj 称为广义刚度称为广义刚度以两自由度例题为例：以两自由度例题为例：当当jk时时当当j=k=1时时称为广义质量称为广义质量当当j=k=1时时称为广义刚度称为广义刚度 利用振型正交性的原理可以使微分方程组利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求解大大的简化的求解大大的简化考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性将方程组简化为将方程组简化为n个独立的微分方程？个独立的微分方程？3、振型分解（叠加）原理、振型分解（叠加）原理 多自由度线性体系的振动位移多自由度线性体系的振动位移x（t）可以表示可以表示为各振型下位移反应的叠加（线性组合）。为各振型下位移反应

28、的叠加（线性组合）。按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点在振动过程中的位移等于各振型的线性组合：在振动过程中的位移等于各振型的线性组合：+以两质点为例：以两质点为例：第第1质点的位移质点的位移1质点质点1振型振型1质点质点2振型振型第第2质点的位移质点的位移2质点质点1振型振型2质点质点2振型振型写成写成一般形式：一般形式：振型矩阵振型矩阵进一步有：进一步有：振型矩阵：振型矩阵：三、多自由度体系振动微分方程求解（振型三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）分解法）在具有振型正交性的概念后，可用振型分在具有振型正交性的概念后，可用振型分解法来

29、解多自由度体系振动微分方程。解法来解多自由度体系振动微分方程。引入坐标变换：引入坐标变换：代回代回方程得方程得 为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘一个一个根据振型的正交性有：根据振型的正交性有：假定：假定：得到如下得到如下q的的n个独立方程：个独立方程：当当 和和 的角标不同时，方程的左边为的角标不同时，方程的左边为0。方程的两边除以方程的两边除以其中：其中：方程的形式为：方程的形式为：与与单质点的方程形式相同单质点的方程形式相同称为振型参与系数称为振型参与系数q的解为（对应于的解为（对应于j振型）：振型）：或或写成：写成：j振型的反应振型的反应j振型

30、的振型参与系数振型的振型参与系数j振型的圆频率振型的圆频率j振型的阻尼比振型的阻尼比分别求出分别求出1n个振型的反应个振型的反应质点的地震反应位移为：质点的地震反应位移为：至此，求出多自由度体系的地震反应。至此，求出多自由度体系的地震反应。四、四、结构自振周期和振型的计算结构自振周期和振型的计算 在进行结构的地震作用计算时，必须求出结在进行结构的地震作用计算时，必须求出结构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。结构自振周期的计算方法有：结构自振周期的计算方法有：1、理论与近似

31、的计算、理论与近似的计算 2、经验公式、经验公式 3、试验方法等、试验方法等 求出多自由度体系的地震反应后，即可计算多自由度求出多自由度体系的地震反应后，即可计算多自由度体系的地震作用。在此之前，我们先讲体系的地震作用。在此之前，我们先讲自振周期和振型的自振周期和振型的计算方法。计算方法。1、近似方法、近似方法1能量法能量法 原理：能量守恒原理：能量守恒 一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时刻的总能量（位能与动能和）不变。刻的总能量（位能与动能和）不变。当体系的位移最大时，位能最大为当体系的位移最大时，位能最大为 动能为动能为0。当体系的速度最大时，动能

32、最大为当体系的速度最大时，动能最大为 为能为为能为0。(一一)理论与近似计算方法理论与近似计算方法则则有：有：已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：体系的最大位能：体系的最大位能：体系的最大动能：体系的最大动能：多多质点体系质点体系多多质点体系质点体系 体系按基本频率体系按基本频率 1 1作自由振动作自由振动,相应的基本振型取一种相应的基本振型取一种近似形式近似形式,即假设各质点的重力荷载即假设各质点的重力荷载Gi作为水平作用产生的作为水平作用产生的弹性变形曲线弹性变形曲线.unuiu2u1GnGiG2G1unuiu2u1GnGiG2G1在振动过程中在振动

