和、差、积、商的求导法则(精品).ppt

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1、初等函数微分法初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函数的导数，从而是初等函数的求导初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。问

2、题系统化，简单化。一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理证证(1)(1)、(2)(2)略略.证证(3)(3)注注（1）即是和、差的导数等于导数的和、差）即是和、差的导数等于导数的和、差（2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数第二个因子的导数（3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方的平方 （1）可推广到任意有限个可导函数的情形）可推广到

3、任意有限个可导函数的情形 （2）也可推广到任意有限个函数的情形）也可推广到任意有限个函数的情形 作为（作为（2）的特殊情况）的特殊情况即常数因子可以提到导数符号的外面即常数因子可以提到导数符号的外面即线性组合的导数等于导数的线性组合即线性组合的导数等于导数的线性组合说明求导是一线性运算说明求导是一线性运算作为（作为（3）的一种特殊情况，）的一种特殊情况，二、例题分析二、例题分析例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解三、反函数的导数三、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例

4、例6 6解解同理可得同理可得例例7 7解解特别地特别地四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算的结果有限次四则运算的结果的导数，但是像的导数，但是像等等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数它们的导数先看一个例子先看一个例子例例8 这里我们是先展开，再求导，若像这里我们是先展开，再求导，若像求导数，展开就不是办法，再像求导数，展开就不是办法，再像求导数，根本无法展开，又该怎么办？求导数，根本无法展开，又该怎么办？仔细分析一下，这三个函数具有同样

5、的复合结构仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。再如再如注意到注意到由由以上两例可见：由以上两例可见：由复合复合而成的函数而成的函数的的导数导数恰好等于恰好等于对对中间变量中间变量的的导数导数与与中间变量中间变量对对自变量自变量的的导数导数的的乘积乘积这就是这就是链式法则链式法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)证证注注1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里

6、，逐层求导”2.注意中间变量注意中间变量推广推广例例9 9解解例例1010解解例例5 5解解例例1111解解例例1212解解例例13解解同理可得同理可得例例14 求幂函数的导数求幂函数的导数例例1515解解注注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部对于分段

7、函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。数是否存在。例例16解解五、初等函数的求导问题五、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0

8、()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数即即同理同理五、小结五、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.思考题思考题思考题解答思考题解答正确的选择是正确的选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，