3-5线性系统的稳定性分析ppt2011(精品).ppt

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1、3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析1、稳定性的基本概念、稳定性的基本概念2、线性系统稳定性的充分必要条件、线性系统稳定性的充分必要条件3、劳斯稳定判据、劳斯稳定判据4、劳斯稳定判据的特殊情况、劳斯稳定判据的特殊情况5、劳斯稳定判据的应用、劳斯稳定判据的应用1、稳定性的基本概念（1）定义：）定义：平衡状态稳定性：平衡状态稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。差状态恢复到原平衡状态的性能。平衡状态稳定性平衡状态稳定性运动稳定性运动稳定性运动稳定性运动稳定性:若线性控制系统在初始扰动的作用下若线性控制系统在初始扰动的作用下,其输出

2、其输出随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则该系统为渐近稳定则该系统为渐近稳定,简称稳定简称稳定;反之反之,称称该系统不稳定。该系统不稳定。（2）性质：稳定性是去除扰动作用后系统本身的）性质：稳定性是去除扰动作用后系统本身的一种恢复能力，是一种恢复能力，是系统的一种固有特性系统的一种固有特性，系统的稳，系统的稳定与否定与否,仅与系统本身的结构和参数有关仅与系统本身的结构和参数有关,而与而与输入信号的形式和大小无关。输入信号的形式和大小无关。运动模态小结运动模态小结(回顾回顾)j0j0j0j0j02、线性系统稳定的充分必要条件、线性系统稳定的充分必要条件 n阶线性系

3、统单位阶跃响应为阶线性系统单位阶跃响应为则稳定的数学条件为：则稳定的数学条件为：系统稳定的充分必要条件为：系统稳定的充分必要条件为：所以系统稳定的充要条件是：系统所有特征所以系统稳定的充要条件是：系统所有特征根的实部小于零，即其根的实部小于零，即其特征方程的根都在特征方程的根都在S左左半平面。半平面。设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1=-8-82 41 2（1）劳斯表介绍）劳斯表介绍劳斯表特点劳斯表特点4 4 每两行个数相等

4、每两行个数相等3 3 次次对角线对角线减减主主对角线对角线5 5 分母分母总是总是上一行上一行第一第一个元素个元素6 6 第一列出现零元素时，用第一列出现零元素时，用正正无无穷小量穷小量代替。代替。7 7 一一行行可同乘以或同除以某可同乘以或同除以某正正数数2+87-8(2 +8)-72712463571 2 7-81 1 右移一位降两阶右移一位降两阶2 2 行列式第一列行列式第一列不动不动第二列第二列右移右移3、劳斯判据、劳斯判据（2）劳斯判据）劳斯判据系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件:有正有负一定不稳定有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定缺项一定不稳定!系统稳定的系统稳定的充分充分条件条

5、件:劳斯表劳斯表第一列第一列元素元素不变号不变号!若变号系统不稳定若变号系统不稳定!变号的变号的次数次数为特征根在为特征根在s s右右半平面的半平面的个数个数!特征方程各项系数特征方程各项系数全全0 0或或全全0s0 b41 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:560-40K040K014K0例例 已知系统的特征方程，试判断系已知系统的特征方程，试判断系 统的稳定性。统的稳定性。劳斯表为劳斯表为:系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根 系统不稳定系统不稳定S3+2S2+S+2=0解：解：1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 b31=0 ()s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:S

6、3+2S2+S+2=(S+2)(S2+1)=0S1=-2S2.3=j 例例 已知系统的特征方程已知系统的特征方程,试用劳斯判据试用劳斯判据 确定方程的根在确定方程的根在S平面上的分布。平面上的分布。解：解：S3-3S+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为劳斯表为:1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31=-s0 b41 2 -3-20 b31-通过因式分解验证通过因式分解验证:S3-3S+2=(S-1)2(S+2)=0S1.2=1S3=-2 例例 已知控制系统的特征方程已知控制系统的特征方程,试判断试判断 系统的稳定性系统的稳定性由由为为零零