33、过程中,质点质点i的瞬时位移为的瞬时位移为速度为速度为则有则有用用周期表示：周期表示：ui将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（m）Gi质点质点i的重力荷载的重力荷载(KN)注意注意G1=400KN，G2=300KN，K1=14280KN/m，K2=10720KN/m，计算各层剪力计算各层剪力V1=700KN，V2=300KN计算水平位移计算水平位移 u1=V1/K1=0.049m，u2=V1/K1+V2/K2=0.077m计算基本周期计算基本周期=0.508s例：一两层框架，求其基本周期例：一两层框架，求其基本周期G2G1K K1 1K K2 2

34、u1G2G12 2、等效质量法等效质量法原理：原理：振动系统的自振频率分析振动系统的自振频率分析（连续系统）（连续系统）简化为离散系统简化为离散系统单质点体系单质点体系多质点体系多质点体系两两系统求出的自振频率相同并系统求出的自振频率相同并符合实际的条件是总动能等效。符合实际的条件是总动能等效。简化系统的刚度和约束条件应简化系统的刚度和约束条件应与原系统完全相同。与原系统完全相同。连续连续系统系统 将多质点体系用一个单质点体系代替，使其自将多质点体系用一个单质点体系代替，使其自振频率相等。振频率相等。若使两个体系的自振频率等效，则若使两个体系的自振频率等效，则应使两个体系的刚度和质量的比（应使

35、两个体系的刚度和质量的比（k/m）也等效。也等效。从能量的观点看，势能和动能的相互转换导从能量的观点看，势能和动能的相互转换导致了振动。致了振动。系统在动能意义下的质量称为系统的系统在动能意义下的质量称为系统的等效质量等效质量：（系统在势能意义下的刚度称为系统的等效刚度（系统在势能意义下的刚度称为系统的等效刚度）由动能等效：由动能等效：等效质量等效质量根据刚度等效，有根据刚度等效，有 并已知第一振型的变并已知第一振型的变形曲线（形曲线（），可计算出等效质量。），可计算出等效质量。最后得到基频最后得到基频 等效质量的另一种推导：将分布等效质量的另一种推导：将分布i点的质量点的质量mi等效集中到另

36、一点等效集中到另一点j，等效后的质量为等效后的质量为me。等效的原则是：等效前后自振频率相等。等效的原则是：等效前后自振频率相等。jKjjimiKiimeimi对于多质点体系，邓克莱证对于多质点体系，邓克莱证明仍可用上式计算，总的等明仍可用上式计算，总的等效质量为：效质量为：或：或：F=1KNx2x1X2(xm)MMeq例例 用折算质量法计算上例用折算质量法计算上例G1=400KN，G2=300KN，K1=14280KN/m，K2=10720KN/m，、计算两体系的刚度（或柔度）、计算两体系的刚度（或柔度）在单位力下的侧移（柔度）：原体系在单位力下的侧移（柔度）：原体系1=1/k1=1/142

37、80 2=1/k2+1=1/10720+1/14280 等效体系的柔度：等效体系的柔度：=2等效体系的刚度：等效体系的刚度：K=1/=6123 KN/m前面已求出：前面已求出：x1=0.049m，x2=0.077m、计算折算质量计算折算质量Meq Meq=47.14 t、计算结构的基本周期计算结构的基本周期注意公式中的量纲（注意公式中的量纲（t，m）用第用第2种种方法，将方法，将G1（m1）等效到顶点等效到顶点T1=0.56sl 折算质量法计算结构的基本周期，常用于折算质量法计算结构的基本周期，常用于将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单质量模型。

38、如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等效到结构顶部，求出一个质量换算系数。效到结构顶部，求出一个质量换算系数。l 如将纵墙或柱的如将纵墙或柱的质量折算到柱顶，求质量折算到柱顶，求出的换算系数为出的换算系数为0.25。（见书（见书P46例例3.4）L3 3、顶点位移、顶点位移法法 当结构的质量沿高度均匀分布时，可将当结构的质量沿高度均匀分布时，可将结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。体系按弯曲振动时体系按弯曲振动时 剪切型剪切型 弯剪型弯剪型顶点

39、位移顶点位移单位为米单位为米,可用于计算一般多高层框架结构的基本周期可用于计算一般多高层框架结构的基本周期,顶点位移顶点位移的计算的计算,按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产生的顶点位移生的顶点位移.弯剪型弯剪型弯曲型弯曲型剪切型剪切型弯曲型变形：弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构剪切型变形：剪切型变形：以剪力产生的变形为主，如框架结构以剪力产生的变形为主，如框架结构弯剪型弯剪型变形：变形：弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如框架框架剪力墙结构。剪力墙结构。4 4、

