工程力学 第四章 截面几何性质(精品).ppt

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1、第四章第四章 截面的几何性质截面的几何性质 构件的承载能力与横截面的形状有着密切的构件的承载能力与横截面的形状有着密切的关系，相同的截面面积，几何形状不同承载能力关系，相同的截面面积，几何形状不同承载能力差异很大，有必要研究两者之间的关系。差异很大，有必要研究两者之间的关系。4.1 4.1 静矩和形心静矩和形心一一.静矩静矩 与理论力学中的静力矩概与理论力学中的静力矩概念相似念相似量纲量纲L3-(m3)值域值域-实数实数（4-1）1.1.静矩的定义静矩的定义取微面积dA，把ydA zdA称为dA对y、z的静矩截面的静矩截面的静矩 例例4-14-1求三角形求三角形ABCABC对底边对底边BCBC

2、的静矩的静矩bhABCOzy解解:z积分得积分得：2.2.形心坐标形心坐标 引用理论力学求容重为引用理论力学求容重为1个单位的均质等厚薄板，个单位的均质等厚薄板，求重心的公式求重心的公式（4-2）即即由此得出由此得出（4-3）3.静矩的性质静矩的性质 截面对通过其形心轴的静矩等于零截面对通过其形心轴的静矩等于零.反之反之,若截若截面对某轴静矩为零，则该轴必过截面形心面对某轴静矩为零，则该轴必过截面形心.二二.组合截面的静矩组合截面的静矩截面图形由截面图形由n n个部分组成个部分组成根据定义根据定义所以所以（4-4）又有又有（4-5）CL6TU5 例例4-24-2确定图示截面图形形心确定图示截面

3、图形形心C C的位的位置。置。解：解：A1=12010 y1=5 z1=6012A2=7010 y1=45 z1=5CL6TU6 例例4-34-3求图示阴影部分的面积对求图示阴影部分的面积对y y轴的轴的静静矩。矩。解解：4.2 4.2 惯性矩、极惯性矩和惯性积惯性矩、极惯性矩和惯性积一一.惯性矩惯性矩1.1.定义定义（4-6）量纲：量纲：LL4 4，值域：非，值域：非负。负。2.2.惯性半径惯性半径工程中常把惯性矩表示为截面图形的工程中常把惯性矩表示为截面图形的面积与某一长度平方的乘积，即面积与某一长度平方的乘积，即（4-7）分别称为平面图形对分别称为平面图形对y y轴和轴和z z轴的惯性半

4、径轴的惯性半径二二.极惯性矩极惯性矩量纲：量纲：LL4 4，值域：非负。，值域：非负。三、惯性积三、惯性积量纲量纲LL4 4-(m(m4 4)值域值域-实数实数正交系中有一个坐标轴是截面对称轴，正交系中有一个坐标轴是截面对称轴，则截面图形对该坐标系的惯性积必为则截面图形对该坐标系的惯性积必为零零。（4-4-8 8）（4-4-9 9）所以所以四四.惯性矩、极惯性矩和惯性惯性矩、极惯性矩和惯性 积性质一览表积性质一览表名称名称定义定义量纲量纲关系关系性质性质静矩静矩惯性矩惯性矩极惯性矩极惯性矩惯性积惯性积L3L4L4L4对形心轴静矩为零对形心轴静矩为零对对称轴惯积为零对对称轴惯积为零五五.常见截面

5、图形的惯性矩常见截面图形的惯性矩(1)(1)矩形截面对对称轴的惯性矩矩形截面对对称轴的惯性矩CL6TU7(2)(2)圆对直径的惯性矩圆对直径的惯性矩(3)(3)圆环对直径的惯性矩圆环对直径的惯性矩d4.3 4.3 惯性矩与惯性积的平行移轴公惯性矩与惯性积的平行移轴公式式 一一.惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式 1.1.坐标关系式坐标关系式2.2.惯性矩的移轴公式惯性矩的移轴公式-(4-6)式代入（式代入（4-64-6）式）式(4-10a)利用利用式并注意到对形心轴的静矩为零式并注意到对形心轴的静矩为零同理同理3.3.结论结论 截面图形对任一坐标轴的惯性矩等于对截面图形对任一坐标轴的惯性

6、矩等于对自身形心轴的惯性矩加上两轴间距平方与自身形心轴的惯性矩加上两轴间距平方与图形面积之积所得到的和。图形面积之积所得到的和。可见在平行的诸轴中，平面图形对自身形可见在平行的诸轴中，平面图形对自身形心轴的惯性矩最小。心轴的惯性矩最小。(4-10b)(4-9)式代入（式代入（4-94-9）式）式注意到对形心轴的静矩为零，且注意到对形心轴的静矩为零，且(4-11)截面图形对任一坐标系的惯性积等于对形截面图形对任一坐标系的惯性积等于对形心坐标系的惯性积加上两对轴间距与图形面积心坐标系的惯性积加上两对轴间距与图形面积三者之积所得到的和。三者之积所得到的和。结论结论二二.惯性积的移轴公式惯性积的移轴公