7、上上一一行行的元素组成辅的元素组成辅 助多项式：助多项式：S6+2S5+8S4+12S3+20S2+16S+16=0解：解：劳斯表为劳斯表为:1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2S4+12S2+16dP(s)dS=8S3+24S代入代入0824s2 1668/3s1 s0 16 劳斯表中某行同乘以某正数，不影响劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统稳定性的判断。系统有虚根系统有虚根,不稳定不稳定劳斯判据的应用例劳斯判据的应用例1(补充补充)已知特征方程为已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0求求产生纯虚根为

8、产生纯虚根为j1的的z值和值和k值值。解：解：301200kkz6000-k30kz（6000-k)s2+30kz=0有有纯虚根，纯虚根，劳斯表一定有零行劳斯表一定有零行6000k-k2-900kzs4s3s2s1s0301200kkz于是有于是有：6000k-k2-900kz=0辅助方程辅助方程:零行的上两行零行的上两行一定一定成比例成比例30s2+k=0=30+kk=30代入左式得代入左式得:19930=6.63z=30s2+k=0辅助方程可变为辅助方程可变为:劳斯判据的应用例劳斯判据的应用例2(补充补充)有零行不稳定！有零行不稳定！这是不行啲！这是不行啲！让所有极点在让所有极点在s=-1

9、s=-1之左：之左：这样简单吧！这样简单吧！特征方程为：特征方程为：劳斯判据的应用例劳斯判据的应用例3(补充补充)借助于劳斯表解高阶方程(补充补充)辅助方程辅助方程这是不可以的！这是不可以的！这也是不行的！这也是不行的！根据常数项配方：根据常数项配方：你说第一列你说第一列 变号几次？变号几次？6、结构不稳定系统及其改进措施、结构不稳定系统及其改进措施（1）结构不稳定系统）结构不稳定系统 定义：定义：仅仅调整系统本身的结构参数而无法稳定仅仅调整系统本身的结构参数而无法稳定的系统，称为结构不稳定系统。的系统，称为结构不稳定系统。造成系统结构不稳定的原因：造成系统结构不稳定的原因：前向通路中有两前向

10、通路中有两个及以上的积分环节，且前向通路传递函数中个及以上的积分环节，且前向通路传递函数中无零点。无零点。调整系统的参数无法使其稳定，则称调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。这类系统为结构不稳定系统。KS2(TS+1)_R(s)C(s)如：如：(s)=TS3+S2+KK闭环传递函数：闭环传递函数：TS3+S2+K特征方程是式：特征方程是式：由于特征方程中少了由于特征方程中少了S项项,无论无论K取何值系统总是不稳定取何值系统总是不稳定.（2）消除结构不稳定的措施）消除结构不稳定的措施 1）改变环节的积分性质）改变环节的积分性质 环节的传递函数变为环节的传递函数变为:积分环节

11、外加单位负反馈积分环节外加单位负反馈,系统结构图为系统结构图为:开环传递函数变成：开环传递函数变成：KS(TS+1)_R(s)1S_C(s)1/S1+1/SG(s)=S(TS+1)(S+1)K1S+1=C(s)R(s)=S(TS+1)(S+1)+KK系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程式特征方程式:TS3+(1+T)S2+S+K=0劳斯表劳斯表:T 1 s3 1+T K s2 s1 K s0 系统稳定的条件系统稳定的条件1+T-TK0K0即即K0 1+T T 1+T-TK 1+T _R(s)C(s)s+1s+1KS2(TS+1)2）加入比例微分环节）加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图系统中加入比例微分环节结构图系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:(s)=TS3+S2+KS+1)K(S+K劳斯表劳斯表:s3 T K 1 K s2 s1 K(-T)K s0 系统稳定的条件系统稳定的条件:K0-T0即即TK0返回返回