40、矩阵迭代法（、矩阵迭代法（略）略）(二二)、经验公式、经验公式 剪力墙结构体系剪力墙结构体系 框框剪结构体系剪结构体系一般砖混结构的周期为一般砖混结构的周期为0.3s左右。左右。(三三)、试验方法、试验方法 1、自由振动法、自由振动法 2、共振法、共振法 3、脉动法、脉动法5、计算机方法计算机方法（略）（略）N为建筑为建筑的层数。的层数。令令则则第第i质点的位移质点的位移3.53.5、多自由度体系的水平地震作用、多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法一、振型分解反应谱法微分方程的解为微分方程的解为多多自由度体系的微分方程可写成：自由度体系的微分方程可写成：加速度为加速度为惯性力为惯性力

41、为 这样可计算出多质这样可计算出多质点体系的地震作用点体系的地震作用 我们注意到我们注意到 是随时间变化的。与单质点是随时间变化的。与单质点体系一样，体系一样，的计算对于工程设计来说是复杂的计算对于工程设计来说是复杂的。若只计算的。若只计算 的最大值则相对简单的多。的最大值则相对简单的多。计算计算 最大值可有不同的方法：最大值可有不同的方法：方法方法1：求出：求出 的所有值取最大值。的所有值取最大值。l该方法太复杂。该方法太复杂。方法方法2：振型分解反应谱法振型分解反应谱法 将地震作用按振将地震作用按振型分解型分解按按某种某种合理的方合理的方式组合式组合求出各振型下地求出各振型下地震作用的最大

42、值震作用的最大值（用反应谱法）（用反应谱法）地震作用的分解和叠加地震作用的分解和叠加 j j振型地震作用计算：振型地震作用计算：对于一个按对于一个按 振型振型的振动的多质点体系可视为阻尼为的振动的多质点体系可视为阻尼为 频率为频率为 的单质点体系，用反应谱理论求地震作用的单质点体系，用反应谱理论求地震作用。合理的组合：经研究，将各振型下合理的组合：经研究，将各振型下i质点上的地质点上的地震作用产生的震作用产生的作用效应作用效应Sj平方和开方作为平方和开方作为i质点上质点上总的地震效应，这样的组合总的地震效应，这样的组合较合理较合理：单质点体系单质点体系与与单质点的差别单质点的差别振型分解反应谱

43、法的过程：振型分解反应谱法的过程：求多质点体系的自振频率、振型求多质点体系的自振频率、振型求各振求各振型下的地震反应效应型下的地震反应效应总效应总效应例例用振型分解法求结构的用振型分解法求结构的层间剪力。设防烈度为层间剪力。设防烈度为8度度第一组第一组，类场地。类场地。1 1、求结构的自振周期和振型、求结构的自振周期和振型T1=0.467s,T2=0.208s,T3=0.134s第一振型第一振型 x1=0.334 0.667 1.00第二振型第二振型 x2=-0.667 -0.666 1.00第三振型第三振型 x3=4.019 -3.035 1.002、计算各振型的地震影响系数计算各振型的地震

44、影响系数ja amax=0.16,Tg=0.45s 当阻尼比当阻尼比=0.05时，时，=0.9 ，2=1 计算得：a a1=0.139 a a2=0.16 a a3=0.163 3、计算振型参与系数计算振型参与系数由由振型参与系数振型参与系数 计算得：计算得：g g1=1.363,g g2=-0.428,g g3=0.063注意注意:验算验算g g=14、计算各振型各楼层的地震作用计算各振型各楼层的地震作用 第一振型地震作用第一振型地震作用F11=167.4KN F12=334.4KN F13=334.2KN第二振型地震作用第二振型地震作用F21=120.9KN F22=120.7KN F23