7、式注意 a b的正负值同c点在yz坐标系中坐标值 80802020解（解（1 1）确定）确定形心形心轴轴Z Z的位置：的位置：先求形心位置先求形心位置取取y y为对称轴，形心必位于对为对称轴，形心必位于对称轴上。称轴上。Zc=0Zc=0Z1CZyc（2)2)求求I IZ ZI 例例4-44-4确定形心轴确定形心轴Z Z的位置，并求的位置，并求 I IZ ZyZ80802020ICycZCZCy 例例4-54-5：求图示平面图形对：求图示平面图形对y y、z z轴的惯性矩轴的惯性矩 IyIy、I IZ ZCL6TU11（y y为对称轴、过形心）为对称轴、过形心）IIIII解（解（1 1）求）求I

8、yIy（2)2)求求I IZ Z:Z*ZcIIIIIII4.4 4.4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩一一.转轴公式转轴公式yzp1.1.坐标关系式坐标关系式2.2.惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式经整理可得经整理可得同理同理(4-12a)(4-12b)3.3.惯性积的转轴公式惯性积的转轴公式(4-12c)二二.主惯性轴与主惯性矩的定义主惯性轴与主惯性矩的定义(1)(1)主惯性轴主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴当平面图形对某一对正交坐标轴y y0 0、z z0 0的惯性积的惯性积 IyIy0 0z z0 0=0=0时，则坐标轴时，则坐标轴 y y0 0、z z0

9、0称为主惯性轴称为主惯性轴。(2)(2)主惯性矩主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩平面图形对任一主惯性轴的惯性矩 称为主惯性矩。称为主惯性矩。(3)(3)形心主惯性轴形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。性轴。(4)(4)形心主惯性矩形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴平面图形对任一形心主惯性轴 的惯性矩称为形心主惯性矩。的惯性矩称为形心主惯性矩。可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。形心主惯性轴。因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定

10、是平面图形的主惯性轴。面图形的主惯性轴。三三.主惯性轴方位：主惯性轴方位：（4-13）由（4-13）通过倍角公式可得或简写成或简写成四四.主惯性矩主惯性矩把上式代入（把上式代入（4-12a,b)4-12a,b)，经整理得，经整理得（4-14a)（4-14b)（4-14）例例4-64-6求图示平面图形形心主惯性轴的方位求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。及形心主惯性矩的大小。CL6TU13（1 1）求形心主惯性轴的位置及）求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤形心主惯性矩大小的步骤a a）找出形心位置；）找出形心位置；b)b)求各简单图形自身求各简单图形自身形心主惯性矩形

11、心主惯性矩,再就再就整个图形参考坐标系整个图形参考坐标系在在zcyzcy，求出，求出IzIz、IyIy、IzyIzy。c c）求）求0 0、IzIz0 0、IyIy0 0解：解：zy由对称性确定形心位置C，过形心建立zcy坐标系形心主惯性矩为z0y0把数据代入下式zy 例例4-74-7 一截面的尺寸如图所示，已知截面的一截面的尺寸如图所示，已知截面的形心形心C C位于截面上边缘以下位于截面上边缘以下20mm20mm和左边缘以右和左边缘以右40mm40mm处处,试计算截面的形心主惯性矩。试计算截面的形心主惯性矩。先求得截面形心先求得截面形心C C（40,-2040,-20），再选择一对分别），再

12、选择一对分别与上边缘和左边缘平行的形心轴与上边缘和左边缘平行的形心轴 (见图见图)。解:列列表表计计算算图图示示截截面面对对所所选选形形心心轴轴的的惯惯性性矩矩和和惯惯性性积积(参参看图看图)如下如下 将截面分为将截面分为I I，IIII两两矩形，两矩形形心矩形，两矩形形心坐标分别为坐标分别为zyzc0zc29.6133.870.8项目列号分块号iAi mm2mm104mm4aibiai2Aibi2Ai（1）（2）（4）（3）（5）（6）120070015-2520-352743.84885.8128.697.3097.3144.63661.3项目列号分块号i（7）（8）（9）（10）（11）

13、（12）104mm40019286.43661.32872.41440.6278.4100.3计算列表把求得的各值代入式（把求得的各值代入式（4-134-13），得），得即形心主惯性轴即形心主惯性轴Z Zcoco可从形心轴可从形心轴Z Zc c沿逆时针向转沿逆时针向转113.8113.80 0得到。得到。把求得的把求得的I Izczc、I Iycyc、I Izcyczcyc代人式（代人式（4-154-15），），即即得得形心形心主惯性矩的数值主惯性矩的数值作业：作业：6-1 6-2(b)6-3 6-5 6-8把求得的把求得的 代人式（代人式（4-134-13），得），得即形心主惯性轴即形心主惯性轴x xcoco可从形心轴可从形心轴x xc c沿逆时针向转沿逆时针向转1131138 80 0得得到。到。把求得的把求得的 代人式（代人式（4-154-15），），即即得得形心形心主惯性矩的数值主惯性矩的数值Thank Everybody!