45、=-120.8KN第三振型地震作用第三振型地震作用F31=107.2KN F32=-80.9KN F33=17.8KN5、计算各振型的层间剪力计算各振型的层间剪力Vji（作用效应）作用效应）第第1层层 第第2层层 第第3层层（第第1振型）振型）V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN（第第2振型）振型）V21=120.8KN V22=-0.1KN V23=-120.8KN（第第3振型）振型）V31=44.1KN V32=-63.1KN V33=17.8KN6 6、计算地震效应计算地震效应-层间剪力组合层间剪力组合第一层的剪力第一层的剪力V1 V1=845.8KN 同理

46、得同理得 V2=671.6KN V3=335.8KN注意注意:组合的地震效应与第一振型的地震剪力分布相近组合的地震效应与第一振型的地震剪力分布相近.V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN （第第1振型）振型）是是巧合？还是有内在联系？巧合？还是有内在联系？二、二、计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法 用振型分解反应谱法计算比较复杂，能否采用简单近用振型分解反应谱法计算比较复杂，能否采用简单近似的方法？前面的例题中发现，总的地震作用效应与第似的方法？前面的例题中发现，总的地震作用效应与第一振型的地震剪力分布相近，用第一振型的地震剪力作一振型的地震剪

47、力分布相近，用第一振型的地震剪力作为结构的地震剪力的方法称为为结构的地震剪力的方法称为底部剪力法。底部剪力法。1、底部剪力法的适用条件和假定：、底部剪力法的适用条件和假定：l适用条件：建筑高度不超过适用条件：建筑高度不超过40ml 以剪切变形为主以剪切变形为主l 质量和刚度沿高度分布均匀质量和刚度沿高度分布均匀l假定：位移反应以第一振型为主，为一直线。假定：位移反应以第一振型为主，为一直线。总思路是：首先求出等效单质点的作用力（即底总思路是：首先求出等效单质点的作用力（即底部剪力），然后再按一定的规则分配到各个质点。最后部剪力），然后再按一定的规则分配到各个质点。最后按静力法计算结构的内力和变

48、形。按静力法计算结构的内力和变形。GeqGiGeqFekFekGiFi2 2、底部剪力计算、底部剪力计算1 对应基本周期的地震影响系数对应基本周期的地震影响系数 Geq 结构等效总重力荷载代表值，结构等效总重力荷载代表值，c等效系数等效系数单质点：单质点：c=1，多质点：多质点：c=0.85 结构底部的总地震剪力结构底部的总地震剪力GeqGi3 3、各质点的水平地震作用标准值计算、各质点的水平地震作用标准值计算结构底部的地震剪力：结构底部的地震剪力：求出结构各层的地震作用和地震剪力。求出结构各层的地震作用和地震剪力。结构各层的地震作用与该层的结构各层的地震作用与该层的重力荷载代表值（质量）及该

49、层水重力荷载代表值（质量）及该层水平变形有关平变形有关前面假定，结构的变形为一直线，前面假定，结构的变形为一直线，则与该层的高度则与该层的高度 成正比。成正比。FekGiFii层的地震作用：层的地震作用：结构底部的总剪力：结构底部的总剪力：求出：求出：并代回第并代回第1式式各质点的水平地震作用各质点的水平地震作用注意：注意：Hi是从地面到第是从地面到第i层的层的高度高度4 4、对底部剪力法的修正、对底部剪力法的修正 底部剪力法是一种近似计算，在一般情况下误差较小。底部剪力法是一种近似计算，在一般情况下误差较小。在有些情况下，误差较大，需进行修正。在有些情况下，误差较大，需进行修正。1）对于层数

50、较多，自振周期）对于层数较多，自振周期 的建筑的建筑,顶部需附加顶部需附加水平地震作用水平地震作用 。T Tg(s)T11.4Tg T1=1.4Tg=0.25 0.08T=0.55 0.08T=0.55 0.08T1 1-0.02-0.02不考虑2）鞭梢作用：局部突出屋顶的小屋）鞭梢作用：局部突出屋顶的小屋的地震作用效应按计算结果放大的地震作用效应按计算结果放大3倍，但增大的倍，但增大的2倍不向下传递。倍不向下传递。顶层：顶层：Fn+133 3）注意当）注意当 又有鞭梢作用时，又有鞭梢作用时，应作用在主体的顶部，而不作用应作用在主体的顶部，而不作用在小屋顶。在小屋顶。顶部附加作用是考虑高振型顶